袁 海，夏仰球，米 良，石純標(biāo)

(1.中國工程物理研究院機(jī)械制造工藝研究所，綿陽 621900；2.國家機(jī)床產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)檢測中心(四川)，成都 610200)

0 引言

運(yùn)動直線度是線性軸線的關(guān)鍵性能指標(biāo)之一，基于標(biāo)準(zhǔn)尺和電容位移傳感器的直線度測量方法是納米級超精密直線度測量的基本方法。由于制造精度極限的限制，用于超精密測量的標(biāo)準(zhǔn)尺參考面直線度誤差和被測線性軸自身直線度基本處于同一數(shù)量級[1]，嚴(yán)重影響測量精度，因此必須進(jìn)行誤差分離以消除參考面直線度誤差對直線度測量所帶來的影響。

直線度測量誤差分離方法[2]包括多步法(如反轉(zhuǎn)法[3]、平移法、三面互檢法等)、多探頭掃描法(如兩點(diǎn)法、三點(diǎn)法等)以及混合法等。其中，多探頭掃描法廣泛應(yīng)用于線性軸直線度測量誤差分離，測量系統(tǒng)主要由探頭、標(biāo)準(zhǔn)尺及安裝支架組成，可靠性高、結(jié)構(gòu)簡單且易于集成，使用多探頭掃描法測量直線度時，不用預(yù)先校核參考面被測直線的直線度，可通過誤差分離算法分離出參考面直線度。

依據(jù)探頭數(shù)目的多少，多探頭掃描法可分為兩點(diǎn)法和三點(diǎn)法。

常用的兩點(diǎn)法有逐次兩點(diǎn)法(sequential two points，STP)[4-5]、積分兩點(diǎn)法[5-6]以及頻域兩點(diǎn)法[7]，其中逐次兩點(diǎn)法在傾斜誤差已知或者忽略時，能夠精確重構(gòu)參考面被測直線的直線度誤差，但由于橫向分辨率較低不適用于小行程的直線軸；積分兩點(diǎn)法解決了逐次兩點(diǎn)法橫向分辨率不足的問題，但是積分特性會抑制高頻諧波分量，僅能對低頻為主的成分進(jìn)行較好的重構(gòu)；頻域兩點(diǎn)法是通過傅里葉變換來處理數(shù)據(jù)，需要對差分信號進(jìn)行周期性延拓來滿足傅里葉變化的條件，但忽略了調(diào)零誤差的影響，且同樣會丟失空間波長為采樣間隔整數(shù)倍的諧波分量。

三點(diǎn)法也有逐次三點(diǎn)法[5]、積分三點(diǎn)法[8]以及頻域三點(diǎn)法(three points in frequency-domain，TRPF)[9]等，與兩點(diǎn)法類似，逐次三點(diǎn)法同樣受制于橫向分辨率，且由于多了一個探頭導(dǎo)致調(diào)零誤差對測量結(jié)果造成巨大影響；積分三點(diǎn)法的積分特性對高頻成分的抑制更加嚴(yán)重；頻域三點(diǎn)法在傾斜誤差已知或者忽略時，通過對兩組差分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行周期性延拓[10]，對調(diào)零誤差進(jìn)行補(bǔ)償，可得到相應(yīng)的完整頻譜序列，進(jìn)而獲得精確的參考面被測直線的直線度。

除此之外，還有反轉(zhuǎn)四點(diǎn)法[2]、五點(diǎn)法[11]、反轉(zhuǎn)六點(diǎn)法[2]甚至八點(diǎn)法[11]等方法，但由于這些方法使用的傳感器數(shù)量過多，受到傳感器安裝的影響較大，調(diào)試復(fù)雜，且其中大部分為非精確重構(gòu)方法，因此不適用于超精密尺度的檢測，在此不進(jìn)行討論。

多探頭掃描法多種多樣，每種影響因素對各種方法的影響不同，適用場合也不同，選擇合適的方法尤為重要，由于探頭數(shù)量越多，數(shù)據(jù)處理越復(fù)雜，帶來的誤差也越多，實(shí)際情況下的實(shí)施也更難以達(dá)到理想效果，所以本文重點(diǎn)對于兩點(diǎn)法和三點(diǎn)法進(jìn)行分析，而其中只有逐次兩點(diǎn)法和頻域三點(diǎn)法這兩種理論上可實(shí)現(xiàn)參考面被測軸線直線度精確重構(gòu)(在忽略傾斜誤差的情況下)，且一個為時域方法一個為頻域方法，比較具有代表性，故本文對該兩種方法進(jìn)行了原理闡述并且通過仿真和試驗(yàn)進(jìn)行了基于影響因素分析的對比研究。

1 多探頭直線度誤差分離原理

1.1 逐次兩點(diǎn)法

為了方便敘述各物理量及其含義如表1所示。

表1 物理量及其含義

兩點(diǎn)法算法模型如圖1所示。

圖1 兩點(diǎn)法算法模型

當(dāng)兩個位移傳感器的間距等于采樣間隔時(即d=1時)，此方法稱為逐次兩點(diǎn)法，兩個位移傳感器的測量值可表示為：

m1(xn)=f(xn)+δ(xn)+c

(1)

m2(xn)=f(xn+1)+δ(xn)+S·γ(xn)+e+c

(2)

式中，c為常數(shù)。

通過兩式差分消去導(dǎo)軌直線度誤差可得：

m2(xn)-m1(xn)=f(xn+1)-f(xn)+S·γ(xn)+e

(3)

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)尺被測面初始位置取值已知時，標(biāo)準(zhǔn)尺被測面的的形狀輪廓可表示為：

(4)

1.2 頻域三點(diǎn)法

三點(diǎn)法算法模型如圖2所示。

圖2 三點(diǎn)法算法模型

當(dāng)使用頻域三點(diǎn)法時，3個位移傳感器的測量值可表示為：

m1(xn)=f(xn)+δ(xn)+c

(5)

m2(xn)=f(xn+d1)+δ(xn)+S1·γ(xn)+e1+c

(6)

m3(xn)=f(xn+d2)+δ(xn)+S2·γ(xn)+e2+c

(7)

m2(xn)-m1(xn)-S1·γ(xn)=f(n+d1)-f(n)+e1

(8)

m3(xn)-m1(xn)-S2·γ(xn)=f(n+d2)-f(n)+e2

(9)

設(shè)：

ki(n)=m(i+1)(xn)-m1(xn)-Si·γ(xn)
gi(n)=f(n+di)-f(n)+ei
i=1,2

(10)

為消除調(diào)零誤差帶來的影響，定義調(diào)零誤差傾角為：

(11)

再通過以下步驟進(jìn)行誤差分離：

步驟1：對進(jìn)行自然延拓，以滿足周期要求；

(12)

步驟2：求g的離散傅里葉變換系數(shù)；

(13)

步驟3：通過差分傳遞函數(shù)求f(n)的離散傅里葉變換系數(shù)；

(14)

步驟4：使用a12對步驟3中的F2(k)進(jìn)行補(bǔ)償，同時維持F1(k)為原樣，得到新的組合傅里葉變換系數(shù)；

(15)

(16)

步驟5：通過對步驟4求得的系數(shù)進(jìn)行離散傅里葉逆變換求得f(n)；

(17)

1.3 直線度誤差評定

對于誤差分離后的參考面被測直線的直線度，利用最小二乘法對其進(jìn)行評定[12]。對于分離獲得的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，利用最小二乘法擬合，可以得到如下方程：

zi=kxi+b

(18)

式中，

(19)

殘差計(jì)算公式如下：

εi=zi-kxi-b

(20)

最后可通過式，完成對直線度的評估：

Δ=max(ε)-min(ε)

(21)

2 影響因素分析&仿真試驗(yàn)對比

本節(jié)將利用仿真方法分析上述的影響因素對測量系統(tǒng)的影響，仿真流程如圖3所示，仿真參數(shù)設(shè)置如圖4和表2所示。

圖3 仿真試驗(yàn)流程 圖4 預(yù)設(shè)標(biāo)準(zhǔn)尺被測直線直線度

表2 仿真分析初始化參數(shù)設(shè)置

預(yù)設(shè)標(biāo)準(zhǔn)尺基準(zhǔn)直線度為：

(22)

2.1 傳感器安裝間距

頻域三點(diǎn)法不受傳感器安裝間距的制約，只需要選擇合適的傳感器安裝間距即可(即d1d2互質(zhì)且N=d1·d2)，但逐次兩點(diǎn)法的采樣間隔受到傳感器安裝間距的制約，所以僅對逐次兩點(diǎn)法的傳感器安裝間距進(jìn)行分析。

由圖5可知當(dāng)使用逐次兩點(diǎn)法處理數(shù)據(jù)時，傳感器安裝間距越小，對標(biāo)準(zhǔn)尺形狀輪廓的重構(gòu)程度越高，其根本原因在于，隨著傳感器安裝間距的增大，測量系統(tǒng)對標(biāo)準(zhǔn)尺表面的掃描分辨率降低，傳感器安裝間距越大，測量系統(tǒng)對標(biāo)準(zhǔn)尺表面的掃面分辨率就越低，丟失的輪廓就越多。

圖5 傳感器安裝間距的影響

但在實(shí)際過程中，由于傳感器探頭大小等因素導(dǎo)致兩點(diǎn)法的間距不可能達(dá)到理想小的間距，過大的間距會導(dǎo)致其橫向分辨率不足的問題難以克服。

2.2 調(diào)零誤差

在實(shí)際情況下，調(diào)整多個傳感器的探頭使他們處于同一平面上是很困難的，各探頭所在平面之間的距離定義為調(diào)零誤差，調(diào)零誤差在實(shí)際測量過程中是不可避免的，即使經(jīng)過調(diào)試也還會存在亞微米甚至微米級別的調(diào)零誤差，且難以對其進(jìn)行測量，其對測量結(jié)果的影響是不可忽視的。

對于逐次兩點(diǎn)法，由式(4)可知，在使用逐次兩點(diǎn)法時調(diào)零誤差對最終結(jié)果的影響是線性的，且調(diào)零誤差越大，所帶入的誤差也越大，但由于誤差是線性的，所以它對最后的重構(gòu)結(jié)果沒有影響。

對于頻域三點(diǎn)法，在調(diào)零誤差設(shè)置為e1=0.1 μm，e2=0.4 μm的情況下，如圖6所示，通過仿真分析可得該情況下調(diào)零誤差對最終結(jié)果帶來一個幅值為0.045 μm的影響。

圖6 調(diào)零誤差的影響 圖7 傾角差與調(diào)零誤差帶來的影響的關(guān)系

對于頻域三點(diǎn)法，調(diào)零誤差帶來的影響與傾角差(傾角差a12=a1-a2，為兩個相對調(diào)零誤差與其對應(yīng)間距的比值的差值)的關(guān)系如圖7所示。

由圖6和圖7可知，在使用頻域三點(diǎn)法時調(diào)零誤差傾角差對最終結(jié)果的影響是周期性的，且傾角差的絕對值越大，所帶入的誤差幅值也越大，當(dāng)傾角差為0時，對最終結(jié)果不造成影響。由于其誤差具有一定規(guī)律，所以可以通過式(15)計(jì)算得出傾角差并對其進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)償，來消除調(diào)零誤差對最后重構(gòu)結(jié)果的影響。

2.3 測量噪聲

為了研究測量噪聲對兩種方法的影響，設(shè)定調(diào)零誤差e1=0.1 μm，e2=0.4 μm，測量噪聲的方差(0.002～0.02) μm逐次增大，每種噪聲情況下進(jìn)行50次仿真得出如圖8所示的誤差棒圖。

圖8 測量噪聲的影響

由圖8可知，在使用逐次兩點(diǎn)法和頻域三點(diǎn)法分離參考面的被測直線的直線度時，其相對誤差都會隨著加入噪聲的方差的增大而增大，頻域三點(diǎn)法對比噪聲的抗干擾能力略強(qiáng)于逐次兩點(diǎn)法，其原因在于逐次兩點(diǎn)法的可利用數(shù)據(jù)遠(yuǎn)小于頻域三點(diǎn)法，且頻域三點(diǎn)法采用的是兩組數(shù)據(jù)的組合，相比之下也具有一定的抗干擾能力。在頻域三點(diǎn)法中兩端的不確定度通常較大，其原因在于處于邊緣的形狀在掃描過程中只能獲得一個傳感器的測量值(所以再去噪的平均處理中占不到優(yōu)勢)。

綜上所述，在進(jìn)行測量時，測量噪聲不可避免，應(yīng)采用適當(dāng)?shù)臑V波措施來減少測量噪聲對測量結(jié)果的影響。

2.4 標(biāo)準(zhǔn)尺基準(zhǔn)直線的復(fù)雜程度

通過改變預(yù)設(shè)形狀的諧波次數(shù)來改變被測直線的復(fù)雜程度，由圖9可知，在使用逐次兩點(diǎn)法時，標(biāo)準(zhǔn)尺基準(zhǔn)直線的復(fù)雜程度越高則測量結(jié)果的相對誤差越大，且對于逐次兩點(diǎn)法，傳感器之間的間距越大相對誤差也會越大。根本原因在于形狀越復(fù)雜逐次兩點(diǎn)法分辨率不足的缺點(diǎn)越明顯，在面對簡單形狀時，由于形狀簡單且平滑，逐次兩點(diǎn)法可以憑借簡單方便的操作和數(shù)據(jù)處理方法完成對其形狀的重構(gòu)，但一旦形狀復(fù)雜，逐次兩點(diǎn)法在兩個傳感器間距內(nèi)的誤差數(shù)據(jù)信息都被遺漏，對重構(gòu)的效果影響極大，對于有突變的地方更是難以實(shí)現(xiàn)精確重構(gòu)，這就使得逐次兩點(diǎn)法的應(yīng)用范圍有了很大的局限性。而頻域三點(diǎn)法由于不受掃掃描分辨率的限制，只要標(biāo)準(zhǔn)尺表面形狀的空間波長不小于采樣間隔即可完成精確重構(gòu)。

圖9 標(biāo)準(zhǔn)尺被測直線復(fù)雜程度的影響

2.5 探頭差異性

在實(shí)際情況下，對于同一型號的傳感器的不同探頭，由于制造等因素，很難保證其增益系數(shù)一致，且隨著使用時間的增加，同一探頭的增益系數(shù)也在隨之改變，設(shè)定增益系數(shù)的相對誤差為1%，通過仿真對探頭增益系數(shù)的影響進(jìn)行分析。

對于逐次兩點(diǎn)法，探頭組合有3種情況，如表3所示。

表3 STP探頭差異

由圖10可知，探頭差異性會對逐次兩點(diǎn)法精度造成一定影響，1%的相對誤差會引起最大5%的相對誤差，且該影響很難避免，探頭差異性越小，逐次兩點(diǎn)法的精度越高。

圖10 STP探頭差異性的影響 圖11 TRPF探頭差異性的影響

對于頻域三點(diǎn)法，探頭組合有6種情況，如表4所示。

表4 TRPF探頭差異

由圖11可知，探頭1和探頭2的差異性是引起頻域三點(diǎn)法誤差的主要因素，1%的相對誤差會引起最大1.6%的相對誤差，探頭差異性越小，誤差分離方法的精度越高。其原因在于頻域三點(diǎn)法中絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)來源于探頭1和探頭2，探頭3的數(shù)據(jù)用于補(bǔ)償?shù)谝唤M中缺失的部分，只占很少一部分，所以對誤差分離精度影響較小。除此之外，圖中的偏差具有很明顯的線性趨勢，其原因在于最小二乘法的誤差，去掉線性趨勢后不影響分析結(jié)果。

2.6 總結(jié)

通過對以上因素的仿真分析得到總結(jié)如表5所示。

表5 方法對比總結(jié)

3 試驗(yàn)對比

3.1 測量系統(tǒng)搭建

本次試驗(yàn)對象為液體靜壓導(dǎo)軌，測量系統(tǒng)如圖12所示，由非接觸式電容位移傳感器及其信號調(diào)理設(shè)備、標(biāo)準(zhǔn)尺、傳感器安裝夾具、微調(diào)平臺以及數(shù)據(jù)采集盒組成。

圖12 測量系統(tǒng)的搭建

該系統(tǒng)通過設(shè)定線性軸進(jìn)給速度和移動距離即可完成對標(biāo)準(zhǔn)尺的掃描；通過對掃描結(jié)束后的傳感器測量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析與處理，通過最小二乘法可得到標(biāo)準(zhǔn)尺被測直線和線性軸直線度的最終評定結(jié)果。

試驗(yàn)環(huán)境及參數(shù)設(shè)置如表6所示。

表6 試驗(yàn)環(huán)境及參數(shù)設(shè)置

3.2 試驗(yàn)步驟

步驟1：放置標(biāo)準(zhǔn)尺于微調(diào)平臺上，并利用微調(diào)平臺將其調(diào)至基本水平位置；

步驟2：將3臺位移傳感器以一定的間距固定在夾具上，并調(diào)節(jié)傳感器至有效工作范圍；

步驟3：驅(qū)動液體靜壓導(dǎo)軌至測量起始位置；

步驟4：取得連續(xù)1 s內(nèi)的測量數(shù)據(jù)，并進(jìn)行平均，作為該點(diǎn)的測量值；

步驟5：導(dǎo)軌移動一個采樣間隔后停止，重復(fù)步驟4和步驟5；

步驟6：當(dāng)?shù)?個傳感器到達(dá)測量終點(diǎn)時停止測量；

步驟7：利用采集到的數(shù)據(jù)分別用逐次兩點(diǎn)法和頻域三點(diǎn)法進(jìn)行處理得到最終結(jié)果。

3.3 試驗(yàn)結(jié)果

兩種方法的試驗(yàn)參數(shù)如表7所示。

表7 兩種方法的參數(shù)設(shè)置 (mm)

3個探頭的單測頭直線度評定結(jié)果如圖13所示。

圖13 3個探頭在個采樣點(diǎn)的輸出值

分別用逐次兩點(diǎn)法和頻域三點(diǎn)法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得到標(biāo)準(zhǔn)尺基準(zhǔn)直線直線度重構(gòu)結(jié)果如圖14所示(圖中灰色虛線為標(biāo)準(zhǔn)尺校準(zhǔn)證書所給的直線度，為0.11 μm)，分別為0.19 μm和0.13 μm；線性軸的直線度如圖15所示，分別為0.50 μm和0.39 μm。

圖14 標(biāo)準(zhǔn)尺被測直線直線度重構(gòu)結(jié)果 圖15 線性軸直線度重構(gòu)結(jié)果

試驗(yàn)結(jié)果表明：在相同試驗(yàn)環(huán)境下，頻域三點(diǎn)法和逐次兩點(diǎn)法具有相似的變化趨勢，在同一位置兩種方法得到的標(biāo)準(zhǔn)尺被測直線直線度的最大殘差為0.07 μm，線性軸直線度的最大殘差為0.08 μm，頻域三點(diǎn)法數(shù)據(jù)處理較為復(fù)雜但效果略優(yōu)于逐次兩點(diǎn)法。由于各種噪聲等因素的干擾，實(shí)際結(jié)果應(yīng)優(yōu)于試驗(yàn)最終結(jié)果。

4 結(jié)論

本文通過分析逐次兩點(diǎn)掃描法和頻域三點(diǎn)掃描法的基本測量原理，在時域和頻域上分析了多種影響因素對兩種方法測量誤差的影響規(guī)律，并搭建試驗(yàn)平臺，采用兩種方法分別對液體靜壓導(dǎo)軌運(yùn)動直線度進(jìn)行了對比試驗(yàn)，最終得到結(jié)論如下：

兩種誤差分離方法精度或適用性都會隨著傳感器安裝間距、調(diào)零誤差、測量噪聲、標(biāo)準(zhǔn)尺基準(zhǔn)面復(fù)雜程度、探頭差異性等影響因素的增加而降低，其中測量噪聲和探頭差異性影響較大，需采取合理的控制手段；總體而言，頻域三點(diǎn)法效果優(yōu)于逐次兩點(diǎn)法；對于高精度要求，或者是需要較完整的直線度曲線的情況下頻域三點(diǎn)法是較好的選擇，對于精度要求不是特別高，或是較長的線性軸，逐次兩點(diǎn)法也可以考慮使用。