趙 軍 (江蘇省太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，太倉(cāng)市趙軍名師工作室 215400)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵中，要求初中階段的模型觀念應(yīng)具備：對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題有清晰的認(rèn)識(shí)，知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義[1].在解題過(guò)程中，合理的模型建構(gòu)能夠幫助我們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行高效的轉(zhuǎn)化，在平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中如果多留意歸納積累數(shù)學(xué)基本模型，并理解其內(nèi)涵本質(zhì)，關(guān)鍵時(shí)刻可以巧建模型，從容應(yīng)對(duì).事實(shí)證明，合理的模型建構(gòu)往往能大幅度提高解題的效率，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，達(dá)到化難為易的目的.筆者嘗試以建構(gòu)“手拉手”等邊三角形(共頂點(diǎn)等邊三角形)和“手拉手”等腰直角三角形(共頂點(diǎn)等腰直角三角形)解題為例，對(duì)一類求最值問(wèn)題進(jìn)行專題剖析，以期與同仁交流與分享.

1 課堂實(shí)錄與點(diǎn)評(píng)

師：同學(xué)們，首先我們來(lái)一起回顧課本上的一個(gè)基本模型——“手拉手”等邊三角形，請(qǐng)大家先看原題.

1.1 原題再現(xiàn)

(蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)第67頁(yè)第10題)如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)A，C，E在一條直線上，AD與BE相等嗎？為什么？

圖1

生1：相等，借助等邊三角形的性質(zhì)，運(yùn)用“SAS”證明△ACD≌△BCE即可.

師(追問(wèn))：若將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(如圖2)或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(如圖3)，AD與BE還相等嗎？

圖2 圖3

生2：相等.證明方法仍然是用“SAS”證全等，只不過(guò)圖2中的∠ACD=∠BCE是“同加”得到的，圖3中的∠ACD=∠BCE是“同減”得到的.

師：很好！這是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)模型，由于兩個(gè)等邊三角形共頂點(diǎn)，我們把它稱之為“手拉手”等邊三角形模型.下面我們一起來(lái)看看這個(gè)模型在求最值問(wèn)題中的應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖從課本原題出發(fā)，通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)“形變法不變”的思路，歸納出“手拉手”模型的結(jié)論，為后續(xù)建構(gòu)模型和運(yùn)用模型作好鋪墊,同時(shí)也凸顯了課本習(xí)題作為“題根”的價(jià)值.

1.2 若隱若現(xiàn)

問(wèn)題1如圖4，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，l是AC邊上的高BF所在的直線，點(diǎn)D為直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD并將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AE，連結(jié)EF，則EF的最小值為.

圖4

師：同學(xué)們，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E隨之而變化，導(dǎo)致EF的長(zhǎng)度也在變化，如何確定EF的最小值呢？

生3：若連結(jié)DE，作直線CE，則圖4屬于圖3中的“手拉手”等邊三角形模型，并有△ABD≌△ACE.

師(追問(wèn))：這個(gè)全等有什么作用呢？

生4：由全等可以得到∠ABD=∠ACE=30°，結(jié)合∠ACB=60°可得BC⊥CE.

師(再追問(wèn))：太牛了！借助“手拉手”等邊三角形模型，我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么呢？

生4：點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)C且垂直于BC的直線上運(yùn)動(dòng).

師：那什么時(shí)候EF最小呢？

師：太棒了！

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)教者適時(shí)的引導(dǎo)，“手拉手”等邊三角形模型自然浮出水面，在探究出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)軌跡的基礎(chǔ)上，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離最短問(wèn)題，體現(xiàn)了對(duì)該模型的挖掘與應(yīng)用.

1.3 模型重現(xiàn)

問(wèn)題2如圖5，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)P是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PE，以PE為邊向下方作等邊△PEG，連結(jié)AG，則AG的最小值是.

圖5 圖6

師：同學(xué)們，我們?cè)撊绾螌?duì)AG進(jìn)行轉(zhuǎn)化？

生5(若有所思地)：以AP為一邊構(gòu)造等邊三角形，利用“手拉手”等邊三角形模型對(duì)AG進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

師(追問(wèn))：請(qǐng)具體一點(diǎn).

生6(激動(dòng)地)：如圖6，在AP的下方作等邊△APF，連結(jié)EF，則△APG≌△FPE(SAS)，所以AG=FE，因此求AG的最小值就是求FE的最小值.

師：分析得很到位！那如何求FE的最小值呢？

生6：由于點(diǎn)E為邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到CD的距離FM(如圖6).

師(追問(wèn))：很好！那么怎么求FM呢？

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)教師巧妙地設(shè)問(wèn)和不斷地追問(wèn)，在三位學(xué)生的接力回答下，將隱形的“手拉手”等邊三角形模型建構(gòu)得恰到好處，把求AG最小值的問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化，步步深入，達(dá)到了化難為易的效果.

問(wèn)題3如圖7，△ABC是等邊三角形，E，F(xiàn)分別是經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線l上的兩點(diǎn)(E，F(xiàn)位于點(diǎn)B的異側(cè))，連結(jié)AE，CF.若BE=2，BF=4，則AE+CF的最小值為.

圖7

師：△ABC是一個(gè)邊長(zhǎng)不確定的等邊三角形，所以AE和CF的長(zhǎng)度隨之而變化，如何通過(guò)轉(zhuǎn)化將這兩個(gè)分散且變化的線段進(jìn)行關(guān)聯(lián)？

生8：我想再作一個(gè)等邊三角形，利用“手拉手”等邊三角形模型對(duì)AE和CF中的某條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

師(追問(wèn))：具體如何構(gòu)造呢？請(qǐng)大家分小組討論.

生9(第1小組代表)：如圖8，我們小組是以BF為邊在直線l的上方作等邊△BFD，則△BCF≌△BAD，所以CF可以轉(zhuǎn)化為AD，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求AE+AD的最小值，在等邊△ABC變化的過(guò)程中點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E，D是動(dòng)點(diǎn)，所以問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”，即其最小值為DE的長(zhǎng).

圖8

師(追問(wèn))：很好！那又如何求DE呢？

師：還有不同意見(jiàn)嗎？

圖9

師：說(shuō)得真好！這兩組同學(xué)完成得都很棒！那么比較一下，這兩種構(gòu)造有何異同呢？

……

設(shè)計(jì)意圖第一小組學(xué)生以線段AE不動(dòng)，構(gòu)造“手拉手”等邊三角形模型去轉(zhuǎn)化CF，第二小組學(xué)生以線段CF不動(dòng)，構(gòu)造“手拉手”等邊三角形模型去轉(zhuǎn)化AE，兩種構(gòu)造思路有異曲同工之妙！無(wú)論是哪一種構(gòu)造，本質(zhì)上都是將兩條線段轉(zhuǎn)化至首尾相連，以“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問(wèn)題.

1.4 類比重建

問(wèn)題4如圖，在ABCD中，∠B=45°，M是AB邊的中點(diǎn)，N是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至MN′，連結(jié)N′C，N′D，若BC則N′C+N′D的最小值是.

圖10

師：同學(xué)們，在問(wèn)題3中我們構(gòu)造的是兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形，現(xiàn)在在問(wèn)題4中，我們又將如何構(gòu)造呢？請(qǐng)大家分組進(jìn)行探究.

(幾分鐘之后，教師請(qǐng)各小組代表發(fā)言)

生11：求N′C+N′D的最小值的關(guān)鍵是對(duì)其中某一條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，我們小組研究的意見(jiàn)是連結(jié)N′B，將N′C轉(zhuǎn)化為N′B，最終將最小值轉(zhuǎn)化為線段BD的長(zhǎng).

師：很好的想法！那怎樣證明N′C=N′B呢？

生12(補(bǔ)充)：如 圖11，因?yàn)镸N繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至MN′，就相當(dāng)于△MNN′(連結(jié)NN′)為等腰直角三角形，類比前面幾個(gè)問(wèn)題的方法，以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)再構(gòu)造一個(gè)等腰直角△MBE.這樣就構(gòu)造出兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，運(yùn)用“SAS”得到△MBN≌△MEN′.

圖11

師(追問(wèn))：接著是怎樣得到N′C=N′B的？請(qǐng)具體一點(diǎn).

師：太厲害了！此時(shí)N′C+N′D就轉(zhuǎn)化為N′B+N′D，所以點(diǎn)N′運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么？

生13：點(diǎn)N′在BC的垂直平分線上運(yùn)動(dòng).

師：真聰明！那最小值怎么求？

師：通過(guò)構(gòu)建等腰直角三角形、轉(zhuǎn)化線段，再構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，太棒了！

設(shè)計(jì)意圖“手拉手”模型的建構(gòu)不僅僅局限于兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形，還可以構(gòu)建共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，其構(gòu)建的靈感來(lái)源于45°角的出現(xiàn).在解決前幾個(gè)問(wèn)題的鋪墊下，教師引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)深入探究，學(xué)生在探究過(guò)程中努力建模，形成能力，學(xué)會(huì)解決問(wèn)題的方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

師：通過(guò)這節(jié)課的探究，大家有哪些感悟與收獲呢？

生15：當(dāng)出現(xiàn)“手拉手”模型的一只手時(shí)，我們要學(xué)會(huì)構(gòu)建另一只手.(贏得掌聲)

生16：構(gòu)建“手拉手”模型源于轉(zhuǎn)化的需要，當(dāng)我們“無(wú)路可走”時(shí)要能主動(dòng)建模！

……

師：建模相當(dāng)于“無(wú)中生有”，是在已有條件的基礎(chǔ)上重建，需要平時(shí)的積淀，更需要銜接技巧和轉(zhuǎn)化得當(dāng).已知一手，巧建另一手，方能大手拉小手，實(shí)現(xiàn)撥云見(jiàn)天，柳暗花明！

2 教學(xué)反思

2.1 模型建構(gòu)的基礎(chǔ)始于模型的積累

模型建構(gòu)的難點(diǎn)在于建，從哪里入手去建模？怎樣建？沒(méi)有一定的積累無(wú)法完成模型的建構(gòu).建模既要充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，尤其是學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，也需要結(jié)合題目自身的條件進(jìn)行分析.一般而言，從條件出發(fā)，由“已知想可知”；從結(jié)論出發(fā)，由“未知想需知”，兩頭往中間推理，查找缺什么.而后缺什么就補(bǔ)什么，此時(shí)自身對(duì)數(shù)學(xué)模型的積累顯得尤為重要，關(guān)鍵時(shí)候要能結(jié)合題目聯(lián)想到需要的模型.因此，我們可以在每章節(jié)學(xué)習(xí)結(jié)束后結(jié)合課本內(nèi)容進(jìn)行歸納、提煉，平時(shí)要善于總結(jié)，形成適用的基本模型，歸納出屬于自己的“定理”.可能還有學(xué)生會(huì)質(zhì)疑，在建模的過(guò)程中，你是怎么想到某種構(gòu)造方法的？實(shí)際上還有另一個(gè)解題的關(guān)鍵點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么？依據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑可以管窺一二，因?yàn)榇祟悊?wèn)題往往聚焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而帶動(dòng)圖形的運(yùn)動(dòng)，類似問(wèn)題1和問(wèn)題4中尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，以“始動(dòng)點(diǎn)”在運(yùn)動(dòng)初期、運(yùn)動(dòng)過(guò)程中和運(yùn)動(dòng)結(jié)束三個(gè)時(shí)點(diǎn)為基點(diǎn)，分別探尋“從動(dòng)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)的路徑以清晰建模的路徑.

2.2 模型建構(gòu)的思路源于轉(zhuǎn)化的內(nèi)需

模型建構(gòu)的內(nèi)需源于解題不暢，需要轉(zhuǎn)化，如何尋找替換對(duì)象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.從問(wèn)題2到問(wèn)題4的順利解決不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于線段的轉(zhuǎn)化往往依據(jù)全等，從全等的條件探尋中你會(huì)感受到有建模的需要，通過(guò)全等模型的建構(gòu)能達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的，所以建模不是刻意為之，也不是為建模而建模，它是解決問(wèn)題的內(nèi)在需要.每當(dāng)山窮水盡之時(shí)，我們可以結(jié)合自身數(shù)學(xué)模型的積累，嘗試通過(guò)建模進(jìn)行轉(zhuǎn)化，建模得當(dāng)往往能夠柳暗花明.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在課程性質(zhì)中明確指出，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律[1].所以建模也是一種對(duì)自身階段學(xué)習(xí)內(nèi)容的提煉和歸納，更是應(yīng)用模型解決問(wèn)題的需要，我們要能將解題需要和模型積累通過(guò)分析進(jìn)行有效的銜接，以達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的.

2.3 模型建構(gòu)的理念凝于認(rèn)知的高度

模型建構(gòu)是一種高屋建瓴的高觀念，通過(guò)建?？膳囵B(yǎng)學(xué)生的學(xué)科思維，幫助學(xué)生建立模型思想，以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力.模型意識(shí)或模型觀念是數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)形式，以數(shù)學(xué)模型為中心的學(xué)習(xí)能夠幫助我們提煉學(xué)習(xí)內(nèi)容，吸收更多概括化了的基本原理或思想，深思數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，促進(jìn)有意義有深度的學(xué)習(xí).從問(wèn)題1中已有的“手拉手”等邊三角形雛形到問(wèn)題2和問(wèn)題3中的主動(dòng)構(gòu)建“手拉手”等邊三角形，再到問(wèn)題4中的類比構(gòu)建“手拉手”等腰直角三角形，4個(gè)問(wèn)題的建模不斷深入，從教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂實(shí)踐不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)基本模型的歸納與提煉有利于數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的建構(gòu)、學(xué)科思維的形成和學(xué)科方法的掌握，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)能使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)梯度上升，從而獲得學(xué)習(xí)之精髓、學(xué)科之價(jià)值.作為教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生以模型建構(gòu)為抓手，以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為目的對(duì)數(shù)學(xué)解題進(jìn)行深入研究，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)思相融、學(xué)以致用，進(jìn)而提高建模能力、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).