何麗華 (江蘇省常州市金壇段玉裁初級中學 213200)
學生來自筆者的“子弟兵”,對數(shù)學學習熱情較高、思維活躍,且已掌握了線段的相關(guān)知識,但學生缺乏“有條理地梳理知識”和“主動地遷移知識”的能力.
“角”是蘇科版七上第6章第2節(jié)內(nèi)容,和線段的學習一樣,角的學習研究蘊含著兩個路徑——幾何概念的抽象路徑(實物和模型→圖形語言→文字語言→符號表示)和圖形的研究路徑(概念→表示→大小→性質(zhì)→應(yīng)用),兩者之間的整體一致,可以讓數(shù)學學習露出脊梁,變得精干[1],感受數(shù)學知識的整體統(tǒng)一.
教學目標 (1)借助觀察、操作、思考、歸納等活動過程,進一步理解角的概念;(2)經(jīng)歷線段與角的類比學習過程,自主整體建構(gòu)“角的知識結(jié)構(gòu)”,感受幾何圖形學習的基本套路,積累學習幾何圖形的基本經(jīng)驗.
教學重點 運用類比方法研究角,形成對角的整體認識.
教學難點 用多種表征(圖形、文字、符號等)描述角的概念、角的大小、角的和與差.
問題1前面我們一起研究了什么內(nèi)容?
生1:直線、射線、線段.
師:我們研究的重點內(nèi)容是什么?
生2:線段.
師(追問):有關(guān)線段你知道哪些知識?(在學生回答的基礎(chǔ)上,板書圖5中的I部分)
設(shè)計意圖引領(lǐng)學生“有條理地梳理知識”,幫助學生尋找新知的“固著點”和“生長點”,也為“主動地遷移知識”作好鋪墊.
(1)靜態(tài)定義
過渡:我們在研究線段、射線、直線的基礎(chǔ)上來學習角的相關(guān)知識.
問題2①觀察:觀察兩塊三角板,請找出其中的角.(生略)
②操作:請同學們畫出一個角.(生略)
③思考:請對“角”下一個定義.
④分析:請找出定義中關(guān)鍵的字詞.(生略)
⑤舉例:請舉出生活中一些“角”的實例.
生3:兩條線交叉組成的圖形叫作角.
生4:應(yīng)該是兩條射線組成的圖形叫作角.
生5:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角.
生6:鐘的兩根針形成角……
設(shè)計意圖“觀察—操作—思考”調(diào)動學生多種感官,抽象出本質(zhì)屬性,逐步提煉出角的概念內(nèi)涵;“分析”過程明了概念的嚴謹性;“舉例”過程感受角概念的豐富外延.
(2)動態(tài)定義
問題3“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”,剛才有同學提出鐘的兩根針形成角,這次請同學們觀察針的運動,類比聯(lián)想一下,從“動態(tài)”的角度,對角下一個動態(tài)定義.
生7:角也可以看作一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.
師生順勢探究始邊、終邊、角的內(nèi)部、角的外部、平角、周角等概念.
設(shè)計意圖(1)“動態(tài)定義”培養(yǎng)學生用不同視角認識同一事物的能力和意識,也能適切地理解相關(guān)概念——角的內(nèi)部、外部、平角、周角等;(2)“類比聯(lián)想”拉近了生活和數(shù)學距離,讓學生易于理解,開拓學生思維,感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系.
過渡:從線段的知識結(jié)構(gòu)來看,接下來我們應(yīng)該研究角的什么內(nèi)容呢?
生:角的表示方法.
·類比學習1——表示方法
問題4請大家利用表示線段的經(jīng)驗表示一個角.
先獨立思考,再交流討論(圖1),形成類比學習的兩種認識:(1)類比——相同之處:研究角的表示方法之前,我們應(yīng)該把角的關(guān)鍵元素表示出來,公共端點即頂點為點O,兩條射線分別記為射線OA,OB,這樣很顯然,可以用三個大寫字母把角表示出來,注意用三個字母表示角時,表示頂點的字母必須寫在另兩個字母的中間,如∠AOB;在不引起混淆的情況下,頂點處只有一個角時,角還可以用它的頂點字母來表示,如∠A.(2)類比——不同之處:還可以怎樣表示呢?用小寫字母表示,為了便于區(qū)分線段表示方法,角可以用希臘字母來表示,一般地,用希臘字母表示一個角時,需在角內(nèi)靠近頂點處畫上弧線.如∠α;角可以用一個數(shù)字來表示,用數(shù)字表示一個角時,需在角內(nèi)靠近頂點處畫上弧線,如∠1.
圖1
圖形變式:將圖2中的角用不同的方法表示出來.
圖2
(生略)
設(shè)計意圖(1)采用“對比”形式,感受類比學習的關(guān)鍵——數(shù)學知識之間的區(qū)別和聯(lián)系,即線段和角表示方法的相同點——都可以用大寫字母表示,不同點——分別用小寫字母、希臘字母和數(shù)字表示;(2)“圖形變式”及時改變圖形,培養(yǎng)從復(fù)雜圖形抽離簡單圖形的能力,并鞏固所學知識.
·類比學習2——比較大小
過渡:類比線段的研究思路,我們接下來應(yīng)該研究什么?
問題5如圖3,怎樣比較兩個角的大?。?/p>
圖3
小組活動要求:(1)獨立思考、操作完成;(2)交流討論,共享智慧;(3)選一名代表進行大班發(fā)言.
學生代表1:可以先用量角器測量這兩個角,然后再比較角的大小.
師:這組同學比較大小的思路有點像比較線段大小中的什么方法?
生(眾):度量法.
師(追問):用量角器測量角的步驟是什么?
生8:一對中,二合線,三讀數(shù).
師:線段測量的單位為cm,dm,m,那么刻畫角的單位有哪些呢?
生9:度.
師:角的度量單位除了小學學過的度,還有分、秒,它們之間的換算類似時間單位之間的換算.還有其他方法嗎?
學生代表2:可以將∠AOB平移至∠EDF處,使得邊OB和邊DF重合,若邊OA在∠EDF的內(nèi)部,則∠AOB<∠EDF;若邊OA在∠EDF的外部,則∠AOB>∠EDF;若邊OA和邊DE重合,則兩角相等.
師:這組同學比較大小的思路有點像比較線段大小中的什么方法?
生10:疊合法.
生11:疊合法的操作思路與量角器測量角的思路相同.
設(shè)計意圖(1)繼續(xù)采用“對比”形式,在類比學習中深化了研究,有序地建構(gòu)了角的知識結(jié)構(gòu),再一次感受了類比學習方法,積累了經(jīng)驗;(2)從定性描述角的大小到定量刻畫角的大小、再到角的換算,發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).
·類比學習3——角的和差
問題6我們反思一下,在學習線段疊合時,若存在線段不相等,我們發(fā)現(xiàn)了線段可以是某些和差的形式,如AB=AC+BC,AC=AB-BC.類似地,請寫出圖4中有關(guān)角的和與差的關(guān)系式.(過程略,在學生回答的基礎(chǔ)上完善 圖5中的II部分)
圖4
圖5
師:在剛才三個類比學習過程中,我們應(yīng)該關(guān)注什么?還有什么疑問或問題?(過程略)
“類比視域下的整體教學”著力用高觀點考量數(shù)學教學中的各個要素,對相關(guān)教學內(nèi)容進行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化,以學生思維發(fā)展為目標,用類比學習的方式學習新知,突顯數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)性、邏輯性、整體性,促進學生數(shù)學素養(yǎng)的形成[2].主要體現(xiàn)在:
(1)“教”的整體性
教程著眼于“引”,盡力激發(fā)學生的求知欲望,引導(dǎo)學生在整體上把握本節(jié)課的大致內(nèi)容和學習方法.
(2)“學”的層次性
學程著眼于“探”,倡導(dǎo)類比學習方式,學程設(shè)計從“扶”(類比活動1)到“半扶半放”(類比活 動2),再到“完全放開”(類比活動3),讓學生拾階而上,步步為營,逐步引領(lǐng)學生“感受—理解—簡單運用”類比學習方法.層次分明的類比探究歷程讓學生思維的發(fā)展更清晰、更全面、更深刻、更嚴謹.
為了落實“類比視域下的整體教學”,本節(jié)課主要從三個方面精心展開:
(1)問題——激其思
杜威說,如果我們知道問題是什么、困難在哪里,那么有效的思維便比較容易進行了.發(fā)展學生的數(shù)學思維,創(chuàng)設(shè)高質(zhì)量的問題情境,讓學生有話可說、有話要說,是至關(guān)重要的第一步.本節(jié)課一開始,問題1引領(lǐng)學生回顧線段的相關(guān)內(nèi)容,喚醒了已有的知識和經(jīng)驗,有序梳理知識,形成框架,減少認知負荷,幫助學生建立了新知的“固著點”和“生長點”,也為有序地進行類比探究學習作好鋪墊.問題2和問題3用問題串的形式激發(fā)學生深入思考,讓學生完整地獲得了研究對象,而接下來的三個類比探究問題成功地展現(xiàn)了學習的曲折、思維的障礙、理解的誤區(qū)……也讓學生理解了類比學習的關(guān)鍵——找不同點和相同點,積累了數(shù)學基本活動經(jīng)驗.
(2)探究——明其跡
探究,必須要讓學生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展過程.本節(jié)課主要經(jīng)歷兩個探究路徑:
1)幾何概念的抽象路徑.即“實物和模型→圖形語言→文字語言→符號表示”的抽象過程.具體過程為從學生身邊的學具入手,“觀察—操作—思考”調(diào)動學生多種感官,逐步除去非本質(zhì)屬性,抽象出角的本質(zhì)屬性,豐富概念學習過程,拉長知識的發(fā)生發(fā)展過程,完善了“角”概念的內(nèi)涵;在此基礎(chǔ)上教師繼續(xù)引發(fā)學生思考:觀察鐘面針的運動并進行類比聯(lián)想,從“動態(tài)”的角度對角下定義.從感性認識生活中的角到理性認識數(shù)學上的角,從靜態(tài)和動態(tài)兩個角度明確了學習對象,讓學生在具體情境中展開認識活動,使學生經(jīng)歷完整的抽象過程,獲得學習對象,發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).
2)圖形的研究路徑.即按照“概念→表示→大小→性質(zhì)→應(yīng)用”的路徑展開,這也是學生學習幾何的基本過程.以上兩個一致性的學習過程,如武術(shù)的套路一樣,從簡單到復(fù)雜,從感性到理性,前后一致,邏輯連貫,既反映了數(shù)學知識的邏輯結(jié)構(gòu),也符合學生的認知規(guī)律,更為以后探究其他幾何圖形做好了“宏觀鋪墊”.
(3)關(guān)聯(lián)——暢其徑
關(guān)聯(lián)是為了找到知識的聯(lián)結(jié)和結(jié)構(gòu),去除遮蔽,關(guān)聯(lián)不是簡單地用一種思維去替換另一種思維,而是讓思維“能夠充分地從一個點到另一點進行連續(xù)的活動”(杜威).整個課堂教學中,為了體現(xiàn)思維的關(guān)聯(lián),著重考量以下兩個方面:
1)多重聯(lián)系.本節(jié)課中多處體現(xiàn)生活與數(shù)學的聯(lián)系,也多處體現(xiàn)了數(shù)學知識之間的聯(lián)系(如線段與角之間的聯(lián)系、度量法和疊合法的聯(lián)系等等).
2)結(jié)構(gòu)認知.由于本章新知識多且雜、新舊知識聯(lián)系多,故采用“框架式”和“對比式”結(jié)合的板書設(shè)計(圖5).這樣的板書設(shè)計不僅可以使得本節(jié)課的關(guān)鍵性知識一目了然,減輕學生認知負擔,利于學生學習、記憶,而且也利于遷移和關(guān)聯(lián)性思考.