韓薛成，董琪翔

（揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州 225000）

著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好?！边@首詩(shī)說(shuō)明了要善于將抽象的數(shù)學(xué)理論和生動(dòng)、直觀的圖形兩者相互結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題，這便證明了“數(shù)形結(jié)合”的重要性。但是在當(dāng)下的初中數(shù)學(xué)課堂里，很多學(xué)生都畏懼學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，喪失了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更不用說(shuō)主動(dòng)思考、解決數(shù)學(xué)難題，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，只不過(guò)是計(jì)算結(jié)果，沒(méi)有語(yǔ)文閱讀的“美”。數(shù)學(xué)教師要帶領(lǐng)學(xué)生深挖教材中的“數(shù)形結(jié)合之美”，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想思考并解決問(wèn)題，如此方能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文將范希爾理論融入初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)，探索適合初中生的應(yīng)用策略，期望能在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及幾何思維水平等方面達(dá)到更好的效果。

一、范希爾理論簡(jiǎn)介

范希爾理論是范希爾夫婦在長(zhǎng)期一線教學(xué)中總結(jié)出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)，故因此命名。這個(gè)理論和皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論不同，對(duì)于指導(dǎo)幾何課堂教學(xué)意義重大，目前國(guó)內(nèi)有越來(lái)越多的人開(kāi)始研究此理論的價(jià)值。范希爾夫婦認(rèn)為教師應(yīng)該針對(duì)學(xué)生不同的思維階段組織不同的教學(xué)模式，因此將思維水平與教學(xué)階段相結(jié)合，對(duì)應(yīng)學(xué)生的思維水平，提出了“五個(gè)教學(xué)階段理論”，理論內(nèi)容如下：

階段1：學(xué)前咨詢（Information），教師通過(guò)進(jìn)一步了解學(xué)生的解題能力，在舊知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上施加與之相對(duì)應(yīng)的幾何教學(xué)，從而提高學(xué)生的解題能力，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)確定下一步的學(xué)習(xí)計(jì)劃。

階段2：引導(dǎo)定向（Direct Orientation），教師要在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)精心設(shè)計(jì)豐富多彩的活動(dòng)，吸引學(xué)生主動(dòng)研究，通過(guò)動(dòng)手操作鞏固新知、掌握學(xué)習(xí)目標(biāo)，能夠運(yùn)用一些學(xué)習(xí)方法。

階段3：闡明（Explication），接著上面兩個(gè)階段學(xué)習(xí)符號(hào)語(yǔ)言的意義，運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言獲得新知，促進(jìn)教育教學(xué)和教師專業(yè)發(fā)展。

階段4：自由定向（Free Orientation），引導(dǎo)學(xué)生用多樣化的方法解決問(wèn)題，從而發(fā)現(xiàn)研究方向，范希爾理論認(rèn)為這個(gè)階段是讓學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、探索和運(yùn)用，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí)。

階段5：整合（Integration），學(xué)生在此階段歸納總結(jié)、梳理所學(xué)知識(shí)內(nèi)容，通過(guò)自己的理解描述成觀點(diǎn)，將對(duì)象與關(guān)系內(nèi)化為一個(gè)新的思維領(lǐng)域，教師要鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)常反思，從而加深理解知識(shí)。

二、提倡初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合法的原因

（一）課程標(biāo)準(zhǔn)的改變

新課程標(biāo)準(zhǔn)出臺(tái)，提出“通過(guò)獨(dú)立思考或者合作交流感悟數(shù)學(xué)的基本思想”，課程標(biāo)準(zhǔn)多次提出要滲透數(shù)學(xué)思想，其中就包括數(shù)形結(jié)合思想，這更加凸顯了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始研究數(shù)形結(jié)合思想在一線教學(xué)中的作用。新課程改革提倡學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想展開(kāi)探究性學(xué)習(xí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中能夠培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的好習(xí)慣，有效突破傳統(tǒng)、枯燥的學(xué)習(xí)模式。習(xí)近平同志曾說(shuō)過(guò)“教育是國(guó)之根本”，我國(guó)非常重視教育，尤其是素質(zhì)教育，不能再搞老一套的“填鴨式”教育。隨著推進(jìn)教育改革，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)了不容忽視的地位，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始重視滲透數(shù)形結(jié)合思想。

（二）實(shí)踐教學(xué)的需要

古人云：“授人以魚，不如授人以漁”，教師應(yīng)該讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法，而不是就題目講題目，因此滲透數(shù)形結(jié)合思想能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使學(xué)生思維富有創(chuàng)造性，以后可以為社會(huì)發(fā)展、科技進(jìn)步貢獻(xiàn)一份力量。初中生抽象思維能力還沒(méi)有完全發(fā)展，一些難懂的數(shù)學(xué)語(yǔ)言成了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)路上的“絆腳石”，教師需要借助直觀易懂的數(shù)學(xué)模型講解晦澀難懂的數(shù)學(xué)知識(shí)，也就是滲透數(shù)形結(jié)合思想。每年中高考都會(huì)涉及數(shù)形結(jié)合方面的內(nèi)容，有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想不僅有利于學(xué)生擴(kuò)展解題思路，而且也能大大提高解題效率，能夠探索問(wèn)題的一題多解，加快學(xué)生的解題速度，提高解題的正確率。數(shù)形結(jié)合不僅能夠改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來(lái)更多趣味性、便捷性，學(xué)生通過(guò)直觀的圖形感知并理解更多復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且能夠拓展學(xué)生的發(fā)散性、開(kāi)放性數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的好奇心，讓他們?cè)敢鈬L試各種解題方式，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

（三）學(xué)生學(xué)習(xí)的需要

縱觀目前的數(shù)學(xué)課堂，教師教學(xué)和學(xué)生解題并沒(méi)有普遍運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，部分學(xué)生根本不懂?dāng)?shù)形結(jié)合的含義，還有部分學(xué)生也說(shuō)不出來(lái)課本上的題目是否運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合，更別提能夠在考試時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法了。每年的中高考試卷都會(huì)出現(xiàn)不同程度考查數(shù)形結(jié)合的題目，這些題目不只局限于明顯的關(guān)于“數(shù)”和“形”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而更加關(guān)注考查基于雙基基礎(chǔ)的學(xué)生思維的創(chuàng)新能力，這就意味著學(xué)生要重視學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。

三、學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)的問(wèn)題分析

（一）學(xué)生的幾何基礎(chǔ)薄弱，繪圖不規(guī)范

結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及與其他教師溝通發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)繪制圖形都不規(guī)范，不會(huì)借助直尺畫圖，往往都是畫一些只能自己看懂的草圖，繪圖不準(zhǔn)確、不嚴(yán)謹(jǐn)往往也會(huì)導(dǎo)致解題失敗。畫圖的目的是直觀展示題意，從而促使學(xué)生更容易分析解題思路，求得正確結(jié)果。然而很多學(xué)生畫的圖形并不能體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，部分學(xué)生的幾何基礎(chǔ)薄弱，看到題目中的“是它的1.5 倍”等條件無(wú)法準(zhǔn)確用線段表示。因此，教師要解決學(xué)生在以“形”助“數(shù)”方面遇到的阻礙。

（二）學(xué)生無(wú)法運(yùn)用直覺(jué)思維分析圖形表征

學(xué)生的兩種思維模式?jīng)Q定了學(xué)生解題時(shí)運(yùn)用的方法，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解決“圖形與幾何”部分的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生應(yīng)該多以直覺(jué)思維分析圖像表征，通過(guò)形象、具體、直觀的圖形表征理解關(guān)于數(shù)與代數(shù)部分的知識(shí)。而基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生并不能找準(zhǔn)圖形中的數(shù)量關(guān)系，忽視了圖形中的代數(shù)意義，因此無(wú)法正確解題。

（三）學(xué)生無(wú)法用數(shù)學(xué)的思維方式理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言

學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)總是習(xí)慣用自然語(yǔ)言解釋問(wèn)題，而不能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想看待問(wèn)題，也就是無(wú)法理解問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。部分學(xué)生不理解數(shù)學(xué)概念表示的含義，而只是一味地死記硬背，不能基于自己的生活經(jīng)驗(yàn)給予其相應(yīng)的解釋、嘗試?yán)斫鈹?shù)學(xué)概念。

四、范希爾理論下應(yīng)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)法的策略

（一）學(xué)前咨詢階段：復(fù)習(xí)舊知，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)

在新課程改革的推動(dòng)下，社會(huì)對(duì)于教師有了更高的要求，教師應(yīng)當(dāng)與時(shí)俱進(jìn)，及時(shí)更新教育理念，培養(yǎng)社會(huì)需要的人才，增強(qiáng)滲透數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)。數(shù)學(xué)思想是學(xué)生打開(kāi)數(shù)學(xué)世界大門的“金鑰匙”，教師不應(yīng)該一味地進(jìn)行“填鴨式”教育，而要關(guān)注情景化教學(xué)，關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，這就要求教師在課堂教學(xué)過(guò)程中要加強(qiáng)滲透數(shù)學(xué)思想，而數(shù)形結(jié)合思想就是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，因此教師在課堂教學(xué)中要提高滲透數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)。

1.在觀察中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想。觀察、操作、證明一直是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的三個(gè)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)。引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，教師首先要從“觀察”環(huán)節(jié)滲透數(shù)形結(jié)合思想。例如，在教學(xué)《主視圖、左視圖、俯視圖》一課時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生充分觀察不同方位看到的圖形特征。

2.在操作中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課以知識(shí)為本位，磨滅了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，導(dǎo)致他們覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥、無(wú)聊。而當(dāng)前數(shù)形結(jié)合成了以學(xué)生為本位的數(shù)學(xué)課堂的一種重要的教學(xué)方法。比如，在教學(xué)《余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角》一課時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作“擺一擺、拼一拼”，從而感受角的不同大小，感受余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角的特征。在驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是180°的過(guò)程中，組織學(xué)生通過(guò)操作擺出不同的三角形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證計(jì)算三角形的內(nèi)角和。每一步操作都能滲透數(shù)形結(jié)合思想，一步一步地提高學(xué)生的思維能力。

3.在證明中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想。研究中考試卷發(fā)現(xiàn)幾乎每張中考試卷中都有一道證明題，而證明題學(xué)生往往得分最低，因?yàn)楹芏嘧C明題都要借助圖形進(jìn)行佐證，但是圖形并不能直接證明，課本明確指出圖形只能作為說(shuō)理的過(guò)程，而這是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題時(shí)一定要注意的問(wèn)題。例如推導(dǎo)“完全平方公式”時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建一個(gè)邊長(zhǎng)為a 的大正方形，還有一個(gè)邊長(zhǎng)為b 的小正方形，求這兩個(gè)正方形的面積差，先在圖中找出面積差的部分，把它分成兩個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)是面積為a×（a－b）的長(zhǎng)方形，一個(gè)是面積為b×（a－b）的長(zhǎng)方形，兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和即a2－b2，則平方差公式成立。

（二）引導(dǎo)定向階段：認(rèn)真鉆研教材，研究數(shù)形結(jié)合的典型案例

數(shù)學(xué)教材是按照發(fā)現(xiàn)、產(chǎn)生、發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程編寫的，呈螺旋式上升的特點(diǎn)，其中學(xué)生容易掌握基礎(chǔ)知識(shí)，而數(shù)學(xué)思想并沒(méi)有具體的呈現(xiàn)方式，學(xué)生不容易理解。但是基礎(chǔ)知識(shí)中蘊(yùn)含著基本數(shù)學(xué)思想，每種基本數(shù)學(xué)思想可能包含幾個(gè)章節(jié)或幾個(gè)模塊的知識(shí)，因此教師要認(rèn)真鉆研教材，研究數(shù)形結(jié)合的典型案例，從而促使學(xué)生更容易掌握和理解。教學(xué)過(guò)程中要設(shè)計(jì)生動(dòng)有趣的教學(xué)情境，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)。教師要認(rèn)真研讀教材，在講授新課的環(huán)節(jié)加入創(chuàng)設(shè)情境、自主探索等環(huán)節(jié)，滲透數(shù)形結(jié)合思想。

例如《數(shù)軸》一課就是典型的數(shù)形結(jié)合案例，引導(dǎo)定向階段要始終以學(xué)生為主體，教師為引導(dǎo)者，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)軸的特征，給數(shù)軸下定義。闡明和整合階段要總結(jié)一系列利用數(shù)軸解題的類型，在學(xué)生解題時(shí)提示用畫圖的方法，給學(xué)生的解題思路搭建一座“數(shù)形結(jié)合”的橋梁，也給教師解決幾何教學(xué)設(shè)計(jì)存在的問(wèn)題提供一條有效路徑。有效運(yùn)用數(shù)軸解釋、理解實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以突出課堂教學(xué)的重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，有利于解決一些學(xué)生無(wú)從下手的難題，使抽象的數(shù)量關(guān)系變得直觀可見(jiàn)，“數(shù)”與“形”相結(jié)合可以收到非常不錯(cuò)的課堂教學(xué)效果。

（三）闡明階段：注重提高學(xué)生的理解能力，掌握三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)界有著名的三句話：“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界?！睌?shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔而豐富，大致可以分為三類：文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖像語(yǔ)言，這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言相輔相成、地位相當(dāng)，只是在同一種知識(shí)中的表達(dá)方式有所不同。問(wèn)卷調(diào)查顯示很多學(xué)生轉(zhuǎn)化三種語(yǔ)言的能力較弱，從而導(dǎo)致解題失敗。因此，教師實(shí)際教學(xué)時(shí)要重視教導(dǎo)學(xué)生三種語(yǔ)言之間相互轉(zhuǎn)化。一般情況下學(xué)生很容易忽視文字語(yǔ)言，雖然都會(huì)讀題，但是很多學(xué)生并不了解題目的意思，從而導(dǎo)致無(wú)法把題目轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的圖像語(yǔ)言?？偠灾處熢诮虒W(xué)過(guò)程中要更加關(guān)注學(xué)生相互轉(zhuǎn)化三種語(yǔ)言的能力。

（四）自由定向階段：借助信息技術(shù)增強(qiáng)學(xué)生的作圖能力

隨著信息技術(shù)快速發(fā)展，課堂教學(xué)也不僅僅依賴粉筆和黑板了。這些年來(lái)教育部一直倡導(dǎo)將信息技術(shù)融入教學(xué)環(huán)境，因此傳統(tǒng)教學(xué)模式發(fā)生了翻天覆地的變化。值得注意的是，在數(shù)學(xué)學(xué)科中運(yùn)用信息技術(shù)特別有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，如教師課堂教學(xué)使用幾何畫板、GeoGebra 等專業(yè)畫圖軟件，可以大大提高作圖的準(zhǔn)確性，減少人工作圖的誤差，促使學(xué)生更加直觀、明了地認(rèn)識(shí)圖形。很多學(xué)生解題錯(cuò)誤的原因并不是不會(huì)畫圖，而是畫得不夠準(zhǔn)確，作圖潦草導(dǎo)致解題的正確率下降。

（五）整合階段：梳理總結(jié)、歸納整理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法的類型

以數(shù)形結(jié)合為研究工具，促使學(xué)生置身于具體、直觀的環(huán)境中，經(jīng)歷直觀形象—形象概括—本質(zhì)抽象的過(guò)程，充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合的好處。那么，數(shù)形結(jié)合可以解決哪些問(wèn)題呢？初中數(shù)學(xué)利用數(shù)形結(jié)合可以解決的五大類型問(wèn)題：圓的相關(guān)問(wèn)題、集合問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題、方程與不等式、三角函數(shù)。

五、結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合一些教學(xué)案例展開(kāi)闡述，對(duì)于給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想有非常重要的意義。范希爾理論作為幾何教學(xué)的重要理論框架，提出學(xué)生幾何思維水平發(fā)展有次序性與進(jìn)階性，強(qiáng)調(diào)教學(xué)活動(dòng)對(duì)學(xué)生發(fā)展幾何思維水平的重要作用，促進(jìn)了學(xué)生發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想，具有很強(qiáng)的應(yīng)用性、實(shí)踐性與可操作性。結(jié)合范希爾理論的五個(gè)教學(xué)階段展開(kāi)研究，充分考慮學(xué)生不同階段的知識(shí)基礎(chǔ)與能力水平，針對(duì)每一階段學(xué)生的幾何思維設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)案例，以幫助學(xué)生掌握幾何知識(shí)、改進(jìn)幾何理解，從而提升運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力。