沈昱明, 田 童

(上海理工大學(xué),上海 200093)

1 引 言

文丘里音速?lài)娮?以下簡(jiǎn)稱(chēng)噴嘴,或CFVN),作為傳遞基準(zhǔn)或工作基準(zhǔn),常用于對(duì)氣體流量計(jì)的標(biāo)定或計(jì)量、校準(zhǔn)。音速?lài)娮斓呐R界背壓比,或最大允許下游壓力一般通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法確定[1]。文獻(xiàn)[2]討論了最大背壓比(maximum back pressure ratio,MBPR)與噴嘴的幾何尺寸、雷諾數(shù)和氣體參數(shù)的影響,并用A14噴嘴進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)；文獻(xiàn)[3]使用CFD數(shù)值模擬討論了音速?lài)娮煜掠喂苈穼?duì)臨界背壓比和流出系數(shù)的影響,發(fā)現(xiàn)在噴嘴的擴(kuò)散段出現(xiàn)激波現(xiàn)象；文獻(xiàn)[4]采用實(shí)驗(yàn)方法研究了提高臨界背壓比的方法；文獻(xiàn)[5]從一元等熵流動(dòng)理論出發(fā),證明了音速?lài)娮斓呐R界流流量公式,但其證明過(guò)程存在瑕疵；文獻(xiàn)[6]對(duì)一種二維長(zhǎng)方形噴管進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究,以確定噴管擴(kuò)散段中產(chǎn)生的激波參數(shù)。

本文從一元等熵流動(dòng)理論出發(fā),從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)了:當(dāng)噴嘴達(dá)到臨界背壓比時(shí),噴嘴喉部(最小截面處)的流速為當(dāng)?shù)匾羲?質(zhì)量流量達(dá)到最大值。推導(dǎo)過(guò)程彌補(bǔ)了文獻(xiàn)[5]的瑕疵。詳細(xì)闡述了臨界壓比、臨界背壓比,以及出口壓力和背壓的關(guān)系,并給出了相應(yīng)的一元等熵流動(dòng)理論計(jì)算模型。詳細(xì)推導(dǎo)了實(shí)際條件下音速?lài)娮斓馁|(zhì)量流量公式。本文還從氣體動(dòng)力學(xué)基本方程出發(fā),討論了噴嘴擴(kuò)散段產(chǎn)生激波的機(jī)理,并作了詳細(xì)計(jì)算,包括激波產(chǎn)生的位置、激波前、后的馬赫數(shù)和壓力;采用數(shù)值模擬方法和文獻(xiàn)[6]提供的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。從計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果知,在較大背壓比范圍內(nèi),音速?lài)娮鞌U(kuò)散段將產(chǎn)生激波,并伴隨產(chǎn)生壓力波動(dòng)。當(dāng)噴嘴工作在設(shè)計(jì)條件時(shí),噴嘴內(nèi)部不產(chǎn)生激波,這時(shí)音速?lài)娮爝_(dá)到穩(wěn)定的工作狀態(tài)。

2 音速?lài)娮斓囊辉褥亓鲃?dòng)模型

2.1 臨界流證明

當(dāng)背壓足夠小時(shí),通過(guò)噴嘴的質(zhì)量流量達(dá)到最大值;噴嘴喉部達(dá)到臨界流速,即音速。文獻(xiàn)[5]的證明流量公式僅在噴嘴喉部,失去了一般意義。

設(shè)氣體為完全氣體,或稱(chēng)為理想氣體,則理想氣體在噴嘴中作一元等熵定常流動(dòng)時(shí),經(jīng)過(guò)噴嘴的質(zhì)量流量qm和噴嘴任意截面上的流速c分別為:

(1)

(2)

(3)

式(3)說(shuō)明:當(dāng)達(dá)到臨界壓比γ*時(shí),式(1)取得最大值,p*為臨界壓力。

將式(3)代入式(2),得到臨界流速為:

(4)

2.2 一元等熵流動(dòng)方程

無(wú)論是否達(dá)到臨界流,對(duì)于理想氣體一元等熵定常流動(dòng)而言有式(5)所示關(guān)系(產(chǎn)生激波除外)。

(5)

式中:ρ為噴嘴任意截面上的氣體密度;T為氣體絕對(duì)溫度;R為氣體常數(shù)。未知量為p、ρ、c、T,因此式(5)所示方程組封閉。

產(chǎn)生激波后,熵增加,滯止壓力減小,但總能量保持不變。激波后的滯止壓力p0d與激波前噴嘴上游滯止壓力p0u(即p0)的關(guān)系在第5.2節(jié)討論。激波前后的滯止溫度不變,即T0=T0d。激波后仍滿足等熵流動(dòng),故將p0d、T0d、ρ0d代入(5)式,即可計(jì)算激波后的流動(dòng)參數(shù)。

3 實(shí)際條件下的質(zhì)量流量公式

3.1 ISO 9300中流量公式

ISO 9300標(biāo)準(zhǔn)中,理想氣體和實(shí)際條件(real conditions)下氣體的最大質(zhì)量流量分別為[1]:

(6)

(7)

3.2 公式推導(dǎo)

根據(jù)連續(xù)性方程,流過(guò)噴嘴的質(zhì)量流量為:

qm=Aρc

(8)

考慮實(shí)際條件,通過(guò)引入壓縮性系數(shù)Z對(duì)完全氣體狀態(tài)方程進(jìn)行修正[1,7]:

p=ZρRT

(9)

將式(9)代入式(8),得到:

假設(shè)喉部達(dá)到音速,即Mant=1。引入Cd’(考慮粘性等非理想氣體因素影響)和C*(考慮實(shí)際氣體種類(lèi)的影響,取代C*i),得到實(shí)際條件下氣體的最大質(zhì)量流量為:

(10)

4 臨界壓比與背壓比

4.1 定義

ISO 9300的2.48和2.49條分別定義了臨界壓比和背壓比(back-pressure ratio,BPR)。其中,臨界壓比γ*是指當(dāng)經(jīng)過(guò)噴嘴的氣體質(zhì)量流量達(dá)到最大值時(shí),噴嘴喉部靜壓力與噴嘴滯止壓力之比[1],由式(3)計(jì)算得到。對(duì)于空氣等雙原子氣體,γ*=0.528 3。背壓比是指噴嘴出口靜壓力與噴嘴上游滯止壓力之比[1]:

(11)

式中:pe為噴嘴出口斷面上的氣體壓力;Mae為出口斷面上的馬赫數(shù)。

當(dāng)噴嘴出口氣流達(dá)到超音速時(shí),稱(chēng)為設(shè)計(jì)條件[8～12]。當(dāng)背壓比高于設(shè)計(jì)條件時(shí),pe=pb;而當(dāng)背壓比低于設(shè)計(jì)條件時(shí),pb

4.2 最大背壓比

第2節(jié)已證明,當(dāng)噴嘴剛好達(dá)到臨界條件時(shí),噴嘴喉部達(dá)到音速,流過(guò)噴嘴的氣體質(zhì)量流量達(dá)到最大值,此時(shí)的背壓比即稱(chēng)為最大背壓比(maximum back pressure ratio,MBPR)[2];ISO 9300則稱(chēng)為最大允許下游壓力(maximum permissible downstream pressure)[1],其含義與MBPR是一致的。而文獻(xiàn)[4]則稱(chēng)其為臨界背壓比(critical back pressure ratio,CBPR)。無(wú)論是MBPR還是CBPR,均是指噴嘴背壓與噴嘴上游滯止壓力之比;臨界背壓比≠臨界壓比,不能使用式(3)計(jì)算。由于臨界背壓比容易與臨界壓比相混淆,故本文采用MBPR的表述。

ISO 9300給出了最大允許下游壓力MBPR的計(jì)算公式(Re>2×105)為[1]:

(12)

當(dāng)噴嘴喉部達(dá)到音速時(shí),出口界面上的馬赫數(shù)Ma2僅與噴嘴面積比有關(guān),由式(13)計(jì)算。

(13)

圖1 文丘里音速?lài)娮斓腞mbpFig.1 MBPR for CFVN

5 激波產(chǎn)生機(jī)理與計(jì)算

5.1 空氣動(dòng)力學(xué)工作機(jī)理

為了便于驗(yàn)證,本文采用文獻(xiàn)[2]中A14噴嘴進(jìn)行討論。噴嘴的結(jié)構(gòu)參數(shù)為[2]:喉部直徑d=0.8 mm,擴(kuò)散段長(zhǎng)度l=8.4d,擴(kuò)散段半角θ=2.5°。

圖2 文丘里噴嘴的壓力、馬赫數(shù)曲線Fig.2 Pressure and Mach number curve for CFVN

當(dāng)背壓比進(jìn)一步降低,直至在喉部剛好產(chǎn)生臨界流,如圖2中③所示。這時(shí),pe=pb,擴(kuò)散段仍全部為亞音速。

繼續(xù)降低背壓,如圖2(a)中④、⑤所示,這時(shí)仍然滿足pe=pb。但是,這種情況下,在噴嘴的擴(kuò)散段中的某處產(chǎn)生激波。這時(shí),連接喉部的擴(kuò)散段一部分為超音速,一部分為亞音速;壓力出現(xiàn)間斷性[8～10]的突變而迅速上升,這種現(xiàn)象稱(chēng)為流體過(guò)渡膨脹[10]。之后,流動(dòng)仍為亞音速。噴嘴擴(kuò)散段產(chǎn)生激波后,由于熵的增加,式(1)、式(2)和式(5)不適用全部噴嘴。

進(jìn)一步降低背壓,如圖2中⑥所示。此時(shí),激波剛好出現(xiàn)在出口端面上。這種情況下,擴(kuò)散段內(nèi)不出現(xiàn)激波,且全部為超音速,滿足pe=pb,及滿足式(1)、式(2)和式(5)。從式(13)的解知,當(dāng)喉部達(dá)到音速時(shí),出口馬赫數(shù)Mae有2個(gè)解,分別為圖2中③和⑥所示曲線。

(14)

5.2 激波計(jì)算

假設(shè)噴嘴擴(kuò)散段中產(chǎn)生的激波為正激波,且不考慮激波厚度。激波控制體(control volume,CV)如圖3所示。

圖3 噴嘴擴(kuò)散段激波分析控制體Fig.3 Control volume for shock wave analysis of nozzle diffusion section

控制體CV基本方程,即:連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和熱力學(xué)第一、第二定律方程,如以下式(15)所示[9,12]。

(15)

由式(15)可導(dǎo)出激波前、后的壓力、溫度和馬赫數(shù)等參數(shù):

(16)

式中下標(biāo)u、d分別表示激波前、后參數(shù)。

y=1.087 3x-0.058 1

(17)

圖4 激波前、后熱工參數(shù)關(guān)系圖Fig.4 Thermal parameters before and after shock

利用式(17)可以大大簡(jiǎn)化求解激波后壓力。根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程,可以導(dǎo)出激波前、后的氣體密度關(guān)系式:

(18)

從圖4知:1)激波后流動(dòng)一定為亞音速;2)激波后溫度高于激波產(chǎn)生前;3)激波后,壓力間斷性地急劇上升(平方關(guān)系);4)激波后的滯止壓力小于噴嘴上游滯止壓力。

6 數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

6.1 數(shù)值模擬驗(yàn)證

以A14噴嘴為模擬對(duì)象,對(duì)其進(jìn)行建模和網(wǎng)格劃分,建立二維柱坐標(biāo)下的可壓縮粘性氣體的連續(xù)性方程、N-S方程、能量方程和氣體狀態(tài)方程,并引入標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型與標(biāo)準(zhǔn)壁面函數(shù)法。[3]

在噴嘴入口條件加入p0=0.101 3 MPa的滯止壓力;噴嘴出口條件加入pb=0.051 0 MPa的背壓(同pe), 即背壓比pb/p0=0.503。 模擬得到壓力云

表1 激波前后的壓力和馬赫數(shù)Tab.1 Pressure and Ma before and after shock

圖與速度云圖如圖5所示。從圖中可以觀察到,噴嘴喉部達(dá)到0.528臨界壓比;在離喉部下游約4.5 mm區(qū)域,云圖均有突變,說(shuō)明這個(gè)區(qū)域產(chǎn)生了激波。

圖5 A14噴嘴背壓比為0.503的壓力、馬赫數(shù)云圖Fig.5 Pressure and Ma at BPR is 0.503

根據(jù)數(shù)值模擬數(shù)據(jù),得到噴嘴軸線上的壓力分布如圖6所示。從模擬結(jié)果可以看到,在激波后,壓力還經(jīng)歷1次波動(dòng)。圖6同時(shí)給出了一元流動(dòng)理論計(jì)算結(jié)果,可以看到壓力的變化趨勢(shì)基本吻合(擴(kuò)散段壓力回升段最大誤差約18%)。

圖6 A4噴嘴壓力沿軸線分布曲線數(shù)值模擬與理論計(jì)算比較(背壓比0.503)Fig.6 Simulation and theoretical value of A4 mozzle pressure distribution curvealong the aixs

6.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

文獻(xiàn)[6]對(duì)1種二維縮放噴嘴(two-dimensional convergent-divergent nozzle)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。二維縮放噴嘴是1種由幾段行線與寬度為101.3 mm的二維長(zhǎng)方形結(jié)構(gòu)的噴嘴,噴嘴的行線如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)噴嘴的幾何結(jié)構(gòu)[6]Fig.7 Nozzle flap geometry for experiment[6]

本文針對(duì)以上二維縮放噴嘴,運(yùn)用一元流動(dòng)理論進(jìn)行了計(jì)算,計(jì)算結(jié)果如圖8和表2所示。

表2 本文與Craig A其它實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[6]比較Tab.2 Comparison between the calculated results based on 1D theory and other Craig A experimental data[6]

圖8 一元流動(dòng)理論計(jì)算結(jié)果與Craig A實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[6]對(duì)比Fig.8 Comparison between the calculated results based on 1D theory and Craig A experimental data

擴(kuò)散段壓力回升,一元流動(dòng)理論計(jì)算結(jié)果均大于數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)值?？赡苁且辉鲃?dòng)模型未引入流動(dòng)阻力和氣體邊界層影響,因此壓力計(jì)算結(jié)果高于實(shí)際值。

7 總 結(jié)

本文闡述了背壓比、臨界壓比、臨界背壓比等一些容易混淆的概念;從氣體一元流動(dòng)理論出發(fā),從數(shù)學(xué)上證明并推導(dǎo)了實(shí)際條件下音速?lài)娮斓牧髁抗?從氣體流動(dòng)的基本方程出發(fā),討論了噴嘴擴(kuò)散段中產(chǎn)生激波的機(jī)理,并對(duì)激波前后參數(shù)作了計(jì)算。一元流動(dòng)理論計(jì)算和數(shù)值模擬均發(fā)現(xiàn),在較大背壓比范圍內(nèi),或只要未達(dá)到設(shè)計(jì)條件,擴(kuò)散段必產(chǎn)生激波,并伴隨出現(xiàn)壓力波動(dòng)現(xiàn)象。由于擴(kuò)散段中氣體為亞音速流,因此,這種壓力波動(dòng)會(huì)向噴嘴上游傳播,對(duì)于噴嘴的質(zhì)量流量穩(wěn)定是不利的。只有當(dāng)背壓比足夠小,且達(dá)到設(shè)計(jì)條件:pb<(pe)min,這時(shí),噴嘴擴(kuò)散段中全部為超音速,噴嘴出口端面壓力達(dá)到最小,且不再變化,下游側(cè)的壓力任何波動(dòng)都不會(huì)向噴嘴上游傳播。實(shí)驗(yàn)證明:此時(shí),噴嘴流動(dòng)參數(shù)不再有任何變化。

感謝上海理工大學(xué)黃偉民教授在論文撰寫(xiě)過(guò)程中給予的指導(dǎo)和幫助。