鄧成兵 林 莉

(四川省成都市航天中校)

不等式是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容,而基本不等式是不等式的核心,是證明諸多不等式的一個出發(fā)點(diǎn).它不但是求二元函數(shù)的最值問題的一個最基本、最有效的工具,還可以推廣到三元甚至n元的算數(shù)——幾何平均不等式或基本不等式.基本不等式是高考?？嫉囊粋€知識點(diǎn).據(jù)統(tǒng)計(jì),2015年到2022年全國各地高考直接或間接考查基本不等式理科26次、文科28次.情況分析:選擇題理科8次、文科10次,填空題理科13次、文科14次,選做題理科3次、文科2次,解答題2次(均在第二問以求最值的方式進(jìn)行考查);其中絕大部分試題難度為基礎(chǔ)題和中檔題;只有2022年全國甲卷文科第12題用基本不等式求解偏難.(統(tǒng)計(jì)表如下表所示)

基本不等式近八年在高考中的地位及難度分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》中指出,高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),用科學(xué)方法分析問題、解決問題,才有利于引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為自己的思維方式.本文以2022·新高考Ⅱ·12的研究及變式探究,與大家分享、交流如何發(fā)展學(xué)生思維,提升學(xué)生核心素養(yǎng).

1 基本不等式及解讀

基本不等式1:?a,b∈R,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.

用基本不等式2求最值時,必須滿足“一正、二定、三相等”,忽略某個條件,就會出錯.基本不等式求最值的基本原理“積定和最小”及“和定積最大”.為了方便理解記憶,可用一首詩表示:

兄弟二人叫基本,本領(lǐng)確實(shí)大的很.

弟弟兩數(shù)都要正,哥哥通吃是全能.

和積平方都要正,注意何時能取等.

變形配湊奧妙深,等或不等皆學(xué)問.

2 試題呈現(xiàn)與解法探究

【題目】(2022·新高考Ⅱ·12)對任意x,y,x2+y2-xy=1,則

( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

【命題意圖】本題考查二元二次方程、最值問題.可以利用三角換元、數(shù)形結(jié)合、極坐標(biāo)法、基本不等式等求解;從多維度多方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng),綜合型較強(qiáng).

解法一:三角換元

根據(jù)正弦函數(shù)有界性求解:

由x2+y2-xy=1可得,

∴選項(xiàng)A錯誤,B正確;

故選BC.

解法二:數(shù)形結(jié)合

畫出x2+y2-xy=1表示的圖形,

由解析式得出函數(shù)關(guān)于直線y=x對稱,

圖形過坐標(biāo)系內(nèi)的四點(diǎn)(1,0),(0,1),(1,1),(-1,-1),

猜測解析式所對應(yīng)的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的橢圓.

畫出大致圖形.

對于A選項(xiàng),

畫出直線x+y=1,

直線的左下方滿足x+y<1,

直線的右上方滿足x+y>1,

橢圓有一部分在直線的左下方,

有一部分在直線的右上方,

有一部分在直線上(如圖1所示),

圖1

故A選項(xiàng)錯誤;

對于B選項(xiàng),

畫出直線x+y=-2,

直線的左下方滿足x+y<-2,

直線的右上方滿足x+y>-2,

直線x+y=-2與橢圓相切,

橢圓在直線的右上方或在直線上(如圖2所示),

圖2

故B選項(xiàng)正確;

對于C選項(xiàng),

畫出x2+y2=2的圖形,

此曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,

x2+y2≤2表示圓的內(nèi)部和圓上的點(diǎn),

通過圖象發(fā)現(xiàn)曲線x2+y2-xy=1上的點(diǎn)全部在圓的內(nèi)部或在圓上(如圖3所示),

圖3

故C選項(xiàng)正確;

對于D選項(xiàng),

畫出x2+y2=1的圖形,

此曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,

1為半徑的圓,

x2+y2≤1表示圓的內(nèi)部和圓上的點(diǎn),

通過圖象發(fā)現(xiàn)曲線x2+y2-xy=1上的點(diǎn)有一部分在圓內(nèi),

有一部分在圓外,

有一部分在圓上(如圖4所示),

圖4

因此D選項(xiàng)錯誤,

故選BC.

解法三:極坐標(biāo)法

且x+y=ρ(cosθ+sinθ),

∴-2≤x+y≤2,

故選項(xiàng)A錯誤,選項(xiàng)B正確;

故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯誤,故選BC.

解法四:基本不等式法

由x2+y2-xy=1得

解得-2≤x+y≤2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±1,

即x+y=-2或x+y=2時,等號成立,

故選項(xiàng)A錯誤,選項(xiàng)B正確;

由x2+y2-xy=1得(x2+y2)-1=xy.

化簡得x2+y2≤2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±1時取等號,

故選項(xiàng)C正確,

故選項(xiàng)D錯誤,故選BC.

【試題評析】

1.解法一:主要考查把二元二次方程轉(zhuǎn)化為a2+b2=1型,利用三角代換及正弦型函數(shù)的有界性求最值;解法二:畫出x2+y2-xy=1表示的圖形,結(jié)合圖形求解;解法三:利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,由正弦型函數(shù)的有界性求解;解法四:利用基本不等式的推論逐一判斷求解,四種解法從多維度多方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng),綜合型較強(qiáng).

2.解法一難點(diǎn)是學(xué)生很難想到把方程轉(zhuǎn)化為a2+b2=1型,利用三角換元進(jìn)行求解;解法二難點(diǎn)是畫二元二次方程x2+y2-xy=1的圖形;解法三利用極坐標(biāo)求解,難點(diǎn)是求x+y的最小值;解法四只需利用基本不等式及其推論便可求解.

3.通過四種方法的比較發(fā)現(xiàn):求解二元函數(shù)的最值問題,方法不唯一,但基本不等式是求解此類問題的一個最基本、最有效的工具.

根據(jù)2015年到2022年全國高考試題分析得出,僅僅掌握了基本不等式本身,解題時還會遇到很多困難,如果適當(dāng)?shù)赜涀∷囊恍┲匾耐普?筆者把它叫“下游命題”),在解題時就能夠縮短條件和結(jié)論的距離.

思考:解法四中的(*)式整理可以獲得什么結(jié)論呢?

我們把這個式子叫作絕對值基本不等式.

結(jié)論:已知平方和為定值,可以求積的最大值和最小值.

【解題思維導(dǎo)圖】

高考命題有一條重要的原則:“源于教材,高于教材”,回歸課本就是尋“源”,即尋找高考出題的源頭,同時教材也是數(shù)學(xué)知識和思想方法的重要載體,因此教師的教學(xué)應(yīng)立足于教材,強(qiáng)化回歸教材的意識,掌握回歸教材的方法和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).每年高考真題都有源自于教材的例習(xí)題,重在考查學(xué)生的基本知識、基本思想和基本技能,對學(xué)生的思維量、靈活性、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出較高要求.本題由數(shù)學(xué)《2019年人教A版必修第一冊》P58綜合運(yùn)用第5題改編:若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范圍.

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過這樣一句話:“掌握數(shù)學(xué)也就意味著要善于解題”,所以解一道經(jīng)典的高考數(shù)學(xué)題不能只就題論題或一題多解而草草結(jié)束,而是要揭開此題的內(nèi)涵和價值.為實(shí)現(xiàn)這一目的,需要對它進(jìn)行強(qiáng)化變式.通過變式探究,不但可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力、歸納和演繹的能力,而且還能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),從而幫助學(xué)生更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

3 變式探究

【變式1】已知x,y∈R*且x+y=2,求x2+y2-xy的取值范圍.

解析:由x+y=2,

兩邊平方化簡得x2+y2=4-2xy.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時,等號成立,

∴x2+y2-xy=4-3xy∈[1,4).

【評析】該解法把x2+y2消掉,原式轉(zhuǎn)化為只含xy的代數(shù)式,再利用基本不等式2進(jìn)行求解.

解析:∵x2+y2-xy=1,

∴x2+y2=xy+1.

【變式3】已知x>0,y>0,且xy=2x+y+1,求x+2y的最小值.

解析:由xy=2x+y+1得

則y-2>0,

【評析】對已知求最值,要把條件按照要求的式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,此類問題形式多樣,要在解題過程中不斷摸索、善于思考,總結(jié)解題規(guī)律,故本題是通過方程思想,用含有y的關(guān)系式表示x,代入所求代數(shù)式,再配湊出符合基本不等式的條件.正是:

已知條件求最值

恰當(dāng)變形湊和積

分析綜合勤總結(jié)

熟能生巧揭本質(zhì)

解法一:∵2x+y=x2y3,

【評析】結(jié)合已知條件的關(guān)系進(jìn)行恒等變形,轉(zhuǎn)化為等式右側(cè)為1的恒等式,通過所求的代數(shù)關(guān)系式的平方轉(zhuǎn)化,結(jié)合關(guān)系式的變形,借助基本不等式及代“1”法,求解最值問題.巧妙地運(yùn)用恒等變形與轉(zhuǎn)化,以及對關(guān)系式的升次處理,為兩者之間構(gòu)建起基本不等式的“橋梁”,實(shí)現(xiàn)代數(shù)式最值的破解.

解法二:由2x+y=x2y3得

x2y3-2x-y=0,

解關(guān)于x的一元二次方程,

當(dāng)且僅當(dāng)y2=1,

即y=1時,等號成立,

和積不等就是好

不知何時就用到

原始條件不具備

一個湊字能創(chuàng)造(注:和積不等指和積不等式)

【評析】此題以雙變元的高次代數(shù)關(guān)系式為背景,結(jié)合雙變元的一次分式之和的代數(shù)式的求解最值.題目條件簡潔明了,題意清晰明確,條件是整式方程,目標(biāo)是分式代數(shù)式.

變式訓(xùn)練有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律并掌握規(guī)律,解完題后,師生一起回歸解題的過程,讓學(xué)生看到只要學(xué)會思考,再復(fù)雜的題,都可以轉(zhuǎn)化為簡單的問題或已經(jīng)解決的問題,都能尋找到解題方法背后的規(guī)律及所蘊(yùn)含的本質(zhì).如果合理地運(yùn)用變式探究,讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)思想方法的價值和妙用,就能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 拓展變式探究

解法一:∵x>0,y>0,

即x=y=1時,等號成立,

【評析】利用基本不等式求最值是高考的重要考點(diǎn)之一,常見考法是如何靈活地創(chuàng)造基本不等式的使用條件,如:湊系數(shù)、拆項(xiàng)、1的替換等,對于兩次使用基本不等式時要保證等式能同時成立,當(dāng)條件不滿足時,要創(chuàng)造基本不等式的使用條件:“和定積最大”或者“積定和最小”.

如果a1,a2,…,an為n個正數(shù),

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時,等號成立.

我們把此結(jié)論叫做基本不等式2的推論.

即x=y=1時,等號成立,

【評析】增加思維梯度,提高學(xué)生的模式識別能力,激發(fā)學(xué)生的潛能,讓學(xué)生學(xué)得的數(shù)學(xué)思想方法更深刻、更清晰,促使學(xué)生思維的完善與發(fā)展,從而提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要教學(xué)方式,其關(guān)鍵是把變式中解題方法的共性總結(jié)出來,達(dá)到一法多用.如何把這些獨(dú)立的知識與方法用整理、歸納的方式串聯(lián)起來?筆者認(rèn)為可以借助思維導(dǎo)圖來完成,這對進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力,完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),提升學(xué)生的核心素養(yǎng)起著重要作用.如本文利用基本不等式求二元或多元解析式的最值問題,可以畫出它的思維導(dǎo)圖,如下所示:

5 方法反思和素養(yǎng)再現(xiàn)

文章以2022·新高考Ⅱ·12及變式,求二元或多元解析式的最值問題發(fā)現(xiàn):往往是結(jié)合雙變元或多變元解析式的基本特征(整式、分式、根式等),合理恒等變形與轉(zhuǎn)化,運(yùn)用邏輯思維與代數(shù)運(yùn)算、借助基本不等式思維、函數(shù)或方程思想以及其他重要不等式思維等,利用一些常見的基本思維與方法加以切入與破解.

因此,在高考復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)中,可以選擇一道或幾道既符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”又具有代表性的高考試題為導(dǎo)向,引領(lǐng)高三學(xué)生復(fù)習(xí),貫穿課堂教學(xué)的始終,讓學(xué)生在例題的探究活動中體會知識間的聯(lián)系,在例題的變式中將學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)、思維習(xí)慣和思維能力整合優(yōu)化,把數(shù)學(xué)知識體系變成自我認(rèn)識的升華,從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).