■山東省德州市第一中學(xué) 李寧寧 劉立毅(正高級(jí)教師)

■山東省德州市教育科學(xué)研究院 岳志國

傳送帶問題是以真實(shí)的物理現(xiàn)象為情境的物理模型,下面從傳送帶的設(shè)置方向、維度等方面歸納了三種情況,探究利用能量觀念求解此類問題的方法,供大家參考。

一、水平一維傳送帶問題

求解傳送帶問題,務(wù)必弄清物體的運(yùn)動(dòng)情況。當(dāng)物體無初速度地放到水平傳送帶一端時(shí),物體可能一直做勻加速運(yùn)動(dòng)至另一端;也可能先做勻加速運(yùn)動(dòng)后做勻速運(yùn)動(dòng)至另一端。當(dāng)物體滑上傳送帶一端的初速度與傳送帶速度反向時(shí),物體可能一直做勻減速運(yùn)動(dòng)至另一端;也可能先做勻減速運(yùn)動(dòng)再反向做勻加速運(yùn)動(dòng)至同一端。

例1如圖1所示,水平傳送帶A、B兩端間的長度x=8 m,輕輕地把貨物放到傳送帶上的A端,每次傳送貨物(可視為質(zhì)點(diǎn))的質(zhì)量m=2 kg,貨物與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1,取重力加速度g=10 m/s2。

圖1

(1)若傳送帶以速度v1=2 m/s沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),求貨物從傳送帶A端運(yùn)動(dòng)到B端所用的時(shí)間。

(2)若傳送帶以速度v2=5 m/s沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),求貨物由傳送帶A端運(yùn)動(dòng)到B端的過程中,因摩擦而產(chǎn)生的熱量。

(3)若傳送帶以速度v3=2 m/s沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),貨物以初速度v0=4 m/s從A端滑上傳送帶,求貨物由傳送帶A端運(yùn)動(dòng)到B端的過程中,貨物對傳送帶做的功。

(4)某次工人錯(cuò)將貨物以速度v0＇=3 m/s從A端滑上傳送帶,及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并讓傳送帶以速度v4=2 m/s沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),求貨物離開傳送帶時(shí)的速度和運(yùn)送這件貨物電動(dòng)機(jī)多消耗的電能。

解析：(1)設(shè)貨物做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為a,根據(jù)牛頓第二定律得μmg=ma,解得a=1 m/s2。貨物做勻加速運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間t1==2 s,發(fā)生的位移x1==2 m。之后貨物以速度v1=2 m/s做勻速運(yùn)動(dòng),發(fā)生的位移x2=x-x1=6 m,所用的時(shí)間t2==3 s。因此貨物從傳送帶A端運(yùn)動(dòng)到B端所用的時(shí)間t=t1+t2=5 s。

(2)貨物由靜止加速到速度v2=5 m/s需要發(fā)生的位移,根據(jù)位移公式得,解得貨物在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t3=4 s,這段時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移x帶1=v2t3=20 m,貨物與傳送帶的相對位移Δx=x帶1-x=12 m,因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q=μmg·Δx=24 J。

(3)貨物做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小a＇=1 m/s2,貨物做勻減速運(yùn)動(dòng)到與傳送帶達(dá)相同速度發(fā)生的位移x4==6 m＜x,因此貨物與傳送帶達(dá)到共速前沒有離開傳送帶。貨物做勻減速運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間t4==2 s,這段時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移x帶2=v3t4=4 m,因此貨物對傳送帶做的功W=μmg·x帶2=8 J。

(4)貨物做勻減速運(yùn)動(dòng)發(fā)生的位移x5==4.5 m＜x,因此貨物離開傳送帶時(shí)的速度v離=2 m/s,方向由B端指向A端。貨物做勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t5==3 s,做勻加速運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間t6==2 s,傳送帶的位移x帶3=v4(t5+t6)=10 m,因此運(yùn)送這件貨物電動(dòng)機(jī)多消耗的電能E電=μmg·x帶3=20 J。

點(diǎn)評(píng):當(dāng)v0(物速)＜vn(帶速)時(shí),根據(jù)可以求得貨物運(yùn)動(dòng)到傳送帶B端恰好達(dá)到傳送帶的速度vn的臨界帶長臨界時(shí)間貨物的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況存在兩種可能:①若帶長L＜L0,則貨物一直做勻加速運(yùn)動(dòng),在B端離開時(shí)的速度v離=,運(yùn)動(dòng)時(shí)間,傳送帶相對貨物向右的位移大小,因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q=μmg·Δx;②若帶長L＞L0,則貨物先做勻加速運(yùn)動(dòng)后做勻速運(yùn)動(dòng),在B端離開時(shí)的速度v離=vn,運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=t0+當(dāng)v0(物速)＞vn(帶速)時(shí),同理得臨界帶長臨界時(shí)間貨物的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況也存在兩種可能:①若帶長L＜L0＇,則貨物一直做勻減速運(yùn)動(dòng),在B端離開時(shí)的速度v離=運(yùn)動(dòng)時(shí)間t0＇;②若帶長L＞L0＇,則貨物先做勻減速運(yùn)動(dòng)后做勻速運(yùn)動(dòng),在B端離開時(shí)的速度v離=vn,運(yùn)動(dòng)時(shí)間當(dāng)貨物速度v0＇與傳送帶速度vn反向時(shí),貨物可以從A端向左或從B端向右離開傳送帶,推理論證如下:設(shè)貨物運(yùn)動(dòng)至B端時(shí),速度恰好減為0,則對貨物有-μmgL0″=0-,解得臨界帶長①當(dāng)帶長L＜L0″時(shí),貨物一直向右做勻減速運(yùn)動(dòng),根據(jù)-μmgL=可以求得貨物從B端離開時(shí)的速度②當(dāng)帶長L＞L0″時(shí),貨物返回A端后離開,若v0＇≤vn,則貨物從A端離開時(shí)的速度vA=v0＇,若v0＇＞vn,則貨物從A端離開時(shí)的速度vA=vn。貨物從A、B哪端離開傳送帶為隱含條件,需要根據(jù)v0＇、vn、μ及帶長等物理量之間的關(guān)系通過邏輯推理才能判斷出。

二、傾斜傳送帶問題

求解傾斜傳送帶問題,需要特別注意物體所受摩擦力發(fā)生突變而導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變。當(dāng)物體無初速度地放在傾斜傳送帶上端時(shí),物體可能以恒定加速度運(yùn)動(dòng)至底端,也可能做加速度不同的兩段勻加速運(yùn)動(dòng)至底端。

例2如圖2甲所示,傾斜傳送帶以恒定的速率沿逆時(shí)針方向運(yùn)行。t=0時(shí)刻,將質(zhì)量m=1 kg的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))無初速度地放在傳送帶的最上端A點(diǎn),經(jīng)過Δt=1.0 s,物塊從最下端的B點(diǎn)離開傳送帶。取沿傳送帶向下為速度的正方向,則物塊的速度隨時(shí)間變化的圖像如圖2乙所示,取重力加速度g=10 m/s2。

圖2

(1)求物塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1。

(2)求物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中,傳送帶對物塊做的功。

(3)求物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中,因摩擦而產(chǎn)生的熱量,以及物塊在傳送帶上滑動(dòng)的痕跡長度。

解析：(1)根據(jù)物塊的v-t圖像可知,物塊在前0.5 s 時(shí)間內(nèi)的加速度8 m/s2,在后0.5 s 時(shí)間內(nèi)的加速度a2=根據(jù)牛頓第二定律可知,物塊在前0.5 s時(shí)間內(nèi)有mgsinθ+μ1mgcosθ=ma1,物塊在后0.5 s 時(shí)間內(nèi)有mgsinθμ1mgcosθ=ma2,解得

(2)根據(jù)v-t圖像與橫軸圍成的圖形面積表示位移可知,物塊在前0.5 s時(shí)間內(nèi)的位移,則摩擦力對物塊做的功W1=μ1mgcosθ·x1=3 J;物塊在后0.5 s時(shí)間內(nèi)的位移x2==2.25 m,則摩擦力對物塊做的功W2=-μ1mgcosθ·x2=-6.75 J。因此傳送帶對物塊做的總功W=W1+W2=-3.75 J。

(3)根據(jù)物塊的v-t圖像可知,傳送帶的速率v帶1=4 m/s。前0.5 s時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移x帶1=v帶1t1=2 m,因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q1=μ1mgcosθ·(x帶1-x1)=3 J;后0.5 s時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移x帶2=v帶1t2=2 m,因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q2=μ1mgcosθ·(x2-x帶2)=0.75 J。因此物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中,因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q=Q1+Q2=3.75 J。前0.5 s時(shí)間內(nèi)物塊在傳送帶上滑動(dòng)的痕跡長度Δx1=x帶1-x1=1 m,后0.5 s時(shí)間內(nèi)物塊在傳送帶上滑動(dòng)的痕跡長度Δx2=x2-x帶2=0.25 m,因?yàn)棣1＞Δx2,所以物塊在傳送帶上滑動(dòng)的痕跡長度Δx=Δx1=1 m。

(4)物塊與傳送帶達(dá)共速前,根據(jù)牛頓第二定律得mgsinθ+μ2mgcosθ=ma3,解得a3=10 m/s2。物塊與傳送帶達(dá)共速所用的時(shí)間物塊的位移x3=,傳送帶的位移x帶3=v帶1t3=1.6 m,因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q＇=μ2mgcosθ·(x帶3-x3)=4 J,物塊對傳送帶做的功W1=-μ2mgcosθ·x帶3=-8 J。物塊與傳送帶達(dá)共速后,因?yàn)閙gsinθ=μ2mgcosθ,所以物塊與傳送帶一起勻速下滑,則物塊對傳送帶做的功W2=mgsinθ· (lAB-x3),其中l(wèi)AB=x1+x2=3.25 m,解得W2=12.25 J。因此全過程中物塊對傳送帶做的功W總=W1+W2=4.25 J。

(5)t0=0.2 s時(shí)間內(nèi)物塊沿傳送帶向下做勻加速運(yùn)動(dòng),根據(jù)牛頓第二定律得mgsinθ+μ3mgcosθ=ma4,解得a4=12.5 m/s2,0.2 s 末時(shí)刻物塊的速度大小v4=a4t0=2.5 m/s,物塊的位移0.25 m。0.2 s時(shí)刻后物塊先沿傳送帶向下做勻減速運(yùn)動(dòng),根據(jù)牛頓第二定律得μ3mgcosθ-mgsinθ=ma5,解得a5=2.5 m/s2,物塊速度減小到0 所用的時(shí)間,物塊的位移之后物塊沿傳送帶向上做勻加速運(yùn)動(dòng),加速度大小也為a5=2.5 m/s2,物塊與傳送帶達(dá)共速所用的時(shí)間,物塊向上的位移大小,因?yàn)閙gsinθ＜μ3mgcosθ,所以物塊還要做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間因此物塊回到A端所用的時(shí)間t總=t0+t5+t6+t7=2.35 s。t0=0.2 s時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移x帶4=v帶1t0=0.8 m,物塊與傳送帶的相對位移Δx3=x帶4-x4=0.55 m;0.2 s時(shí)刻后傳送帶向上的位移大小x帶5=v帶2(t5+t6)=3.6 m,物塊與傳送帶的相對位移Δx4=x5-x6+x帶5=4.05 m。全過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q″=μ3mgcosθ·(Δx3+Δx4)=34.5 J,電動(dòng)機(jī)多消耗的電能E電=Q″+

點(diǎn)評(píng):物塊在0.5 s時(shí)刻后所受滑動(dòng)摩擦力的方向由沿斜面向下變?yōu)橄蛏蠟殡[含條件,需根據(jù)物塊的v-t圖像中物塊與傳送帶的速度關(guān)系判斷得出。判斷物塊的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵,對于足夠長傳送帶來說,當(dāng)最大靜摩擦力fmax=μmgcos θ＜mgsinθ,即μ＜tanθ時(shí),物塊在后0.5 s時(shí)間內(nèi)做加速運(yùn)動(dòng)到達(dá)傳送帶底端;當(dāng)最大靜摩擦力fmax=μmgcosθ≥mgsinθ,即μ≥tanθ時(shí),物塊與傳送帶達(dá)到相同速度后將做勻速運(yùn)動(dòng)(受到大小等于mgsinθ的靜摩擦力)到達(dá)傳送帶底端。(3)問中,前0.5 s時(shí)間內(nèi)和后0.5 s時(shí)間內(nèi),物塊相對傳送帶的位移方向相反,兩段滑動(dòng)痕跡是覆蓋關(guān)系,因此痕跡總長等于兩者中較大者。

三、水平二維傳送帶問題

例3如圖3所示,生產(chǎn)車間有兩個(gè)相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙,傳送帶甲的速度為v0。工件離開傳送帶甲前與甲的速度相同,并平穩(wěn)地傳到傳送帶乙上,工件與傳送帶乙之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。傳送帶乙的寬度足夠大,重力加速度為g。

圖3

(1)若傳送帶乙的速率也為v0,求工件在傳送帶乙上側(cè)向(垂直于乙的運(yùn)動(dòng)方向)滑過的距離x。

(2)若傳送帶乙的速率為2v0,求工件在傳送帶乙上剛停止側(cè)向滑動(dòng)時(shí)的速率v。

(3)保持傳送帶乙的速率為2v0不變,當(dāng)工件在傳送帶乙上剛停止側(cè)向滑動(dòng)時(shí),下一個(gè)工件恰好傳到傳送帶乙上,如此反復(fù)。若每個(gè)工件的質(zhì)量均為m,除工件與傳送帶之間的摩擦外,其他能量損耗均不計(jì)__,求驅(qū)動(dòng)傳送帶乙的電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率。

解析：(1)以傳送帶乙為參考系,工件剛滑上傳送帶乙時(shí)有相對傳送帶乙的側(cè)向速度v0和與傳送帶乙運(yùn)動(dòng)方向相反的速度v0,其合速度方向與傳送帶乙側(cè)向(x軸)間的夾角α=45°,受到的摩擦力方向與合速度方向相反,摩擦力大小f=μmg,工件的速度和受力如圖4所示。工件在側(cè)向的分運(yùn)動(dòng)為勻減速直線運(yùn)動(dòng),設(shè)側(cè)向加速度大小為ax,根據(jù)牛頓第二定律得μmgcosα=max,解得ax=μgcosα。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得0-v20=-2axx,解得

圖4

(2)作出工件的速度和受力如圖5所示,設(shè)t=0 時(shí)刻摩擦力與側(cè)向(x軸)間的夾角為θ,側(cè)向、縱向加速度大小分別為ax、ay,則tanθ。在很短的時(shí)間Δt內(nèi),側(cè)向、縱向的速度增量Δvx=axΔt,Δvy=ayΔt,解得又有tanθ=因此摩擦力方向保持不變,當(dāng)vx＇=0時(shí),vy＇=0,即工件停止側(cè)向滑動(dòng)時(shí)與傳送帶同速,工件的速率v=2v0。

圖5

點(diǎn)評(píng):求解(1)問時(shí),理解“相對”的本質(zhì)是關(guān)鍵,選傳送帶乙為參考系是準(zhǔn)確判斷工件所受摩擦力方向的基礎(chǔ),識(shí)別、構(gòu)建工件相對傳送帶乙做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的過程模型是簡便求解的前提。求解(2)問時(shí),工件在傳送帶乙上沿側(cè)向(x軸)與縱向(y軸)滑動(dòng)所用的時(shí)間相等為隱含條件,推理論證如下:在圖5中,根據(jù)v0=μgcosθ·t側(cè),2v0=μgsinθ·t縱,tanθ=,推理得t側(cè)=t縱。求解(3)問時(shí),以傳送帶乙為參考系的解答過程更簡捷,同學(xué)們不妨一試。