林莉君

［摘? 要］ 課題學(xué)習(xí)有利于拓展學(xué)生的知識面，有利于提升學(xué)生解決問題的能力，有利于提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，其在教學(xué)中具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，值得一線教師給予深度關(guān)注. 文章以“怎樣選擇較優(yōu)方案”為例，通過巧設(shè)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)、樂于思考、敢于探究、勇于創(chuàng)新的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)分析及應(yīng)用能力的全面提升.

［關(guān)鍵詞］ 課題學(xué)習(xí)；巧設(shè)問題；全面提升；探究創(chuàng)新

隨著時代的進(jìn)步，當(dāng)前社會越來越需要具有創(chuàng)新精神的研究性人才，數(shù)學(xué)教師應(yīng)肩負(fù)起培養(yǎng)研究性人才的重任. 為了更好地培養(yǎng)研究性人才，初中數(shù)學(xué)教材中安排了許多課題學(xué)習(xí)，其以數(shù)學(xué)活動為載體，通過讓學(xué)生獨(dú)立思考、合作探究來培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生敏銳的觀察力、豐富的想象力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S力和強(qiáng)大的創(chuàng)造力，進(jìn)而讓學(xué)生具備主動發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力. 不過在實(shí)際教學(xué)中，因課題學(xué)習(xí)耗時耗力，且對于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績沒有顯著的作用，并未引起教師的重視，通常情況下教師以課后作業(yè)的形式安排學(xué)生對課題學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行課后閱讀. 因?yàn)榻處煹牟恢匾?，自然難以引起學(xué)生的重視，有些學(xué)生會按照教師的要求進(jìn)行粗略的閱讀，有些學(xué)生甚至不予理睬，這樣課題學(xué)習(xí)的價值難以體現(xiàn)，違背了課題設(shè)計(jì)者的初衷. 要知道，課題學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史、了解更多的奇聞軼事，這樣不僅可以拓展學(xué)生的知識面，而且可以提高學(xué)生分析和解決問題的能力，并使學(xué)生在分析和解決問題的過程中，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，逐漸形成正確的價值觀. 為此，教師應(yīng)對課題學(xué)習(xí)給予足夠的重視并進(jìn)行深入的探討和研究，進(jìn)而將知識、技能、過程、方法、情感、價值觀更好地結(jié)合起來，從而取得更好的教學(xué)效果.

下面，筆者結(jié)合“怎樣選擇較優(yōu)方案”教學(xué)實(shí)錄，談?wù)勔恍┳约簩φn題學(xué)習(xí)的認(rèn)識，以期能夠引起同行對課題學(xué)習(xí)的重視，若有不足請指正！

教學(xué)實(shí)錄

1. 借助故事，引入新知

師：田忌賽馬的故事，大家還記得嗎？

生（齊）：記得.

師：這個故事大家應(yīng)該耳熟能詳，老師在這里就不再重復(fù)了，對于這個比賽你有什么感想呢？

生1：在生活中應(yīng)善于觀察和思考，善于從全局的角度去分析和解決問題，努力尋找一個最優(yōu)解決方案.

師：說得很好，就在大家都認(rèn)為這個比賽毫無勝算的情況下，聰明的田忌選擇了一個最優(yōu)方案，最后贏得了比賽. “怎樣選擇較優(yōu)方案”就是我們需要研究的課題.

設(shè)計(jì)意圖 借助學(xué)生熟悉的故事讓學(xué)生體會“較優(yōu)方案”在實(shí)際生活中的意義，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對新知的探究熱情.

2. 借助問題，探尋方法

師：大家有沒有選擇話費(fèi)套餐的經(jīng)歷呢？

生（齊）：有.

師：好的，現(xiàn)在我們一起來看下面這個問題. （教師PPT展示問題）

例1 如圖1是甲通信公司推出的兩種話費(fèi)套餐的通話費(fèi)用y關(guān)于通話時間x的函數(shù)圖象. 根據(jù)圖象回答下列問題.

（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？表示什么實(shí)際意義？

（2）交點(diǎn)B的坐標(biāo)是多少？表示什么實(shí)際意義？

（3）結(jié)合圖象說一說，在何種情況下選擇什么套餐為最優(yōu)方案？

生2：A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，50），表示通話0分鐘，通話費(fèi)用50元.

師：為什么沒有通話還要交付50元的費(fèi)用呢？

生3：50元是月租費(fèi)，無論是否消費(fèi)都需要交付.

師：說得很好，那么第（2）問誰來回答？

生4：交點(diǎn)B的坐標(biāo)是（250，150），表示當(dāng)通話時間為250分鐘時，兩種方案所要支付的話費(fèi)相同，都為150元.

師：說得很好，表述準(zhǔn)確. 第（3）問呢？

生5：根據(jù)圖象可知，當(dāng)通話時間x滿足0≤x<250時，應(yīng)選擇方案一；當(dāng)通話時間x滿足x>250時，應(yīng)選擇方案二；當(dāng)通話時間x=250時，兩種方案任選其一.

師：同學(xué)們觀察得非常仔細(xì)，說得很好，借助圖象很快找到了最優(yōu)方案.

設(shè)計(jì)意圖 將實(shí)際生活與函數(shù)圖象相結(jié)合，在培養(yǎng)學(xué)生觀察力的同時，讓學(xué)生體會到圖象的直觀性和快捷性，為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

3. 合作探究，挖掘本質(zhì)

例2 乙通信公司提供了A，B兩種套餐供選擇，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表1所示.

如果在A，B兩種套餐中任選一種，你會如何選？

問題給出后，為了便于學(xué)生理解，便于課堂生成，教師做了如下引導(dǎo).

師：你認(rèn)為人們在選擇套餐時，根據(jù)的是什么？

生（齊）：省錢.

師：很好，那么在相同服務(wù)質(zhì)量下，價格最低也就是最優(yōu)方案.

師：分析表1，你知道每月所付的話費(fèi)金額包括哪幾部分嗎？

生6：基本服務(wù)費(fèi)和超出免費(fèi)通話時間后所需要支付的費(fèi)用.

師：很好！若設(shè)每月的話費(fèi)為y，通話時間為x，你能將A，B兩種套餐轉(zhuǎn)化為關(guān)于y與x的函數(shù)關(guān)系式嗎？（教師讓基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生回答）

生7：y_Ａ=30+0.4（x－120）=0.4x－18；y_Ｂ=50+0.4（x－200）=0.4x－30.

師：你們認(rèn)同生7的意見嗎？

生8：這樣表示不夠完整，應(yīng)為：

師：說得很好，我們在建立函數(shù)表達(dá)式時，一定不能忽視自變量的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖 通過恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)讓學(xué)生建立函數(shù)模型，為后面應(yīng)用函數(shù)圖象和函數(shù)表達(dá)式來尋求最優(yōu)方案奠定基礎(chǔ). 同時，在函數(shù)建模時滲透了分段函數(shù)建模思想，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自變量的取值范圍，理解分段函數(shù)的本質(zhì).

師：關(guān)系式找到了，接下來就要根據(jù)通話時間選擇最優(yōu)方案了. 請你給出一個通話時間，并給出對應(yīng)的最優(yōu)方案. （教師預(yù)留時間讓學(xué)生舉例、探究、交流）

生9：如果通話時間為100分鐘，應(yīng)該選擇A套餐.

師：說說你的理由.

生9：因?yàn)楫?dāng)x=100時，y_Ａ=30，y_Ｂ=50.

師：好的，你們又是怎么選的？

生10：當(dāng)通話時間為250分鐘時，應(yīng)選擇B套餐.

師：為什么？

生10：因?yàn)楫?dāng)x=250時，y_Ａ=82，y_Ｂ=70.

師：很好，若通話時間為一個確定時間，我們可以將通話時間直接代入關(guān)系式，進(jìn)而求得準(zhǔn)確值進(jìn)行比較，從而得到最優(yōu)方案.

師：那么能否如例1那樣，使在某個通話時間內(nèi)選擇兩種套餐所支付的費(fèi)用相同呢？

生11：當(dāng)x=170時，此時y_Ａ=y_Ｂ，兩種套餐所支付的費(fèi)用相同.

師：你是如何求解的？

生11：我是通過解方程的方式求解的，因?yàn)閥_Ａ=y_Ｂ，所以0.4x－18=50，解得x=170.

師：哦，那為什么不是0.4x－30=30或0.4x－18=0.4x－30呢？

生11：對于y_Ａ=30（0≤x≤120），y_Ｂ=0.4x－30（x>200），這兩個表達(dá)式中的自變量沒有交集，所以方程0.4x－30=30不成立，而方程0.4x－18=0.4x－30無解.

師：分析得很好，理解得很透徹.

設(shè)計(jì)意圖 通過開放性問題引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算函數(shù)值來尋找最優(yōu)方案，體會函數(shù)表達(dá)式的妙用. 另外通過尋找“相同”，引導(dǎo)學(xué)生將方程、函數(shù)、不等式相串聯(lián)，體會三者密不可分的關(guān)系，為后面運(yùn)用函數(shù)圖象尋找最優(yōu)方案埋下伏筆.

師：方程法是不是唯一的解決方法呢？還有沒有其他辦法？

生12：可以用圖象法嗎？

師：是一個不錯的想法，那么如何在同一直角坐標(biāo)系中畫出剛才的兩個函數(shù)關(guān)系式呢？（教師讓學(xué)生在草稿紙上獨(dú)立完成圖象的繪制，同時巡視）

師：大家畫得都很好，我也畫了一個圖象，你們看一下我們畫的是否一致？（教師用PPT展示圖2）

設(shè)計(jì)意圖 利用圖象的直觀性進(jìn)一步幫助學(xué)生理解分段函數(shù)的本質(zhì)，讓學(xué)生更加輕松、快捷地找到最優(yōu)方案.

師：從圖象上看，當(dāng)x>200時，兩個函數(shù)圖象好像是平行的？它們是否真的平行呢？

生13：平行的，因?yàn)楫?dāng)x>200時，兩個解析式中x的系數(shù)k都為0.4.

師：很好，如何結(jié)合圖象來理解方程0.4x－18=0.4x－30無解呢？

生14：因?yàn)閮蓷l直線互相平行，沒有交點(diǎn)，所以無解.

師：很好. 觀察圖象，當(dāng)通話時間x符合什么條件時，兩種套餐付費(fèi)的差額為定值？

生15：當(dāng)通話時間x≤120時，兩種套餐付費(fèi)的差額為定值20元；當(dāng)通話時間x≥200時，兩種套餐付費(fèi)的差額為定值12元.

師：很好，我們知道當(dāng)通話時間小于或等于120分鐘時，可以直接用B套餐的基本收費(fèi)金額減去A套餐的基本收費(fèi)金額，為此得到差額為20元. 那么當(dāng)通話時間大于或等于200分鐘時，你的12元是怎么得的呢？

生15：與剛剛的思路相同，y_Ａ－y_Ｂ=（0.4x－18）－（0.4x－30）=12.

設(shè)計(jì)意圖 這樣由k值相同推導(dǎo)出兩個函數(shù)圖象平行，再由圖象平行理解方程無解和差額為定值，通過數(shù)與形的完美結(jié)合，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和分析能力，為后面的拓展應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

師：結(jié)合圖象判斷當(dāng)A，B兩種套餐付費(fèi)金額的差為10元時，對應(yīng)的通話時間有幾個？

生16：有2個.

師：你能求出對應(yīng)的通話時間嗎？

生16：當(dāng)120Ａ－y_Ｂ=50－（0.4x－18）=10，解得x=145；當(dāng)170Ａ－y_Ｂ=（0.4x－18）－50=10，解得x=195.

設(shè)計(jì)意圖 借助圖象的直觀性讓學(xué)生先對結(jié)果進(jìn)行預(yù)判，接下來運(yùn)用方程思想求得準(zhǔn)確值，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

師：若通話時間是確定的，我們可以通過代值法進(jìn)行比較，那么若在不確定的情況下，你能結(jié)合圖象設(shè)計(jì)一個最優(yōu)方案嗎？

生17：當(dāng)0≤x<170時，y_ＡＢ，選擇A套餐；當(dāng)x=170時，y_Ａ=y_Ｂ，兩種套餐任選其一；當(dāng)x>170時，y_Ａ>y_Ｂ，應(yīng)選擇B套餐.

師：說得很好，可見在設(shè)計(jì)最優(yōu)方案時，利用圖象法會更加直接、快捷.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生在感受“確定”與“不確定”中體驗(yàn)不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)，加深學(xué)生對不同方法的理解，便于學(xué)生在生活中能夠結(jié)合實(shí)際問題合理設(shè)計(jì)，以此培養(yǎng)思維的靈活性.

4. 拓展應(yīng)用，提升能力

師：如表2，若其他條件不變，將A、B兩種套餐中超出后的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)由“0.4”分別改為“0.3”和“0.5”，思考并回答如下問題：

（1）寫出每月話費(fèi)y與每月通話時間x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在同一直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象；

（3）通話時間x為何值時，A，B兩種套餐的付費(fèi)金額相同？

（4）通話時間x滿足什么條件時，A，B兩種套餐的付費(fèi)差額為定值？

（5）當(dāng)A，B兩種套餐付費(fèi)金額的差為10元時，對應(yīng)的通話時間有幾個？

（6）若通話時長不確定，該如何設(shè)計(jì)一個最優(yōu)方案？

學(xué)生結(jié)合剛剛的探究經(jīng)驗(yàn)，快速地寫出了函數(shù)的關(guān)系式，并在同一直角坐標(biāo)系中繪制出了對應(yīng)圖象（如圖3）.

A，B兩種套餐對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：

設(shè)計(jì)意圖 與例2相比較，此題雖然問題難度略有提升，但基本方法、基本解題思路沒有太大變化，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，適合學(xué)生發(fā)展. 通過這樣問題重現(xiàn)的方式，在幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識的同時，培養(yǎng)了學(xué)生思維的變通性，提高了學(xué)生的應(yīng)變能力.

教學(xué)反思

1. 理解教材

本課題內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)后給出的，是本章內(nèi)容的一個全面回顧和綜合運(yùn)用的過程，同時也是對一次函數(shù)的拓展與延伸. 若在教學(xué)中能夠合理利用課題內(nèi)容并進(jìn)行深度探究，則有利于提升學(xué)生的思維能力和解決問題的能力. 因此，本課題內(nèi)容在教學(xué)中具有深遠(yuǎn)的意義，無論是教師還是學(xué)生，都應(yīng)給予重視.

2. 理解學(xué)生

對于初中生，雖然具有一定的分析和解決問題的能力，不過剛剛學(xué)習(xí)了一次函數(shù)就讓他們探究分段函數(shù)著實(shí)具有一定的挑戰(zhàn). 為此，教師要知道學(xué)生之所“難”，從而通過恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，幫助學(xué)生厘清問題的來龍去脈，順利解決問題. 那么本課題到底難在哪里呢？學(xué)生首先要理解“為什么要分段討論”，接著要搞清楚“如何分段討論”“如何表達(dá)”“如何畫出函數(shù)圖象”“如何詮釋函數(shù)的實(shí)際意義”……這些問題與之前所學(xué)的一次函數(shù)具有一定的關(guān)聯(lián)性，但也有所不同，為此若想解決這些問題，需要師生的共同努力.

3. 理解教學(xué)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)就是引導(dǎo)學(xué)生突破難點(diǎn)，教學(xué)目標(biāo)是利用一次函數(shù)解決實(shí)際生活中“怎樣選擇較優(yōu)方案”的問題，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、思維能力和解決問題的能力能夠有所提升. 為了實(shí)現(xiàn)這樣的教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)中教師應(yīng)做好以下幾點(diǎn)：

（1）尊重個性，鼓勵質(zhì)疑

探究性學(xué)習(xí)需要一個平等的、開放的學(xué)生氛圍，教師要多鼓勵學(xué)生表達(dá)自己的見解，提出自己的疑問，同時允許學(xué)生提出不同的意見，尊重學(xué)生個性，促進(jìn)學(xué)生個性化發(fā)展，只有這樣才能激發(fā)學(xué)生的探究熱情，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識. 另外，在教學(xué)過程中，教師要關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展過程，及時給予科學(xué)的評價和點(diǎn)撥，從而實(shí)現(xiàn)知識的正向遷移.

（2）發(fā)動“群眾”，集思廣益

因受個體思維定式的影響，若學(xué)習(xí)時“閉門造車”，往往容易陷入“死胡同”，不利于學(xué)生發(fā)展，為此在開展探究性學(xué)習(xí)活動時，教師應(yīng)多為學(xué)生搭建一些合作探究的平臺，進(jìn)而讓學(xué)生在交流與合作中能夠有所收獲、有所成長. 如在“建立分段函數(shù)模型”時，教師并沒有直接給出分段函數(shù)模型，而是先讓一個基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生先回答，從而借助學(xué)生所暴露出的問題進(jìn)行探究和完善，不僅建立起了分段函數(shù)模型，而且明晰了分段函數(shù)的本質(zhì)，體會到了自變量取值范圍在分段函數(shù)中的重要意義.

（3）巧設(shè)問題，化難為簡

問題是探究的起點(diǎn)，為此在開展探究性學(xué)習(xí)時，需要結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的知識，貼合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，設(shè)計(jì)一些由淺入深、逐層遞進(jìn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動探究，從而突破學(xué)習(xí)難點(diǎn). 從本課題教學(xué)來看，整個教學(xué)過程以“問題”為主線，通過“問題”解決，逐步化解學(xué)習(xí)難點(diǎn). 如“結(jié)合圖象尋找最優(yōu)方案”時，利用k值相同來理解函數(shù)圖象互相平行的概念，再利用平行線的概念理解方程無解以及等距，進(jìn)而利用等距理解差額的定值. 通過這些相互聯(lián)系、逐層遞進(jìn)的問題鏈，誘發(fā)學(xué)生深度思考，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn).

總之，課題學(xué)習(xí)是寶貴的教學(xué)資源，值得教師和學(xué)生去深度探究和挖掘，從而充分發(fā)揮課題學(xué)習(xí)在提升學(xué)習(xí)能力、發(fā)展數(shù)學(xué)思維等方面的優(yōu)勢，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.