唐亮　胡志民

摘? 要：概率的研究對象是隨機現象，為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法；統計的研究對象是數據，核心是數據分析. 概率為統計的發(fā)展提供了理論基礎. 文章匯選了2022年全國部分地區(qū)中考“隨機事件的概率”內容的相關試題，進行試題特點分析，并選取部分典型題進行解法分析，對2023年復習備考提出了相應的復習建議.

關鍵詞：隨機事件；列表法；畫樹狀圖法；頻率

“隨機事件的概率”專題內容在歷年中考考查中特色鮮明、形式新穎. 通過對2022年全國各地區(qū)中考“隨機事件的概率”試題的研究和歸類后，發(fā)現該部分試題主要考查以下三個方面：（1）事件的基本概念和概率的意義；（2）用頻率估計概率和借助定義以公式法、列表法、畫樹狀圖法、幾何概型或游戲公平性的形式求事件的概率；（3）統計和概率相結合，解決實際問題. 文章力爭通過對這些問題的分析，幫助學生準確把握復習方向，并給出若干復習備考建議和典型模擬題，以期為2023年中考數學復習教學助力、添彩.

一、試題特點分析

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中，“統計與概率”內容是與“數與代數”“圖形與幾何”“綜合與實踐”并列的四部分內容之一.“隨機事件的概率”專題是中考的必考內容之一. 雖然概率的內容在中考中所占分值不多，考查的內容也都比較簡單，但它往往與現實生活相聯系，可以加深學生對隨機現象的認識，培養(yǎng)學生的數據分析素養(yǎng)，使學生學會做出合理的決策，并且提高分析問題和解決問題的能力，以及數學應用意識.

2022年全國各地區(qū)中考試卷中“隨機事件的概率”有關試題重點關注社會熱點、彰顯數學傳統文化、貼近學生生活. 文章根據其考查知識點分以下三類進行評析：（1）理解事件的概念和概率的意義，這是教材的核心概念.（2）掌握隨機事件概率的求解方法，這是基本技能. 針對不同問題要選擇不同的求解方法. 概率的類型主要包括古典概型和幾何概型；求解方法主要有列舉法、列表法和畫樹狀圖法.（3）統計與概率結合解決實際問題，這是創(chuàng)新應用.

1. 事件的概念和概率的意義

首先，要正確掌握隨機事件、必然事件、不可能事件的相關概念和概率的意義. 事件的相關概念較好理解. 而對概率的意義的理解是這個專題的核心：概率是刻畫隨機事件發(fā)生的可能性大小的數值，是事件本身所固有的性質. 但在學習過程中，概率是一個與確定數學有明顯差異的較難理解的概念.

例1 （湖南·長沙卷）下列說法中，正確的是（? ? ）.

（A）調查某班45名學生的身高情況宜采用全面調查

（B）“太陽東升西落”是不可能事件

（C）為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統計圖是條形統計圖

（D）任意投擲一枚質地均勻的硬幣26次，出現正面朝上的次數一定是13次

目標解析：此題主要對事件的分類、概率的意義、全面調查與抽樣調查、條形統計圖等知識點進行考查.

解法分析：調查某班45名學生的身高情況宜采用全面調查，故選項A符合題意；“太陽東升西落”是必然事件，故選項B不符合題意；為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統計圖是扇形統計圖，故選項C不符合題意；任意投擲一枚質地均勻的硬幣26次，出現正面朝上的次數可能是13次，所以選項D不符合題意. 故此題答案選A.

試題分析：此題取材于教材中的問題，再改編而成. 以調查學生的身高、太陽東升西落、空氣各成分的百分比、投擲硬幣等學生非常熟悉的素材為背景設置問題考查相關知識，符合學生的認知規(guī)律，體現了跨學科融合. 學生更容易對事件的分類、概率的意義，以及統計圖的特點進行理解. 此題關注了學生已有的經驗和認知基礎，旨在引導教師的教和學生的學要重視教材、回歸教材.

類題賞析：（湖南·衡陽卷）下列說法正確的是（? ? ）.

（A）“任意畫一個三角形，其內角和為[180°]”是必然事件

（B）調查全國中學生的視力情況，適合采用普查的方式

（C）抽樣調查的樣本容量越小，對總體的估計就越準確

（D）十字路口的交通信號燈有紅、黃、綠三種顏色，所以開車經過十字路口時，恰好遇到黃燈的概率是[13.]

答案：A.

【評析】此題以數學中的核心知識點“三角形內角和”和社會高度重視的學生視力情況、交通信號燈等為素材進行命制，在考查統計、事件和概率的相關知識的同時，引導學生重視數學核心知識、關注社會熱點問題，且對學生進行了安全意識方面的教育.

2. 隨機事件概率的求解方法

隨機試驗的結果是不確定的，但隨機事件發(fā)生的可能性是有大小的，概率就是隨機事件發(fā)生的可能性大小的數量表達. 隨機事件中，可以用列舉法求概率的古典概型，還可以利用面積法求概率的幾何概型. 現實生活中，還有一類隨機事件的概率是通過用頻率估計概率的方法求得的. 幾何概型與古典概型相比較，它們都要求每種試驗的結果是等可能的，但幾何概型沒有結果總數有限的限制.

在解題過程中，要正確應用求概率的兩種計算方法. 其一，是簡單隨機事件概率的計算方法，即如果在一次試驗中，有[n]種等可能的結果，事件[A]包含其中的[m]種結果，那么事件[A]發(fā)生的概率[PA=mn.] 其二，是通過大量重復試驗發(fā)現隨機事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，感悟用頻率估計概率的道理，這是統計與概率之間的紐帶. 通過這個紐帶，可以引導學生動手實踐，充分體驗頻率與概率之間的關系，積累數學活動經驗，提升數學核心素養(yǎng).

例2 （遼寧·鐵嶺卷）如圖1，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構成. 向游戲板隨機投擲一枚飛鏢（每次飛鏢均落在紙板上），擊中陰影區(qū)域的概率是? ? ? ? .

目標解析：以游戲為背景，考查幾何概型的概率.

解法分析：設圖1中每個小正方形的面積為1，則大正方形的面積為9. 根據題意，圖中陰影部分的面積為3，則[P擊中陰影區(qū)域＝3/9=1/3.] 故答案為[1/3.]

試題分析：該題要求學生結合生活實際，利用面積法求概率的幾何概型問題，難度較低.

類題賞析：（江蘇·蘇州卷）如圖2，在[5×6]的長方形網格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形[OAB]的圓心及弧的兩端均為格點. 假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形[OAB]（陰影部分）的概率是（? ? ）.

（A）[π12] （B）[π24]

（C）[10π60] （D）[5π60]

答案：A.

【評析】此題考查幾何概型概率的求法. 首先，根據題意用面積表示代數關系，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后，計算陰影區(qū)域的面積在總面積中所占的比例，這個比例即事件發(fā)生的概率. 此題以常見的游戲為題材，貼近學生生活，能夠有效激發(fā)學生的學習興趣.

例3 （四川·自貢卷）為了比較甲、乙兩魚池中的魚苗數目，小明從兩魚池中各撈出100條魚苗，每條做好記號，然后放回原魚池. 一段時間后，在同樣的地方，小明再從甲、乙兩魚池中各撈出100條魚苗，發(fā)現其中有記號的魚苗分別是5條、10條，可以初步估計魚苗數目較多的是 ? ? ?魚池（填“甲”或“乙”）.

目標解析：此題以比較池塘中魚苗的數目為背景考查樣本估計總體，以及用樣本的概率估計總體的概率，考查了學生的數據觀念.

解法分析：由題意可得，甲魚池中的魚苗數目約為[100÷5100=2 000]（條）；乙魚池中的魚苗數目約為[100÷10100=1 000]（條）. 因為2 000＞1 000，所以初步估計魚苗數目較多的是甲魚池. 故答案為甲.

試題分析：解答此題的關鍵是明確整個魚池中有記號的魚苗所占的比例等于撈出的魚苗中有記號的魚苗所占的比例，即可以用樣本的概率估計總體的概率.

類題賞析：（湖南·長沙卷）為了解某校學生對湖南省“強省會戰(zhàn)略”的知曉情況，從該校全體1 000名學生中，隨機抽取了100名學生進行調查. 結果顯示有95名學生知曉. 由此，估計該校全體學生中知曉湖南省“強省會戰(zhàn)略”的學生有? ? ? .

答案：950名.

【評析】此題主要考查利用樣本估計總體，熟練掌握樣本估計總體的思想及計算方法是解題的關鍵.

例4 （山西卷）“二十四節(jié)氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”. 小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂. 小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），如圖3，讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（? ? ）.

（A）[23] （B）[12] （C）[16] （D）[18]

目標解析：此題以“二十四節(jié)氣”和郵票為素材，考查用列表法和畫樹狀圖法求概率，滲透了我國優(yōu)秀的傳統文化，激發(fā)了學生的愛國情懷.

解法分析：設用A表示立春，用B表示立夏，用C表示秋分，用D表示大寒，畫樹狀圖如圖4所示.

由上可得，共有12種等可能的結果. 其中，小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的結果有2種. 所以小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是[212=16.] 故答案為選項C.

試題分析：正確畫出樹狀圖是解題的關鍵，同時要區(qū)分好放回抽樣和不放回抽樣. 此題為不放回抽樣.

類題賞析：（湖南·岳陽卷）守護好一江碧水，打造長江最美岸線. 江豚、麋鹿、天鵝已成為岳陽“吉祥三寶”的新名片. 某校生物興趣小組設計了3張環(huán)保宣傳卡片，正面圖案如圖5所示，它們除此之外完全相同.

（1）將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，則抽取的卡片正面圖案恰好是“麋鹿”的概率為 ? ? ? ；

（2）將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的兩張卡片中隨機抽取一張，試用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的卡片正面圖案恰好是“江豚”和“天鵝”的概率.

答案：（1）[13；]（2）[13.]

【評析】對于第（1）小題，直接利用概率公式求解即可；對于第（2）小題，將江豚、麋鹿、天鵝三張卡片分別記作①、②、③，列表得出所有等可能的結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可. 此題既考查了概率相關知識，又發(fā)展了學生解決問題的能力，同時拓展了學生的視野.

3. 統計與概率結合解決實際問題

例5 （湖北·恩施州卷）2022年4月29日，湖北日報聯合夏風教室發(fā)起“勞動最光榮，加油好少年”主題活動. 某校學生積極參與本次主題活動，為了解該校學生參與本次主題活動的情況，隨機抽取該校部分學生進行調查. 根據調查結果繪制如圖6和圖7所示的不完整的統計圖. 試結合圖中信息解答下列問題.

（1）本次共調查了? ? 名學生，并補全條形統計圖.

（2）若該校共有1 200名學生參加本次主題活動，則本次活動中該?！跋匆路钡膶W生約有多少名？

（3）現從參與本次主題活動的甲、乙、丙、丁4名學生中，隨機抽取2名學生談一談勞動感受. 試用列表或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩人同時被抽中的概率.

目標解析：此題以湖北日報號召發(fā)起的“勞動最光榮，加油好少年”主題活動為話題，從樣本估計總體、條形統計圖、列表法與畫樹狀圖法求概率等方面考查統計和概率知識的綜合應用.

解法分析：（1）40 ÷ 20% = 200（人），200 - 40 - 50 - 30 - 20 = 60（人）.

故共調查了200名學生. 補全的條形統計圖如圖8所示.

（2）[1 200×50200=300]（人），

故該校1 200名學生中參與“洗衣服”的學生約有300名.

（3）從甲、乙、丙、丁4人中選擇2人所有可能出現的結果情況如表1所示.

由表1可知，共有12種等可能出現的結果. 其中，甲、乙同時被抽中有2種結果.

所以甲、乙同時被抽中的概率為[212=16.]

試題分析：此題既考查統計與概率問題，又滲透勞動教育，讓勞動意識深入人心，給學生傳遞一種積極向上的氛圍，讓學生從中體會到正能量，較好地發(fā)揮了中考試題的育人導向和育人價值，較好地貫徹了“五育并舉”教育方針，有利于提升學生用數學知識解決問題的應用意識，體現了數學應用的廣泛性和數學學科的育人價值.

類題賞析：（四川·廣安卷）某校在開展線上教學期間，為了解七年級學生每天在家進行體育活動的時間（單位：h），隨機調查了該年級的部分學生. 根據調查結果，繪制出扇形統計圖（如圖9）和條形統計圖（如圖10），試根據相關信息，解答下列問題.

（1）本次隨機調查的學生共有? ? ? 人，圖9中m的值為? ? ? ? .

（2）試補全條形統計圖.

（3）體育活動時間不足1小時的4人中有3名女生A1，A2，A3和1名男生B. 為了解他們在家體育活動的實際情況，從這4人中隨機抽取2人進行電話回訪，試用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽到兩名女生的概率.

答案：（1）40，15；

（2）在家進行體育活動的時間為1.2 h的人數為40 × 15% = 6（人）.

補全的條形統計圖如圖11所示.

（3）列表如表2所示.

共有12種可能的結果，恰好抽到兩名女生的有6種結果，所以抽到兩名女生的概率為[612＝12.]

【評析】此題考查了列表法和畫樹狀圖法，即利用列表法或畫樹狀圖法展示所有可能的結果，再從中選出符合事件A或B的結果數目，然后根據概率公式計算事件A或事件B的概率.

二、優(yōu)秀試題分析

“隨機事件的概率”試題往往會涉及時事熱點、身邊安全或傳統文化，以讓學生體會概率知識與實際生活的密切聯系. 無論是傳統的幾種問題情境（如摸球、轉盤、擲骰子、拋硬幣），還是生活化背景，都旨在培養(yǎng)學生對簡單隨機事件概率問題本質的理解. 2022年中考“隨機事件的概率”相關試題選材鮮活、難度適中，對當前的初中數學教學具有積極的指導意義.

例6 （山東·臨沂卷）為做好疫情防控工作，某學校門口設置了A，B兩條體溫快速檢測通道，該校同學王明和李強均從通道A入校的概率是（? ? ）.

（A）[14] （B）[13]

（C）[12] （D）[34]

題意理解：此題與實際生活情境緊密結合，主要考查用列表法或畫樹狀圖法求概率.

思路探求：先畫樹狀圖，明確兩名學生過通道的可能結果共有4種，然后利用概率公式求解即可.

書寫表達：畫樹狀圖如圖12所示.

由圖12可知，共有4種等可能的結果. 其中，王明和李強均從通道A入校的結果只有1種. 所以王明和李強均從通道A入校的概率為[14]. 故此題選擇A.

回顧反思：該題考查用列表法和畫樹狀圖法求概率，以及學生的邏輯推理能力. 試題形式新穎，緊扣時事，引導學生重視數學核心知識、關注社會熱點問題，體會數學既來源于生活，又服務于生活.

例7 （貴州·遵義卷）如圖13，甲、乙兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形（兩個轉盤除表面數字不同外，其他完全相同），轉盤甲上的數字分別是-6，-1，8，轉盤乙上的數字分別是-4，5，7（規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉一次）.

（1）轉動轉盤，轉盤甲指針指向正數的概率是? ? ? ? ? ；轉盤乙指針指向正數的概率是? ? ? ? ? .

（2）若同時轉動兩個轉盤，轉盤甲指針所指的數字記為[a，] 轉盤乙指針所指的數字記為[b，] 試用列表或畫樹狀圖法求滿足[a+b<0]的概率.

題意理解：此題以常見的轉盤游戲為背景，考查用列表法或畫樹狀圖法求簡單隨機事件的概率，列舉出所有可能出現的結果是正確解答的關鍵.

思路探求：第（1）小題，先用列舉法列出所有等可能的結果，再找出所有正數的結果，最后利用概率公式求解即可. 第（2）小題，先用列表法列出所有可能出現的結果，再計算，判斷符合[a+b<0]的結果總數，最后利用概率公式求解即可.

書寫表達：（1）轉盤甲被等分為3份，其中1份標有正數，所以轉動轉盤甲1次，指針指向正數的概率是[13；] 轉盤乙也被等分為3份，其中2份標有正數，所以轉動轉盤乙1次，指針指向正數的概率是[23.] 故答案為[13， 23.]

（2）同時轉動兩個轉盤，指針所指的數字所有可能出現的結果如表3所示.

共有9種等可能出現的結果，其中兩個轉盤指針所指數字之和為負數的有3種. 所以同時轉動兩個轉盤，指針所指數字之和為負數的概率為[39=13，] 即滿足a + b＜0的概率為[13.]

回顧反思：此題先考查用列舉法求隨機事件的概率，再考查用樹狀圖或者列表法求事件的概率，同時考查了正數的概念和不等式的基本運算. 在數學知識層面、數學能力層面和創(chuàng)新思維層面都對學生進行了很好的考查，具有較好的選拔功能.

例8 （湖南·衡陽卷）為落實“雙減提質”，進一步深化“數學提升工程”，提升學生數學核心素養(yǎng)，某學校擬開展“雙減”背景下的初中數學活動型作業(yè)成果展示現場會. 為了解學生最喜愛的項目，現隨機抽取若干名學生進行調查，并將調查結果繪制成如圖14所示的兩幅不完整的統計圖.

根據以上信息，解答下列問題.

（1）參與此次抽樣調查的學生人數是 ? ? ? ，補全統計圖14（a）（要求在條形圖上方注明人數）；

（2）圖14（b）中扇形[C]的圓心角度數為 ? ? ?；

（3）若參加成果展示活動的學生共有1 200人，估計其中最喜愛“測量”項目的學生人數是多少；

（4）計劃在A，B，C，D，E五項活動中隨機選取兩項作為直播項目，試用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中B，E這兩項活動的概率.

題意理解：此題以“雙減”為背景命題，考查學生數據的收集與整理、統計與概率的應用、數據分析與運算能力.

思路探求：第（1）小題，從兩個統計圖中可得樣本中選擇七巧板的有36人，占調查人數的30%. 由頻率 =[頻數總數，] 即可求出答案，進而可以補全條形統計圖. 第（2）小題，求出扇形[C]所占的百分比，即可求出相應的圓心角的度數. 第（3）小題，求出樣本中參與“測量”所占的百分比，進而估計總體中“測量”的百分比，求出相應人數即可. 第（4）小題，用列表法表示所有可能出現的結果，進而求出相應的概率即可.

書寫表達：（1）120人；

補全的統計圖如圖15所示.

（2）90°.

（3）300.

（4）在A，B，C，D，E五項活動中隨機選取兩項，所有可能出現的結果如表4所示.

共有20種等可能出現的結果. 其中，恰好選中B，E這兩項活動的有2種，所以恰好選中B，E這兩項活動的概率為[220=110.]

回顧反思：此題考查扇形統計圖和條形統計圖的相關知識，以及考查用列表法或畫樹狀圖法求簡單隨機事件的概率. 理解條形統計圖、扇形統計圖中數量之間的關系，以及列舉出所有等可能出現的結果，是正確解答的前提. 因此，教師要重視教材，幫助學生掌握“四基”，從而提高學生的“四能”.

三、復習備考建議

綜上可見，2022年中考對“隨機事件的概率”試題的考查，緊扣《標準》要求，不斷推陳出新，展現亮點，同時呈現出了比較穩(wěn)定的規(guī)律. 對于2023年中考“隨機事件的概率”專題的備考，筆者從以下三個方面給出建議.

1. 突破重點和難點，厘清隨機事件的概率知識之間的內在聯系，構建專題思維導圖

從近幾年全國各地區(qū)中考“隨機事件的概率”試題來看，考查單一知識點的試題有很多，題型以選擇題和填空題為主，試題多以中低檔形式呈現. 因此，教師在教學中要重視基本概念，把教材中關于概率的知識點串起來，構建知識網絡圖（如圖16），以提高學生分析和推理的思維品質.

在中考復習中，形成知識結構網絡有利于學生對知識的存儲和記憶，有利于學生在考試時對所學知識的提取和運用. 知識結構網絡由教師提供大方向，先讓學生嘗試自主構建，然后對照教材補充、完善，最后師生之間進行比較、交流. 同時，教師要重視教材的基礎性和示范作用，要講清楚數學概念、原理和方法等，落實“四基”和“四能”，引導學生養(yǎng)成從教材中的基本概念出發(fā)解決問題的習慣.

2. 關注易錯點，針對薄弱環(huán)節(jié)進行專題強化訓練，確?；A扎實、穩(wěn)固

“隨機事件的概率”試題中，選擇題和填空題主要考查的是學生對知識的了解和理解層次，解答題主要考查的是學生對知識的掌握和運用層次. 因此，專題復習時，教師一定要認真研究《標準》中涉及概率部分的要求，重點關注如下易錯點：（1）對概率意義的理解；（2）試驗具體分幾步，每一步具體做什么，再選擇合理的列舉法；（3）認真審題，識別是“放回”抽取還是“不放回”抽取，再精準計算；（4）理解用樣本估計總體的應用，培養(yǎng)統計應用的意識. 針對學生學習的薄弱環(huán)節(jié)，教師需要引導學生加深對內容的理解，從而扎實掌握該部分內容.

3. 重視綜合應用，關注學生的思維品質，培養(yǎng)數學核心素養(yǎng)

受知識水平和思維水平的限制，學生從圖表中獲取信息的能力和閱讀理解能力相對較弱，因此學生不容易透徹理解概率試題. 對此，在復習中，教師要緊扣《標準》要求，突出概率的核心知識和基本思想，關注概率的應用性，注重培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和靈活性. 尤其是對于結合生產、生活實際的試題，以及與統計、代數、幾何等領域相結合的綜合性試題，教師要引導學生過濾試題的實際背景，抓住數學本質，從而提高學生分析問題和解決問題的綜合能力.

因此，在日常教學中，教師要給予學生充分的時間進行思考、討論，使其理解概率內容中蘊含的數學思想，用思想指導行動，即會用概率的觀點、統計的意識來觀察、分析和理解現實世界.

四、典型模擬題

1. 某瓷磚廠在相同條件下抽取部分瓷磚做耐磨試驗，結果如表5所示. 則這個廠生產的瓷磚是合格品的概率估計值是? ? ? ．（精確到0.01.）

答案：0.95．

2. 為傳承中華優(yōu)秀傳統文化，提高學生的文化素養(yǎng)，學校舉辦“經典誦讀”比賽，比賽題目分為“詩詞之風”“散文之韻”“小說之趣”“戲劇之雅”四組（依次記為A，B，C，D）. 小雨和莉莉兩名同學參加比賽，其中一名同學從四組題目中隨機抽取一組，然后放回，另一名同學再隨機抽取一組．

（1）小雨抽到A組題目的概率是? ? ；

（2）試用列表法或畫樹狀圖的方法，求小雨和莉莉兩名同學抽到相同題目的概率．

答案：（1）[1/4；]（2）[1/4.]

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］鄧艷花，陳遠剛. 事件創(chuàng)設穩(wěn)中求新? 概率求解活而不難：2021年中考“事件的概率”專題解題分析［J］. 中國數學教育（初中版），2022（3）：54-61.

［3］周啟東，鄭艷. 2020年中考“抽樣與數據分析”專題解題分析［J］. 中國數學教育（初中版），2021（3）：18-25，31.

作者簡介：唐亮（1968— ），男，副教授，主要從事中學數學課堂教學評價和競賽研究；

胡志民（1988— ），男，中學一級教師，主要從事中學數學課堂教學與解題研究.