潘琪

［摘? 要］ “銳角三角函數(shù)”是蘇科版教材九年級下冊的重要內(nèi)容，銜接了初高中的知識. 教學(xué)該內(nèi)容需要引導(dǎo)學(xué)生全面掌握直角三角形邊、角的關(guān)系，理解三角函數(shù)的定義，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律. 章節(jié)知識跨度較大，教學(xué)中教師需要重構(gòu)教材內(nèi)容，分析學(xué)生實際情況，合理設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解相關(guān)內(nèi)容.

［關(guān)鍵詞］ 銳角；三角函數(shù)；概念；規(guī)律；思想方法

教材與學(xué)情分析

“銳角三角函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，將其安排在九年級下冊，是為了更好地銜接初高中的知識內(nèi)容. 初中學(xué)段的三角函數(shù)是學(xué)生后續(xù)在高中階段深入探究三角函數(shù)的基礎(chǔ)，因此引導(dǎo)學(xué)生掌握三角函數(shù)的概念和解直角三角形的方法便顯得格外重要.

1. 教材分析

“銳角三角函數(shù)”章節(jié)內(nèi)容主要包括兩方面：一是銳角三角函數(shù)的概念，包括正弦、余弦和正切的概念；二是利用銳角三角函數(shù)來解直角三角形. 銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，需要借助直角三角形的三邊關(guān)系來構(gòu)建. 教學(xué)中教師需要落實四個內(nèi)容：一是銳角三角函數(shù)的概念；二是特殊角的三角函數(shù)值；三是根據(jù)三角函數(shù)值來求解角度；四是解直角三角形的具體方法. 實際教學(xué)中教師應(yīng)立足三大要點：一是基本點，引導(dǎo)學(xué)生認識與應(yīng)用銳角三角函數(shù)；二是支撐點，基于勾股定理開展模型構(gòu)建；三是能力提升點，引導(dǎo)學(xué)生掌握圖形的組合與轉(zhuǎn)化方法，靈活結(jié)合問題構(gòu)建直角三角形.

2. 學(xué)情分析

學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)、四邊形、相似三角形和直角三角形等知識，初步掌握了直角三角形的邊、角關(guān)系，以及基本的函數(shù)定義，可以熟練使用勾股定理來解決與三角形相關(guān)的問題，同時已經(jīng)具備了一定的思維能力. 這些知識與能力為學(xué)生探究銳角三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，因此教學(xué)中教師可以合理使用知識探究的方式來引導(dǎo)學(xué)生開展銳角三角函數(shù)的概念學(xué)習(xí).

銳角三角函數(shù)是學(xué)生初次接觸這類函數(shù)，顯然不易理解其概念，也不能想到任意銳角的三角函數(shù). 另外學(xué)生也不理解三角函數(shù)值與直角三角形的三邊關(guān)系. 教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逐步探究，通過比較、分析來得出結(jié)論.

基于上述教材分析與學(xué)情分析，教學(xué)時教師要遵循學(xué)生的認知規(guī)律，采用知識探究的方式實施教學(xué). 對此，提出以下兩點教學(xué)建議.

建議1：從學(xué)生的認知水平出發(fā)，實施概念教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過類比思考獲得新知. 如在學(xué)生掌握了函數(shù)、坐標(biāo)系、直角三角形等知識點的基礎(chǔ)上，通過研究舊知的方式引出新知.

建議2：遵循學(xué)生的認知規(guī)律，合理設(shè)計探究環(huán)節(jié)，利用科學(xué)的方法循序引導(dǎo). 建議設(shè)計如下環(huán)節(jié)：引出新知→定義概念→探尋規(guī)律.

設(shè)計與引導(dǎo)探究

通過分析“銳角三角函數(shù)”的教材內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情，明確了章節(jié)教學(xué)的重點，并構(gòu)建了教學(xué)主線. 下面基于上述分析開展教學(xué)設(shè)計.

教學(xué)環(huán)節(jié)1——情境設(shè)計，引出新知

教學(xué)初始可創(chuàng)設(shè)問題情境，以引導(dǎo)學(xué)生自主探究. 問題要立足直角三角形，立足學(xué)生認知的起點.

設(shè)計如下問題：如圖1所示，某縣為了綠化一座荒山，準(zhǔn)備從位于山腳下的機井房A點處沿著山坡鋪設(shè)澆灌水道，并在山坡上修建一座水站，對坡面的草地進行噴灌. 現(xiàn)測得斜坡與水平面所成的角為30°，為了使出水口與地面的高度差為35 m，試問需要準(zhǔn)備多長的水管？

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生基于實例構(gòu)建模型. 如圖1所示，顯然∠BAC=30°，BC=35 m，求AB的長度，引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的性質(zhì)來求解. 在此基礎(chǔ)上進行問題變式，設(shè)定出水口的高度為50 m，進一步探究所需水管的長度. 讓學(xué)生通過解決實際問題，深刻感知直角三角形中30°角所對邊與直角邊的比值不變的規(guī)律.

教學(xué)環(huán)節(jié)2——表示兩邊比，生成概念

在環(huán)節(jié)1的基礎(chǔ)上，設(shè)定兩邊比，生成銳角三角函數(shù)的概念. 共分兩個階段：一是重新設(shè)計幾何問題，利用特殊的直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生由已知特殊角和三角形一邊，求三角形的邊、角未知量，并探尋其中的規(guī)律；二是明確兩邊比的表示，生成概念.

（1）設(shè)計問題

如圖2所示，兩個三角形均為直角三角形，已知圖中所示條件，求三角形另外未知的邊和角.

教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的特性、內(nèi)角和定理，勾股定理等已掌握的知識來推導(dǎo)，同時讓學(xué)生關(guān)注含特殊角度的直角三角形中三邊之間的關(guān)系. 教師以等腰直角三角形為例，變更等腰直角三角形的腰長，讓學(xué)生分析腰的長度變化與兩腰的比值變化規(guī)律.

引出如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，OM是由原點O引出的一條經(jīng)過第一象限的射線，射線OM與x軸正半軸的夾角為α，NP⊥x軸，思考當(dāng)P為射線OM上任意一點時，NP與ON的比值是否一致. 在射線OM上多次取點，讓學(xué)生通過測量的方式來求NP與ON的長，進而求NP與ON的比值，引出銳角α的正切來定義上述比值的相等關(guān)系.

（2）表示方法

在上述探究的基礎(chǔ)上開展兩邊之比的方法教學(xué)，生成銳角三角函數(shù)的概念. 教學(xué)中教師針對正弦、余弦、正切三大概念，借助直角三角形依次用直角三角形的邊長比值來表示，生成概念.

教學(xué)環(huán)節(jié)3——特殊到一般，探尋變化規(guī)律

銳角三角函數(shù)中隱含了一定的規(guī)律，完成概念定義后建議采用從“特殊”到“一般”的方式深入探究規(guī)律. 探究過程同樣分兩個階段：第一階段，特殊角的銳角三角函數(shù)梳理；第二階段，動態(tài)演示角度與兩邊比值之間的變化規(guī)律.

第一階段，利用特殊直角三角形的兩邊之比，得出相應(yīng)的銳角三角函數(shù)的比值，梳理特殊角的正弦、余弦、正切，完成表1.

第二階段，將直角三角形一般化，探尋當(dāng)∠A取其他一般角度時，對應(yīng)的正弦、余弦和正切值是否發(fā)生變化. 教學(xué)中使用幾何畫板來進行研究，展示圖5所示的“單位圓”，探究直角三角形的三角函數(shù)值的變化規(guī)律.

教學(xué)中從兩個方向進行引導(dǎo)：一是改變∠A的大小，讓學(xué)生觀察三角函數(shù)對應(yīng)邊長與比值的變化，發(fā)現(xiàn)其中“變”的規(guī)律；二是∠A的大小不變，改變AB的長度，從而改變Rt△ABC的大小，讓學(xué)生再次觀察對應(yīng)三角函數(shù)的邊長比值變化，發(fā)現(xiàn)其中“不變”的規(guī)律.

教學(xué)與設(shè)計思考

“銳角三角函數(shù)”的知識內(nèi)容較為特殊，既涉及幾何知識，又包含代數(shù)知識（函數(shù)），是三角函數(shù)體系中的重要內(nèi)容，對于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維極為有利. 教學(xué)中教師要合理整合教材，圍繞重點知識設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生逐層探究，讓知識自然生成，同時充分滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 對此，下面提出幾點建議.

1. 有效整合教材，完成知識重構(gòu)

教材是課堂教學(xué)的主要依據(jù)，但教學(xué)中不必完全照搬教材，不必完全按照教材的內(nèi)容編排順序來設(shè)計教學(xué)活動，而應(yīng)有效整合教材，對知識進行重構(gòu). 在整合教材、重構(gòu)知識的過程中，要把握教學(xué)重點，準(zhǔn)確把握學(xué)生的知識起點，遵循學(xué)生的認知規(guī)律. 如“銳角三角函數(shù)”的教學(xué)中，教學(xué)重點是銳角三角函數(shù)的定義，研究重點是直角三角形中“銳角”與“兩邊之比”的對應(yīng)關(guān)系，因此課堂教學(xué)需要充分依托直角三角形的性質(zhì)完成知識探究. 同時利用直角三角形的邊長之比來梳理正弦、余弦和正切的概念，完成定義區(qū)分.

2. 合理設(shè)問引導(dǎo)，驅(qū)動知識生成

開放的課堂有助于拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生更好地融入課堂，讓知識自然生成，這就要求教師在課堂教學(xué)中合理設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生思考. 在“銳角三角函數(shù)”的教學(xué)中，筆者建議采用情境導(dǎo)入、問題引導(dǎo)探究的方式，根據(jù)學(xué)生已掌握的直角三角形相關(guān)知識，讓學(xué)生自主測量、計算，進而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律. 針對探索中出現(xiàn)的不同情況，引導(dǎo)學(xué)生進行小組討論，開展互動交流合作，利用學(xué)生的生成性資源來驅(qū)動課堂. 教學(xué)中教師注意巧設(shè)問題，利用指向性問題把握教學(xué)方向.

3. 滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生素養(yǎng)

“銳角三角函數(shù)”的教學(xué)有兩大重點：一是三角函數(shù)的概念，二是發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律. 實際教學(xué)中教師不僅要完成知識講授，還要合理滲透數(shù)學(xué)思想，尤其是類比思想和“特殊”到“一般”的思想. 在概念教學(xué)中講授了正弦定理后，教師要滲透類比思想，讓學(xué)生通過類比正弦來定義余弦和正切；而在規(guī)律探究中，教師要滲透“特殊”到“一般”的思想，先總結(jié)常見的特殊角度的三角函數(shù)，然后引入動態(tài)畫板，演示一般角的變化，從而完成從特殊角規(guī)律的梳理到一般角規(guī)律的發(fā)現(xiàn). 整個教學(xué)過程中，教師充分挖掘數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生親身感悟，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).