胡凱琦，王慧琴，賴盛英，樊偉征

(上海工程技術(shù)大學(xué) a.數(shù)理與統(tǒng)計學(xué)院；b.電子信息工程學(xué)院，上海 201620)

液體質(zhì)量分數(shù)是描述溶液的重要物理量. 測量液體質(zhì)量分數(shù)的方法較多，常見的物理測量法有折射率法[1-4]、旋光率法[5]、光譜分析法[6]等，其中折射率法應(yīng)用最為廣泛，該方法通過研究液體質(zhì)量分數(shù)與折射率的關(guān)系定標(biāo)出待測液體的質(zhì)量分數(shù). 一般地，透明液體質(zhì)量分數(shù)與折射率在一定范圍內(nèi)呈線性關(guān)系[7]，因此測出待測液體的折射率，即可求出其質(zhì)量分數(shù)值. 本實驗是在居家條件下，通過簡單的實驗材料，利用2個面(成一定夾角)的折射，較為精確地測得不同質(zhì)量分數(shù)的NaCl溶液折射率，通過擬合得到液體質(zhì)量分數(shù)與折射率的關(guān)系式，通過比較該關(guān)系式與經(jīng)驗公式吻合. 與傳統(tǒng)實驗相比，本文方案具有實驗材料容易獲得、不需要精密儀器設(shè)備、操作簡單、物理圖像清晰、實驗結(jié)果精度較高等優(yōu)點，因此該實驗既可作為演示實驗，也可作為探索性實驗，實驗裝置還可改裝成液體質(zhì)量分數(shù)測定儀.

1 實驗原理

1.1 兩面折射法測液體折射率的原理

當(dāng)水平光線斜入射至盛有透明液體的多邊形玻璃容器時，會發(fā)生偏折現(xiàn)象. 設(shè)待測溶液的折射率為nx，容器玻璃的折射率為nG，空氣折射率為nA=1，光線的入射角為φ1，光入射到容器某面上的折射情況如圖1所示.由折射定律可知：nAsinφ1=nGsinθ1=nxsinθ2，可見，光線經(jīng)平板玻璃上下界面折射后會發(fā)生平移，但不會改變在液體中的折射角，即對折射方向而言等同于空氣與液體界面上的折射.本實驗所用玻璃厚度為1 mm，測量所需數(shù)據(jù)只與入射角和折射角有關(guān)，因此玻璃對測量結(jié)果無影響，故后面將玻璃內(nèi)部的折射簡化.

圖1 入射面的折射

若光經(jīng)容器的2個面后出射，且入射面與出射面的夾角為α，出射角為φ2.由于φ1，α和nx的取值不同，可能出現(xiàn)θ2+θ3=α和θ2-θ3=α的2種情況，如圖2所示.對應(yīng)的液體折射率表達式分別為

(a)θ2+θ3=α

(sinφ1≤nxsinα)

(1)

(sinφ1>nxsinα)

(2)

由式(1)～(2)可知，要測出液體折射率nx，只需測出φ1，φ2和α即可，計算時要根據(jù)φ1，α和nx的實際值選擇合適的表達式.

對于常見透明液體，其折射率范圍為1.33～1.45，當(dāng)α=90°時，1.33

1.2 全反射限制及入射角的選擇

全發(fā)射是由光密到光疏介質(zhì)時光全部被反射回光密介質(zhì)的現(xiàn)象.在本實驗中，光在入射面玻璃到液體和出射面玻璃到空氣都有可能發(fā)生全發(fā)射，因此需要選擇合適的入射角才能避免全反射的發(fā)生，保證所有質(zhì)量分數(shù)液體都可測量.

1.3 出射角的測量方法

居家條件下沒有專業(yè)的測角儀，實驗中利用2塊平面鏡通過幾何關(guān)系將角度測量轉(zhuǎn)換為線度測量，一塊平面鏡與出射面共面，另一塊平面鏡與之平行.以三角形容器為例的實驗裝置示意圖見圖3，光線經(jīng)器皿的2個面折射后出射到右側(cè)標(biāo)尺上，留下光點1；在光點1處插入反射鏡1，該光點經(jīng)反射后到左側(cè)反射鏡2上，再反射回到標(biāo)尺上，并留下光點2，記錄下兩光點位置，求出兩光點的間距,測出兩鏡面間的距離d，則

圖3 液體折射率測量裝置示意圖

(3)

將式(3)代入式(1)，可得

(4)

可見，該方案除了利用幾何關(guān)系把角度的測量轉(zhuǎn)變成距離的測量，還利用了光杠桿原理，將由液體質(zhì)量分數(shù)變化引起的出射角的微小變化量轉(zhuǎn)變成容易觀察的距離變化，提高了測量精度.

2 實驗操作

實驗前準備：

1)將普通載玻片粘合制作成方形和三角形的空心容器.

2)用食鹽與水混合，使用精度為0.01 g的電子秤，分別配制13種質(zhì)量分數(shù)的NaCl溶液.

3)用半導(dǎo)體激光筆、玻璃容器、平面鏡、標(biāo)尺、量角器等器材組建液體質(zhì)量分數(shù)測量裝置，如圖4所示.

(a)方形容器測量裝置 (b)三角形容器測量裝置

實驗步驟：

1)調(diào)整激光筆使出射的激光水平，容器、鏡面均豎直，以70°入射至容器的入射面，觀察出射光的位置，將光屏平行于出射面放置，使出射光斑照在光屏上，固定光屏；

2)在光屏前光斑處豎直放置平面鏡1(本實驗采用自粘鏡片直接貼在屏上)，觀察經(jīng)平面鏡反射后光線的方位；

3)在反射光線的方位上豎直放置平面鏡2，保持鏡面2與出射面共面，經(jīng)鏡2反射，在光屏面內(nèi)能接收到第2次反射回來的光點(若距離大，則需要2個光屏，且要使兩光屏共面. 本實驗采用一條形板貼上白紙作為光屏，板上貼有米尺和鏡片1)；

4)打開激光筆，分別記下第1個光斑位置x1和第2個光斑位置x2，二者相減得到Δx(多次測量取平均值).

5)測出兩鏡面間距d，求出被測溶液的折射率.

6)保持入射角不變，更換不同質(zhì)量分數(shù)的溶液(裝置底部接有軟管和節(jié)流閥，直接打開節(jié)流閥即可排空液體)進行測量，得到若干組數(shù)據(jù)，通過擬合即可得到該溶液質(zhì)量分數(shù)與折射率的關(guān)系.

7)改變?nèi)肷浣?，分別在入射角為75°和80°的情況下，重復(fù)上述步驟.

3 液體質(zhì)量分數(shù)與折射率的關(guān)系

在入射角φ1為70°，75°，80°情況下，分別采用不同容器對質(zhì)量分數(shù)w為2%～26%的NaCl溶液進行了測量，測量時方形容器裝置的兩鏡面間距為3.1 cm，三角形容器裝置鏡面間距為45.6 cm，每種液體均測量5次取平均值，代入式(4)即可得到待測液體的折射率.

3.1 方形容器的測量結(jié)果

方形容器測得的NaCl溶液的實驗數(shù)據(jù)如表1所示(α=90°，d=3.1 cm)，對表1數(shù)據(jù)通過最小二乘法擬合得到液體質(zhì)量分數(shù)與折射率呈線性關(guān)系，且3條擬合直線基本重合，如圖5所示. 其中，入射角φ1=70°，75°,80°的情況下折射率與溶液質(zhì)量分數(shù)的擬合關(guān)系式分別為：n=1.334+0.001 82w，n=1.333+0.001 83w,n=1.333+0.001 83w. 不同入射角情況下的擬合關(guān)系式與經(jīng)驗公式nNaCl=1.333+0.001 85w吻合[7].

表1 方形容器測得NaCl溶液的實驗數(shù)據(jù)

圖5 方形容器內(nèi)NaCl溶液質(zhì)量分數(shù)與折射率關(guān)系圖

3.2 三角形容器的測量結(jié)果

三角形容器內(nèi)NaCl溶液實驗數(shù)據(jù)及擬合結(jié)果如表2和圖6所示(α=64°，d=45.6 cm)，結(jié)果同樣表明折射率與質(zhì)量分數(shù)呈線性關(guān)系，3個不同入射角下擬合的關(guān)系式分別為：n=1.332+0.001 92w，n=1.327+0.002 08w和n=1.332+0.001 91w. 測量結(jié)果與經(jīng)驗公式[7]吻合較好.

圖6 三角形容器內(nèi)NaCl溶液質(zhì)量分數(shù)與折射率關(guān)系圖

表2 三角形容器測得NaCl溶液的實驗數(shù)據(jù)

比較方形與三角形容器的測量結(jié)果可知，方形容器測量條件下的光線偏移量Δx隨質(zhì)量分數(shù)變化更快. 這是由于在相同條件下，方形容器的出射角大于三角形容器的出射角，當(dāng)d相同時，較大的出射角可獲得更大的光點間距Δx，因此方形容器比三角形容器更易觀察，相對靈敏，實驗結(jié)果更好，測量結(jié)果與經(jīng)驗公式吻合更好. 但對于方形容器而言，當(dāng)入射角為70°時，質(zhì)量分數(shù)較高的液體更易接近臨界反射或全反射，從而不便觀測.

4 結(jié)束語

本實驗從基本的折射定律入手，利用容器2個面的折射，再利用光杠桿原理放大質(zhì)量分數(shù)變化引起的折射角度變化，且將角度的測量轉(zhuǎn)變成距離的測量，較精確地測出了NaCl溶液在不同質(zhì)量分數(shù)下的折射率，實驗結(jié)果驗證了溶液質(zhì)量分數(shù)與折射率的線性關(guān)系，且擬合公式與經(jīng)驗公式吻合，說明該方法具有可行性. 實驗不需要精密的儀器和設(shè)備，只需一些簡單的實驗材料，操作簡單、物理圖像清晰. 該實驗既可作為演示實驗，也可作為探索性實驗，其實驗裝置還可改裝成液體質(zhì)量分數(shù)測定儀. 本文以方形和三角形容器為例展開研究，但本實驗方案所推導(dǎo)的公式是普適的，對任意多邊形任意角度的容器均適用.