李姍姍 龔 薇

(四川大學(xué)電氣信息學(xué)院 四川 成都 610065)

0 引 言

近年來，由于科學(xué)技術(shù)的加速發(fā)展，無人駕駛飛行器的應(yīng)用越來越廣泛，如搜索救援任務(wù)[1-2]、火災(zāi)監(jiān)測[3]、邊境巡邏[4]、作物監(jiān)測[5]和基礎(chǔ)設(shè)施檢查[6-8]等。而四旋翼飛行器憑借其具有懸浮、高機動性和簡單設(shè)計的特性，成為最常用的飛行器之一。然而，盡管它們具有巨大的應(yīng)用潛力和操作自主性，但從技術(shù)演示到實際應(yīng)用的轉(zhuǎn)變卻是一個緩慢的過程。造成這一重大差距的原因在于無人機飛行器實際操作中通常會受到干擾的影響，為了保證飛行可行性，如何處理干擾是無人機飛行器的首要考慮之一，也是目前的重大挑戰(zhàn)之一。

在過去的幾十年中，已經(jīng)發(fā)表了許多關(guān)于四旋翼動態(tài)建模的文章[9-11]。Mistler等[12]首次將反饋線性化方法應(yīng)用于四旋翼飛行跟蹤參考軌跡。Bouabdallah等[13]比較了兩種基于模型的直升機穩(wěn)定性控制技術(shù)的性能:一種采用簡化動力學(xué)的經(jīng)典PID方法和一種基于更完整模型的現(xiàn)代LQR技術(shù)。Castillo等[14-15]給定四旋翼的位置，并應(yīng)用嵌套飽和控制來穩(wěn)定其姿態(tài)。Xu等[16]提出了一種滑?？刂破鱽矸€(wěn)定一類級聯(lián)欠驅(qū)動系統(tǒng)。另一種常見的控制方法是逆步進技術(shù)[17]。

然而近幾年計算機計算能力的增強，使得先進的控制器成為可能。在這種情況下出現(xiàn)的一個突出的控制策略是模型預(yù)測控制(MPC)?；厮莸?0世紀70年代末，模型預(yù)測控制在最初的構(gòu)想是控制化學(xué)工業(yè)過程[18]，它通常具有緩慢的動力學(xué)和以秒或分鐘計算的采樣時間。由于當(dāng)今的高性能處理器，MPC已經(jīng)被應(yīng)用于四旋翼飛行器中的快速系統(tǒng)。2013年Subbarao等[19]根據(jù)一個四旋翼的線性化模型建立了一個MPC模型。建立的控制器可以跟隨軌跡，同時能處理對飛機方向施加的限制(滾軸和俯仰角)。但這種方法無法處理系統(tǒng)中存在的不確定擾動，一種常用的處理擾動的方法為魯棒模型預(yù)測控制，但這種方法可能由于過度保守而無法解出可行解。一種自然而然的想法便是放寬約束，使約束在一定概率內(nèi)滿足，這種考慮導(dǎo)致了隨機模型預(yù)測控制(SMPC)的出現(xiàn)，該方法可以使系統(tǒng)在滿足約束與控制性能之間進行權(quán)衡，這導(dǎo)致系統(tǒng)控制性不再那么保守。

實際上，在無人機飛行中，可以找到多個擾動源，如位置或速度測量誤差、電機速度失調(diào)，甚至大氣阻力，以及一些未知分布的隨機擾動。本文在只知道擾動一階矩及二階矩的情況下，提出一種SMPC控制方案，實現(xiàn)在一定程度上滿足約束。擾動的處理采用分布式魯棒方法求出其模糊集，再針對軟化后的單輸入約束與聯(lián)合狀態(tài)約束進行分別處理。前者采用最壞情況下的條件風(fēng)險值約束進行等價轉(zhuǎn)換，然后運用定理等價為可計算的半定規(guī)劃(SDP)凸優(yōu)化約束。后者采用布爾不等式將聯(lián)合約束轉(zhuǎn)換為多個單狀態(tài)約束，再運用凱特利切比雪夫不等式將非凸約束轉(zhuǎn)換為凸約束。計算過程中采用了在線擾動反饋，該方法可解決狀態(tài)反饋存在的非凸問題。針對該算法，本文在末尾進行了凸優(yōu)化可計算分析以及可行性穩(wěn)定性分析，證實了該算法的可計算性、可行性與穩(wěn)定性。

1 四旋翼無人機的模型和問題描述

1.1 四旋翼無人機的線性模型

在本節(jié)中，我們通過轉(zhuǎn)換地面坐標(biāo)系原點與機體坐標(biāo)系原點對四旋翼無人機建立力學(xué)研究坐標(biāo)系(如圖1所示)，并建立了四旋翼無人機的六自由度動力學(xué)模型，將其應(yīng)用于控制器的設(shè)計中?；诮Y(jié)構(gòu)建立的模型可以顯著提高設(shè)計和測試效率，對控制系統(tǒng)的設(shè)計和性能分析具有重要的意義。

圖1 四旋翼無人機坐標(biāo)系統(tǒng)

通常，四旋翼無人機被建模為一個具有6個自由度[x,y,z,φ,θ,φ]的剛體，其中：x、y、z分別表示笛卡爾坐標(biāo)系中的狀態(tài)；φ、θ、φ分別表示俯仰角、旋轉(zhuǎn)角與偏航角。

式中：b和d分別表示推力系數(shù)和阻力系數(shù)。則其非線性動力學(xué)模型可以由歐拉-拉格朗日方程[13-14]推導(dǎo)得。

假設(shè)無人機在近似懸停狀態(tài)時，該動力學(xué)模型可以由一個線性的模型來近似，在工作平衡點附近使用一階泰勒展開[20]，最終轉(zhuǎn)化成線性離散狀態(tài)空間模型為:

(1)

1.2 約束條件

如上所述，四旋翼無人機的動力學(xué)模型有6個輸出[x,y,z,φ,θ,φ]，四個獨立的輸入[Ω1,Ω2,Ω3,Ω4]。由于四旋翼的欠驅(qū)動性質(zhì)，在[x,y,z,φ]達到理想位置時，只需[φ,θ]保持穩(wěn)定[21]。因此需要限制它們的振幅。這些約束能被表示為:

φmin≤φ≤φmax

θmin<θ≤θmax

這些約束可由線性不等式約束集合定義的凸區(qū)域Fx定義為如下形式：

(2)

在實際飛行中，馬達轉(zhuǎn)速也會受到電壓的限制，則控制輸入受到約束，可表示為:

u≤umax

同理，控制輸入可表示為如下線性不等式描述的凸可行區(qū)域Fu:

Fu={u|Hu≤h}

(3)

其中，系數(shù)H與h定義如下：

2 模型預(yù)測控制算法的重構(gòu)

2.1 模型預(yù)測控制的系統(tǒng)模型

在有限時間的最優(yōu)控制中，假設(shè)模型是從t到t+N求解優(yōu)化問題，其中N為預(yù)測視界。定義狀態(tài)、輸入、擾動與輸出的緊湊模式如下：

(4)

則式(1)可轉(zhuǎn)換為如下緊湊形式：

(5)

式中：C∈RNq×Nn，主對角線值為C，除主對角線外均為0；A、B、D和G可參考文獻[22]，文獻中展示了詳細推導(dǎo)過程。

同理，由定義(4)可將式(2)與式(3)轉(zhuǎn)換為如下緊湊模式:

式中：ai∈R(N+1)q，bj∈R，H∈RNu×Nm,h∈RNm。由于擾動的分布未知且無界，不能保證約束總是能得到滿足，因此可允許一定概率違反約束。在這種情況下，通過考慮系統(tǒng)中存在不確定性的所有可能性，可在系統(tǒng)性能與約束滿足之間進行權(quán)衡。將Fx與Fu替換為如下概率約束：

P(x∈Fx)≥1-δx

(6)

P(u∈Fu)≥1-δu

(7)

式中：δu∈(0,1)、δx∈(0，1)分別表示輸入與輸出最大的違反概率。對于線性問題，常定義如下二次函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)：

(8)

(A+BK)TQN(A+BK)-QN+Q+KTRK=0

故重構(gòu)后的四旋翼無人機的目標(biāo)跟蹤問題P1如下：

minVN(xt,u,w)

(9)

s.t.x=Axt+Bu+DGw

y=Cx

P(x∈Fx)≥1-δx

P(u∈Fu)≥1-δu

2.2 擾動反饋重構(gòu)

由于控制輸入u應(yīng)該是具有當(dāng)前和過去狀態(tài)的某種反饋控制策略，故常采用反饋結(jié)構(gòu)定義控制策略u。以往反饋形式常采用狀態(tài)反饋參數(shù)化，但預(yù)測的輸入序列和狀態(tài)序列是狀態(tài)反饋增益序列的非線性函數(shù)，故一般情況下，可行決策變量集是非凸的。另一種可計算的凸優(yōu)化反饋控制策略為放射擾動反饋參數(shù)化[24]。

(10)

式中：Mi,j∈Rm×n，vi∈Rm。在相關(guān)文獻中，這種擾動反饋控制策略被證明與狀態(tài)反饋控制策略是等價的[24]。同理，式(10)可以表示為如下緊湊形式：

u=MGw+v

式中：M∈RNm×Nn，v∈RNm，其具體形式與推導(dǎo)過程可參考文獻[24]。將反饋結(jié)構(gòu)加入P1，可轉(zhuǎn)換為如下P2問題:

minVN(xt,u,w)

s.t.P(HMGw+Hv-h≤0)≥1-δu

1-δx

3 約束的重構(gòu)

3.1 擾動的重構(gòu)

式中：E[P][·]表示在分布下P的期望，μ=1N?μ0，Σ=IN?Σ0，μ0為擾動均值，Σ0為擾動方差,?表示克羅內(nèi)克積，分別定義為E[ωi]=μ0，Σ[ωt]=Σ0且均已知。

在分布P未知的情況下，通常式(7)的可行集為非凸的，有時甚至是不連通的。對概率分布中不確定性處理的一種常見方法是采用分布魯棒方法[25]，定義分布魯棒的輸入機會約束與聯(lián)合狀態(tài)約束如下：

處理后的輸入與狀態(tài)約束再分別采用合適的方法進行精確凸重構(gòu)。

3.2 輸入約束的凸重構(gòu)

眾所周知，魯棒的單機會約束可以被最壞情況下的條件風(fēng)險值約束保守地近似，且在文獻[25]推理2.1中，證明了當(dāng)原硬約束為擾動的仿射函數(shù)時，該近似是等價的。故上述單輸入約束可等價為如下最壞情況下的條件風(fēng)險值約束：

P-CVaRδu(Hv-h+HMGw)=

式中：P-CVaRδu(a)為δu概率下滿足條件a的概率。并且根據(jù)文獻[25]，可將單輸入最壞情況下的條件風(fēng)險值約束等價為如下可計算的SDP約束：

其中：trace(a)為求矩陣a的跡；N為優(yōu)化的變量。

SDP模型在計算時通常比較復(fù)雜。SOCP模型是SDP模型的特例，但變量更少，算法效率更高，故將上述SDP約束轉(zhuǎn)換為如下SOCP約束的形式，提高計算效率[26]：

(11)

3.3 聯(lián)合狀態(tài)約束的隨機模型預(yù)測控制重構(gòu)

由于聯(lián)合狀態(tài)約束需要在不確定性分布上求解多元積分，導(dǎo)致其求解過程十分棘手，且通常為非凸約束。為了得到一個近似可處理形式，常采用布爾不等式進行轉(zhuǎn)換。首先，需要將狀態(tài)魯棒機會轉(zhuǎn)換為上確界形式。

再應(yīng)用布爾不等式得到如下轉(zhuǎn)換：

式中:δxx=δx/l為輸出最大違反概率δx的l次均值分配，這種固定風(fēng)險分配可避免優(yōu)化算法的非凸性。轉(zhuǎn)換后的分布式魯棒聯(lián)合狀態(tài)約束可轉(zhuǎn)換為如下形式的保守逼近：

(12)

運用坎特利凱特利切比雪夫不等式，可將式(12)固定風(fēng)險分配后的狀態(tài)約束轉(zhuǎn)換為如下可計算的凸優(yōu)化形式，近似文獻[27]引理4.1。

在本文中，由P2可知l=2。單輸入約束與聯(lián)合狀態(tài)約束經(jīng)過一系列轉(zhuǎn)換，均近似成可處理的凸約束。重構(gòu)后的P2問題可以轉(zhuǎn)換為如下的P3問題：

minVN(xt,u,w)

(13)

4 系統(tǒng)性能分析

4.1 系統(tǒng)的可計算分析

顯然，在P4問題中，目標(biāo)函數(shù)與單輸入約束都是凸的線性約束，但聯(lián)合輸出約束中，由于Σ[x]的存在，使得狀態(tài)約束在CVX包中不可計算，故將其進行如下轉(zhuǎn)換：

ζi=BMGΣGTMTBT+DGΣGTDT+

BMGΣGTDT+DGΣTGTMTBT

此外，為了保證在任意狀態(tài)輸入的情況下，均存在可行解，可在目標(biāo)函數(shù)中引入了松弛變量，結(jié)合式(11)與式(12),P3問題可以轉(zhuǎn)換為如下P4問題：

mint

s.t.VN(xt,M,v,w)≤t

4.2 可行性與穩(wěn)定性

因為無界擾動的存在，使?fàn)顟B(tài)保持在硬約束系統(tǒng)的可行域中是不切實際的。本文通過軟化約束以及加入松弛變量等方法解決了該問題。只有當(dāng)違反約束時，松弛變量才是非零的，其余情況松弛變量則保持為零。這種精確罰函數(shù)方法可以使軟化約束的解集與原硬約束的解集等價，即針對一個初始狀態(tài)，原硬約束問題不可行時，新構(gòu)建的軟約束問題卻可以產(chǎn)生一個可行的終端解集，且該解集與原硬約束問題可行時解出的解集是相同的，而這種思想保證了系統(tǒng)的可行性。

當(dāng)矩陣A為舒爾穩(wěn)定時，文獻[27]已證明其穩(wěn)定性，接下來我們證明當(dāng)A為李雅普諾夫穩(wěn)定時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)李雅普諾夫穩(wěn)定時，存在一個坐標(biāo)變化，使系統(tǒng)分解為如下形式：

式中:A1為舒爾穩(wěn)定部分，A2特征根在單位圓上，具有相同的代數(shù)和幾何多重性。假設(shè)A2為對矩陣角，且主對角線上元素要么為±1，要么為2×2的旋轉(zhuǎn)矩陣，因此A2為正交矩陣。

對于任意ε>0，考慮如下“負漂移條件”：

此外，不難得到以下關(guān)系成立：

由于控制與擾動的一階矩均有界，故存在常數(shù)M滿足:

5 仿 真

在本節(jié)中，為測試幾種控制策略對軌跡跟蹤問題的性能，進行了如下數(shù)值模擬。仿真中使用的模型參數(shù)如表1所示。

表1 四旋翼無人機的參數(shù)

無人機到達目標(biāo)點的順序參考如下：

(0,0,0)→(0,0,5)→(5,0,5)→(5,10,5)→

(-5,10,5)→(-5,0,5)→(5,0,10)

考慮初始狀態(tài)為[x,y,z]=[0,0,0]，角度狀態(tài)為[φ,θ,φ]=[0,0,0]，采樣時間τs=50 ms,懲罰權(quán)重Q=10I12，R=0.01I4。為了加強飛行的穩(wěn)定性，分別對姿態(tài)和輸入進行了約束，姿態(tài)約束為：φmin=-0.5,φmax=0.5,θmin=-0.5,θmax=0.5輸入約束為：umax=[250,250,250,250]，則仿真結(jié)果如圖2-圖4所示。

圖2 無人機在不同擾動下的位置變化

圖3 無人機在不同擾動下θ的穩(wěn)定情況

圖4 無人機在不同擾動下Φ的穩(wěn)定情況

由圖2可以看出，在不同擾動相同步數(shù)的情況下，系統(tǒng)仍然可以實時有效跟蹤，但隨著擾動的增大，距離規(guī)定點的誤差越大。圖3-圖4顯示不同擾動下俯仰角Φ與旋轉(zhuǎn)角θ均可保持穩(wěn)定。

圖5-圖8展示了MPC[21]與SMPC性能對比。圖5顯示在相同步數(shù)的情況下，SMPC不僅能克服隨機擾動，而且在反饋的作用下反應(yīng)速度更快，比無擾動的MPC更快到達每一步的終點。圖6-圖8顯示SMPC算法能夠在滿足系統(tǒng)約束的情況下克服隨機擾動實現(xiàn)目標(biāo)跟蹤，且消耗燃料與無約束的MPC算法相差無幾。

圖5 兩種算法下的位置變化

(a) MPC

(b) SMPC圖6 兩種算法下θ的穩(wěn)定情況

(a) MPC

(b) SMPC圖7 兩種算法下Φ的穩(wěn)定情況

(a) MPC

(b) SMPC圖8 兩種算法下的輸入

圖9展示了不同預(yù)測步數(shù)對SMPC算法的影響，可以看出，當(dāng)增大SMPC的預(yù)測步數(shù)時，相應(yīng)速度也可以增加得更快，穩(wěn)定性也會更好。圖10展示了不同輸入對SMPC算法的影響，可以看出，當(dāng)初始狀態(tài)不同時，系統(tǒng)均可解出優(yōu)化解完成路徑跟蹤。

圖9 不同預(yù)測步數(shù)下的位置變化

圖10 不同初始狀態(tài)下的位置變化

6 結(jié) 語

針對四旋翼直升機的穩(wěn)定性和航跡跟蹤問題，本文提出一種隨機模型預(yù)測控制器。在利用隨機模型預(yù)測技術(shù)進行四旋翼無人機控制的相關(guān)工作中，該方案的主要優(yōu)點在于：1) 具有處理系統(tǒng)不確定性擾動的能力；2) 考慮擾動反饋下的輸入約束與聯(lián)合狀態(tài)約束；3) 運用近似等價的方法對軟輸入約束與聯(lián)合狀態(tài)約束進行凸重構(gòu)；4) 運用機會約束與松弛變量保證了系統(tǒng)在不同初始狀態(tài)下均有解集，且與原硬輸入解集相同。在仿真實驗中，我們將SMPC的性能與MPC方法進行了比較，結(jié)果顯示本文方法能夠更好地處理擾動且具備更優(yōu)秀的預(yù)測性能。