王曉艷，曹德欣

中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221116

粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）[1]算法是受鳥(niǎo)群捕食行為啟發(fā)提出的一種群體智能算法。該算法簡(jiǎn)單、收斂快、魯棒性高、易于實(shí)現(xiàn)，已經(jīng)在特征選擇[2]、移動(dòng)機(jī)器人定位[3]、工程設(shè)計(jì)[4]等多個(gè)問(wèn)題上被廣泛應(yīng)用。然而，在算法后期，粒子常常被困于局部最優(yōu)，從而過(guò)早收斂，因此研究人員從改進(jìn)參數(shù)、增加種群多樣性、與其他智能算法結(jié)合等方向?qū)αＷ尤核惴ㄟM(jìn)行改進(jìn)。Shi和Eberhart提出線性遞減慣性權(quán)重[5]，算法性能得到提升，之后又針對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)提出一種隨機(jī)調(diào)整慣性權(quán)重[6]的方法。文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)慣性權(quán)重，并對(duì)群體最優(yōu)引入混沌策略，從而避免粒子陷入局部極值。文獻(xiàn)[8]利用其他粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)來(lái)更新粒子的速度，以提高種群的多樣性。文獻(xiàn)[9]結(jié)合RMSProp算法中對(duì)學(xué)習(xí)率每個(gè)維度自適應(yīng)調(diào)整的策略，設(shè)計(jì)自適應(yīng)的慣性權(quán)重。文獻(xiàn)[10]對(duì)粒子的進(jìn)化趨勢(shì)進(jìn)行干預(yù)，減少隨機(jī)性，同時(shí)用個(gè)體最優(yōu)指導(dǎo)群體最優(yōu)在單個(gè)維度的學(xué)習(xí)，提高收斂精度。文獻(xiàn)[11]將遺傳算法、蟻群算法和粒子群算法相結(jié)合，提升算法的探索和開(kāi)發(fā)能力。同時(shí)，有學(xué)者利用混合多種不同進(jìn)化策略或?qū)W習(xí)機(jī)制的方式，取長(zhǎng)補(bǔ)短，克服算法缺陷。文獻(xiàn)[12]中讓粒子根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)和環(huán)境感知自適應(yīng)選擇不同的進(jìn)化策略。文獻(xiàn)[13]引入三洞系統(tǒng)捕獲策略提升種群多樣性，多維隨機(jī)干擾策略和早熟擾動(dòng)策略提升算法精度。文獻(xiàn)[14]在簡(jiǎn)化粒子群算法的基礎(chǔ)上融入基于相似度及聚集度分析的萊維飛行，幫助粒子逃離局部最優(yōu)。這些措施對(duì)算法性能有一定程度的提升。

在粒子群算法中，整個(gè)種群都采用同一個(gè)進(jìn)化策略，迭代后期就易出現(xiàn)多樣性不足，從而降低算法全局尋優(yōu)能力。將種群分為多個(gè)子群，分別采取不同的學(xué)習(xí)機(jī)制，是一種較好的增加種群多樣性方式。文獻(xiàn)[15]將種群分為三個(gè)協(xié)同優(yōu)化的子群，各個(gè)子群分別側(cè)重搜索不同的區(qū)域，實(shí)現(xiàn)算法性能提升。文獻(xiàn)[16]將粒子群分為多個(gè)子種群，并分別采取不同的DPPSO變體進(jìn)化，子種群間以一定的遷移規(guī)則實(shí)現(xiàn)信息交流，提升算法穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[17]根據(jù)粒子適應(yīng)值以及適應(yīng)值均值和標(biāo)準(zhǔn)差將粒子所在區(qū)域分為拒絕域、親近域、合理域，并分別選取不同的慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因子。文獻(xiàn)[18]根據(jù)粒子適應(yīng)值，在迭代過(guò)程中將粒子動(dòng)態(tài)分為三個(gè)階層，并分別采取局部、標(biāo)準(zhǔn)、全局學(xué)習(xí)模型，增加種群多樣性。但是目前大多的分群策略都是依據(jù)粒子適應(yīng)值的優(yōu)劣進(jìn)行的，對(duì)粒子的進(jìn)化能力關(guān)注較少，導(dǎo)致算法較易陷入局部最優(yōu)。

基于此，本文基于粒子的進(jìn)化能力將粒子群分為不同子群，并融合多策略的思想，提出基于進(jìn)化能力的多策略粒子群優(yōu)化算法（EAMSPSO）。首先，在線性遞減慣性權(quán)重中引入隨機(jī)性，設(shè)計(jì)一種帶有隨機(jī)波動(dòng)的慣性權(quán)重，使粒子在算法后期仍然具有跳出當(dāng)前區(qū)域的能力，利于全局搜索。其次，將粒子按照進(jìn)化能力分為進(jìn)步粒子、暫時(shí)停退粒子、長(zhǎng)久停退粒子，并依據(jù)不同子群的特性分別執(zhí)行不同的進(jìn)化策略，增加種群多樣性。

半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題（semi-infinite programming，SIP）是數(shù)學(xué)規(guī)劃中的一類(lèi)典型非光滑優(yōu)化問(wèn)題，是數(shù)學(xué)規(guī)劃中的一個(gè)重要研究分支，在最優(yōu)控制、信息技術(shù)、交通問(wèn)題等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。但半無(wú)限規(guī)劃自身的特點(diǎn)和復(fù)雜性，給數(shù)值求解帶來(lái)困難。有學(xué)者利用精確罰

函數(shù)法[19]、濾波器信賴(lài)域方法[20]、區(qū)間算法[21]進(jìn)行求解，取得了較好的結(jié)果。本文將EAMSPSO算法應(yīng)用于半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題的求解。

1 粒子群優(yōu)化算法（PSO）

PSO算法由一個(gè)隨機(jī)種群開(kāi)始，群體中的粒子均有自身的速度參數(shù)和位置參數(shù)，粒子通過(guò)追蹤自己在飛行過(guò)程中搜索到的最佳位置即個(gè)體最優(yōu)，以及全部粒子經(jīng)過(guò)的最優(yōu)位置即群體最優(yōu)，更新速度和位置，不斷迭代以達(dá)到最優(yōu)。

設(shè)一個(gè)種群含有N個(gè)粒子，每個(gè)粒子是D維空間中的個(gè)體。對(duì)粒子i，用Xi=[Xi1,Xi2,…,XiD]表示粒子位置，用Vi=[Vi1,Vi2,…,ViD]表示飛行速度，個(gè)體最優(yōu)位置用pbest表示，群體最優(yōu)位置用gbest表示。速度和位置更新方程是：

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，w為慣性權(quán)重，c1、c2為學(xué)習(xí)因子，r1、r2為(0,1)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2 基于進(jìn)化能力的多策略粒子群優(yōu)化算法（EAMSPSO）

2.1 慣性權(quán)重

文獻(xiàn)[5]中說(shuō)明，在算法中慣性權(quán)值能夠協(xié)調(diào)局部、全局搜尋能力。慣性權(quán)重較大，對(duì)于初始種群的依賴(lài)較小，粒子發(fā)現(xiàn)新領(lǐng)域的能力較強(qiáng)，利于全局搜索；反之，若慣性權(quán)重較小，算法則更趨向局部搜尋。對(duì)于線性遞減的慣性權(quán)重，每代所有粒子的慣性權(quán)重都一樣，粒子的慣性權(quán)重在算法后期都較小，如果初步搜尋到的領(lǐng)域中包含全局最優(yōu)解，粒子可以較迅速地聚攏至全局最優(yōu)，相反如果前期搜索到的區(qū)域不存在全局最優(yōu)解，那么在迭代后期粒子失去了跳出當(dāng)前區(qū)域的能力，就會(huì)陷入局部極值。針對(duì)這一問(wèn)題，在線性遞減策略中引入隨機(jī)性，同時(shí)考慮不同粒子的位置的優(yōu)劣，給予位置較優(yōu)的粒子較小的慣性權(quán)重，位置較差的粒子較大的慣性權(quán)重，設(shè)計(jì)一種帶隨機(jī)波動(dòng)的慣性權(quán)重，如下：

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，T為總迭代次數(shù)，wmax、wmin為線性遞減慣性權(quán)重的最大、最小值。r[1,E]是[1,E]上的隨機(jī)整數(shù)，其中E是一個(gè)整數(shù)，E的大小決定波動(dòng)的程度。ranki是粒子i的歷史最優(yōu)在整個(gè)種群中的位次，個(gè)體最優(yōu)位置越好，排序越靠前，位次越小。

改進(jìn)后的慣性權(quán)重總體呈減小趨勢(shì)，但是存在一定的隨機(jī)波動(dòng)。前期較大的慣性權(quán)重能夠使得粒子在初期進(jìn)行廣泛的搜尋，同時(shí)后期也有一定的概率獲得比較大的慣性權(quán)重，從而使粒子具有跳出局部極值的能力。

2.2 改進(jìn)粒子進(jìn)化方式

定義1粒子i在第t(t≥2)代的適應(yīng)值變化定義為：

當(dāng)ΔF(Xit)<0時(shí)，說(shuō)明粒子按照當(dāng)前方向移動(dòng)，適應(yīng)值下降，即粒子處于進(jìn)步狀態(tài)，當(dāng)前的速度仍然具有可參考性。反之，說(shuō)明粒子按照當(dāng)前方向移動(dòng)，適應(yīng)值沒(méi)有變好反而變差了，當(dāng)前速度方向的可參考性降低。

定義2粒子i在第t(t>d,d>1)代的粒子活性定義為：

當(dāng)dF(Xit)<0時(shí)，說(shuō)明粒子位置對(duì)比d代前更好，反映出粒子仍然存在活性，否則說(shuō)明粒子位置有可能連續(xù)d代無(wú)優(yōu)化，粒子已經(jīng)失去活性。

PSO算法中所有粒子都按照式（1）、（2）更新速度、位置，沒(méi)有考慮到不同表現(xiàn)的粒子的差異性，導(dǎo)致進(jìn)化后期，容易出現(xiàn)多樣性丟失，從而早熟收斂。考慮到這一問(wèn)題，本文在每次迭代中，根據(jù)適應(yīng)值的變化將粒子分為進(jìn)步粒子和停止或者退步的粒子簡(jiǎn)稱(chēng)停退粒子。針對(duì)停退粒子進(jìn)一步根據(jù)粒子活性分為暫時(shí)停退粒子和長(zhǎng)久停退粒子，并根據(jù)不同類(lèi)型粒子的特點(diǎn)采取不同的進(jìn)化策略。

2.2.1 進(jìn)步粒子

進(jìn)步粒子即適應(yīng)值下降的粒子，說(shuō)明粒子當(dāng)前在沿著正確的方向移動(dòng)。因此，粒子應(yīng)該參考過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)前進(jìn)。進(jìn)步粒子采用原算法中粒子的進(jìn)化方式，通過(guò)參考上一代中的速度，并追隨個(gè)體歷史最優(yōu)和全局最優(yōu)進(jìn)行更新，保留原算法的優(yōu)點(diǎn)。

2.2.2 暫時(shí)停退粒子

暫時(shí)停退粒子即d代內(nèi)粒子的位置沒(méi)有變好，說(shuō)明粒子當(dāng)前的速度方向可能需要調(diào)整。針對(duì)暫時(shí)停退的粒子，減小對(duì)歷史速度的參考，或者對(duì)其進(jìn)行反向參考。更新方式按照式（6）、（2）。

其中，ε是為了減小或者反向?qū)v史速度的參考而引入的調(diào)節(jié)因子。

2.2.3 長(zhǎng)久停退粒子

長(zhǎng)久停退粒子即超過(guò)d代（含d代）粒子的適應(yīng)值沒(méi)有變好。對(duì)于這些粒子分為兩種情況進(jìn)行討論，一類(lèi)是個(gè)體最優(yōu)對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值較優(yōu)的粒子，這類(lèi)粒子可能已經(jīng)陷入局部最優(yōu)，如果仍然按照原始進(jìn)化策略更新會(huì)導(dǎo)致粒子停滯在局部最優(yōu)。同時(shí)，這類(lèi)粒子的適應(yīng)值較優(yōu)說(shuō)明它們占據(jù)的位置較好，靠近最優(yōu)解的概率相對(duì)較大，因此這類(lèi)粒子以一定的概率在個(gè)體最優(yōu)位置周?chē)M(jìn)一步搜索，或者沿著全局最優(yōu)的方向搜索。具體更新方式按照式（7）、（8）：

其中，β、α、γ是服從（0，1）正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，pa表示在個(gè)體最優(yōu)周?chē)阉鞯母怕剩?-pa為沿全局最優(yōu)方向搜尋的概率。

另一類(lèi)是個(gè)體最優(yōu)對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值相對(duì)較差的粒子，這類(lèi)粒子本身占據(jù)的位置相對(duì)較差，而且適應(yīng)值沒(méi)有下降，說(shuō)明這類(lèi)粒子的位置和速度均需要重新調(diào)整，讓這類(lèi)粒子直接由個(gè)體歷史最優(yōu)出發(fā)，向群體最優(yōu)方向進(jìn)行搜索。具體的更新方式如式（9）、（8）。

其中，r是（0，1）之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2.3 EAMSPSO算法

根據(jù)2.1和2.2節(jié)的介紹，提出基于進(jìn)化能力的多策略粒子群優(yōu)化算法（EAMSPSO），算法的具體執(zhí)行流程在圖1中展示。

圖1 算法執(zhí)行流程Fig.1 Algorithm execution flow

算法EAMSPSO

輸入：種群規(guī)模N、總迭代次數(shù)T

輸出：gbest

1.隨機(jī)初始化N個(gè)粒子；

2.計(jì)算粒子適應(yīng)值；

3.初始化gbest；

4.Whilet

5.Fori=1 toNdo

6.按照式（3）更新慣性權(quán)重；

7.若t>2按式（4）計(jì)算ΔF(Xit-1)否則為-∞；

8.若t>d+1按式（5）計(jì)算dF(Xit-1)否則為-∞；

9.IfΔF(Xit-1)≥0

10.IfdF(Xit-1)≥0

11.根據(jù)個(gè)體最優(yōu)對(duì)應(yīng)適應(yīng)值的優(yōu)劣按照式（7）、（8）或式（9）、（8）更新；

12.Else

13.按照式（6）、（2）更新速度、位置；

14.End if

15.Else

16.按照式（1）、（2）更新速度、位置；

17.End if

18.更新pbest、gbest；

19.End for

20.End while

21.Returngbest

2.4 算法的時(shí)間復(fù)雜度分析

在PSO算法里，設(shè)共N個(gè)粒子，粒子維數(shù)為D，共迭代T次。算法時(shí)間復(fù)雜度主要體現(xiàn)在種群初始化以及粒子速度、位置、適應(yīng)值更新上。假設(shè)計(jì)算粒子適應(yīng)度值的時(shí)間為f(D)，則種群初始化的復(fù)雜度是O(ND+Nf(D))，進(jìn)行粒子更新的復(fù)雜度為O(TND+TNf(D))，算法總時(shí)間復(fù)雜度為O(TN(D+f(D)) )[14]。

在EAMSPSO算法中，種群初始化的復(fù)雜度仍然為O(ND+Nf(D))。每次迭代，首先要計(jì)算粒子的適應(yīng)值變化方向和粒子活性，該過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度為O(N)。其次，粒子被分為進(jìn)步粒子、暫時(shí)停退粒子、長(zhǎng)久停退粒子三類(lèi)分別更新，設(shè)每次迭代進(jìn)步粒子的個(gè)數(shù)為n1，暫時(shí)停退粒子的個(gè)數(shù)為n2，長(zhǎng)久停退粒子的個(gè)數(shù)為n3，那么n1+n2+n3=N。在每次迭代中，進(jìn)步粒子、暫時(shí)停退粒子、長(zhǎng)久停退粒子更新的時(shí)間復(fù)雜度分別為O(n1D+n1f(D))、O(n2D+n2f(D))、O(n3D+n3f(D))，所以種群更新一次的時(shí)間復(fù)雜度是O(n1D+n1f(D))+O(n2D+n2f(D))+O(n3D+n3f(D))=O(ND+Nf(D))。此外，對(duì)于長(zhǎng)久停退粒子需要根據(jù)個(gè)體最優(yōu)的適應(yīng)值優(yōu)劣分別采取不同的更新策略，因此在每次迭代時(shí)，需要將粒子根據(jù)個(gè)體最優(yōu)位置的適應(yīng)值進(jìn)行排序，排序過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度為O(N2)。綜上可知，每次迭代中包含粒子適應(yīng)值變化方向和粒子活性計(jì)算、粒子更新、排序三個(gè)步驟，時(shí)間復(fù)雜度分別是O(N)、O(ND+Nf(D))、O(N2)，當(dāng)粒子的維度比較小的時(shí)候，粒子維度與種群規(guī)模接近，當(dāng)粒子的維度適中或較大時(shí)，種群規(guī)模接近或者小于粒子維度，所以算法總體復(fù)雜度近似為O(TN(D+f(D)))。

3 性能測(cè)試

3.1 測(cè)試函數(shù)

本文通過(guò)10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試EAMSPSO算法性能。

（1）Sphere函數(shù)

（2）Schwefel 2.22函數(shù)

（3）Rotated Hyper-Ellipsoid函數(shù)

（4）Sum of Different Powers函數(shù)

（5）Zakharov函數(shù)

（6）Griewank函數(shù)

（7）Rastrigin函數(shù)

（8）Ackley函數(shù)

（9）Quartic函數(shù)

（10）Shubert函數(shù)

其中，函數(shù)f1~f9的理論最優(yōu)均為0，f10理論最優(yōu)為?186.730 9。f1~f5、f9是單峰函數(shù)，f6~f8、f10是多峰函數(shù)。

3.2 參數(shù)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)在MATLAB軟件環(huán)境下進(jìn)行，算法的粒子規(guī)模設(shè)為40，算法最大迭代次數(shù)設(shè)為2 000。EAMSPSO算法中c1=c2=2，粒子活性的評(píng)估間隔d取為3。ε取為（0，0.5）之間的隨機(jī)數(shù)，使得暫時(shí)停退粒子可以減小對(duì)歷史速度的參考，在進(jìn)化后期還存在一定的可能對(duì)歷史速度進(jìn)行反向參考。個(gè)體最優(yōu)適應(yīng)值較優(yōu)粒子的比例取為1/3。為了平衡算法的探索和開(kāi)發(fā)能力，使長(zhǎng)久停退的個(gè)體最優(yōu)適應(yīng)值較優(yōu)的粒子以相同的概率在個(gè)體最優(yōu)周?chē)阉骱脱厝肿顑?yōu)方向搜尋，因此pa取為50%。

本文采用帶隨機(jī)波動(dòng)的慣性權(quán)重，以使粒子可以跳出局部最優(yōu)，從而提高算法性能。針對(duì)慣性權(quán)重中的參數(shù)wmax、wmin、E，本文設(shè)置以下幾組參數(shù)，并在函數(shù)f2和f9上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比。不同的參數(shù)組合均獨(dú)立運(yùn)行30次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在表1中展示。從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，wmax為0.8，wmin為0.3，E的值取為5時(shí)，其實(shí)驗(yàn)效果最好。所以本文wmax取0.8，wmin取0.3，E取為5。

表1 慣性權(quán)重的參數(shù)對(duì)比Table 1 Parameter comparison of inertia weights

3.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了測(cè)試算法的性能，通過(guò)3.1節(jié)中的10個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)測(cè)試EAMSPSO算法性能，并與線性遞減慣性權(quán)重粒子群優(yōu)化算法（LPSO）[5]、綜合學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化算法（CLPSO）[8]、具備自糾正和逐維學(xué)習(xí)能力的粒子群算法（SCDLPSO）[10]、粒子群優(yōu)化與灰狼優(yōu)化的混合算法（HPSOGWO）[22]進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。LPSO、SCDLPSO算法中c1=c2=2，w:0.9～0.4，CLPSO算法中c=1.494 45，w:0.9～0.4，HPSOGWO算法中c1=c2=c3=0.5，w=0.5+rand()/2。5種算法分別在10個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次。

3.3.1 算法在低維函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)

將基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)f1~f9的維度設(shè)置為30維，5種不同算法對(duì)10個(gè)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，包括各個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行30次得到的平均值、最大值和標(biāo)準(zhǔn)差，在表2中展示。其中，加粗的結(jié)果為對(duì)比實(shí)驗(yàn)中最好的結(jié)果。5種算法在10個(gè)測(cè)試函數(shù)下的適應(yīng)度值變化趨勢(shì)對(duì)比在圖2中展示。

3.3.2 算法在高維函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)

利用單峰函數(shù)f1、f2和多峰函數(shù)f6、f8測(cè)試EAMSPSO算法對(duì)于高維問(wèn)題的優(yōu)化性能，將這4個(gè)函數(shù)維度設(shè)置為100維。各個(gè)算法對(duì)函數(shù)優(yōu)化30次的平均值在表3中展示。

表3 五種算法對(duì)高維測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of experimental results of five algorithms on high-dimensional test functions

3.4 結(jié)果分析

當(dāng)測(cè)試函數(shù)維度較低時(shí)，由表2中的結(jié)果可以看出，在單峰函數(shù)上，對(duì)于函數(shù)f1、f3、f4、f5，本文算法EAMSPSO均可收斂到理論最優(yōu)，其他算法在迭代次數(shù)內(nèi)均未達(dá)到理論最優(yōu)。對(duì)于函數(shù)f2和f9，本文算法及對(duì)比算法均未能收斂到理論最優(yōu)，但是從表2和圖2中可看出，相比其他對(duì)比算法，EAMSPSO算法找到的解相對(duì)更優(yōu)。多峰函數(shù)具有多個(gè)局部極值，求解困難度較高，對(duì)于函數(shù)f6、f7，本文算法EAMSPSO與算法HPSOGWO可以找到最優(yōu)值，其他算法在迭代次數(shù)內(nèi)未達(dá)到理論最優(yōu)，而且從圖2中可以看出算法EAMSPSO的收斂速度快于算法HPSOGWO。對(duì)于函數(shù)f8，所有算法均未收斂到理論最優(yōu)，但從表2中的求解結(jié)果和圖2中的收斂曲線可以看出，算法EAMSPSO的求解精度和收斂速度均優(yōu)于其他算法。多峰函數(shù)f10理論最優(yōu)非零，本文算法EAMSPSO和算法LPSO、CLPSO、SCDLPSO均可以找到最優(yōu)解，從求解的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)看本文算法的穩(wěn)定性更好。

圖2 低維函數(shù)不同算法的適應(yīng)值變化趨勢(shì)對(duì)比圖Fig.2 Comparison chart of fitness value change trend of different algorithms for low-dimensional functions

表2 五種算法對(duì)低維測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of experimental results of five algorithms on low-dimensional test functions

當(dāng)測(cè)試函數(shù)設(shè)置為100維時(shí)，對(duì)于函數(shù)f1、f6算法EAMSPSO仍然可以找到最優(yōu)解，對(duì)于函數(shù)f2、f8五種算法均未到達(dá)理論最優(yōu)，但是相比對(duì)比算法，EAMSPSO算法求解的精度更高。可見(jiàn)本文提出的EAMSPSO算法不僅對(duì)低維問(wèn)題的優(yōu)化效果較好，對(duì)于高維問(wèn)題的求解同樣具有優(yōu)勢(shì)。

數(shù)值結(jié)果表明，本文提出的EAMSPSO算法可以有效地跳出局部極值，且算法的穩(wěn)定性較高。對(duì)無(wú)論是低維還是高維函數(shù)，單峰還是多峰函數(shù)，EAMSPSO算法求解精度和收斂速度上都具備優(yōu)勢(shì)。

4 EAMSPSO算法求解半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題

4.1 問(wèn)題描述及算法

本文所研究的半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題具體表達(dá)形式如下：

其中，X(0)={x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn}，f:Rn→R，?i:Rn×Rpi→R。

利用罰函數(shù)問(wèn)題（11）可以轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題（12）：

F(x,β)=f(x)+βq(x)，q(x)=max{0,h(x)}，β為罰因子，當(dāng)罰因子足夠大時(shí)問(wèn)題（12）的解就是問(wèn)題（10）的解。

本文采用EAMSPSO算法求解半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題（10），即求解問(wèn)題（12）。當(dāng)給定罰因子后，F(xiàn)(x)是關(guān)于x的函數(shù)，算法中粒子位置即x，粒子適應(yīng)值即F(x)函數(shù)值。該問(wèn)題的難點(diǎn)在于適應(yīng)值的計(jì)算，F(xiàn)(x)計(jì)算中包含一個(gè)求解最大值的子問(wèn)題即對(duì)h(x)的計(jì)算：

計(jì)算過(guò)程中需要對(duì)m個(gè)求最大值的問(wèn)題進(jìn)行求解。當(dāng)x給定時(shí)，?i(x,t)即為關(guān)于t的函數(shù)。每個(gè)求最大值問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題（13）的形式。

針對(duì)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題（13），同樣可以采用EAMSPSO算法進(jìn)行求解。

4.2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

將EAMSPSO算法應(yīng)用于半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題1~5的求解，并與3.3節(jié)中的對(duì)比算法進(jìn)行對(duì)比，各個(gè)算法參數(shù)與3.3節(jié)保持一致。求解半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，算法粒子規(guī)模設(shè)為40，最大迭代次數(shù)設(shè)為500，每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行5次求平均值。同時(shí)每個(gè)適應(yīng)值的計(jì)算包含的求最值問(wèn)題，采用同樣的算法進(jìn)行計(jì)算，種群規(guī)模設(shè)為40，最大迭代次數(shù)設(shè)為100。數(shù)值結(jié)果在表4~8中展示。

表4 問(wèn)題1的計(jì)算結(jié)果Table 4 Calculation result of question 1

表5 問(wèn)題2的計(jì)算結(jié)果Table 5 Calculation result of question 2

表6 問(wèn)題3的計(jì)算結(jié)果Table 6 Calculation result of question 3

表7 問(wèn)題4的計(jì)算結(jié)果Table 7 Calculation result of question 4

表8 問(wèn)題5的計(jì)算結(jié)果Table 8 Calculation result of question 5

問(wèn)題1[23]：

Subject to?(x,t)=x12+2x2t2+ex1+x2-et≤0,t∈[0,1]

最優(yōu)解為（0.719 961，?1.450 487）。

問(wèn)題2[23]：

最優(yōu)解為(-ln 1.1,ln 1.1)。

問(wèn)題3[24]：

最優(yōu)解為（0，0，0）。

問(wèn)題4[25]：

最優(yōu)解為（?1，0，0）。

問(wèn)題5[25]：

最優(yōu)解為（3，0，0，0，0，0）。

4.3 結(jié)果分析

問(wèn)題1、2、3中，t是一維變量，問(wèn)題4、5中t是二維變量。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，對(duì)于問(wèn)題1、問(wèn)題2和問(wèn)題4，算法EAMSPSO可以找到最優(yōu)解，其他對(duì)比算法均未找到最優(yōu)解，而且從函數(shù)值來(lái)看，對(duì)比算法求得的函數(shù)值小于算法EAMSPSO，說(shuō)明對(duì)比算法在求適應(yīng)值中包含的最大值問(wèn)題時(shí)存在未達(dá)到最優(yōu)的情況。問(wèn)題3的目標(biāo)函數(shù)不可微，本文算法EAMSPSO及對(duì)比算法在迭代次數(shù)內(nèi)均未達(dá)到理論最優(yōu)，但從求解結(jié)果可以看出，本文算法的求解精度更高。對(duì)于問(wèn)題5，五種算法均未找到理論最優(yōu)，CLPSO算法的求解結(jié)果最優(yōu)，其次是本文算法EAMSPSO?？梢?jiàn)，EAMSPSO算法適用于半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題的求解，且具有一定的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于進(jìn)化能力的多策略粒子群優(yōu)化算法（EAMSPSO）。該算法設(shè)計(jì)了帶隨機(jī)波動(dòng)的慣性權(quán)重，可以使粒子在進(jìn)化后期也具有跳出當(dāng)前區(qū)域的能力。將粒子群按照適應(yīng)值變化方向和粒子活性分為進(jìn)步粒子、暫時(shí)停退粒子、長(zhǎng)久停退粒子，并分別采取不同的進(jìn)化策略，提高全局尋優(yōu)能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，EAMSPSO算法在求解精度和收斂速度上都具備優(yōu)勢(shì)。同時(shí)，將EAMSPSO算法應(yīng)用于半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題的求解，進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性。