張 博 鄭昊楷 孫東生 丁 虎 陳立群,3)

* (長安大學(xué)理學(xué)院,西安 710064)

? (上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院,上海 200444)

引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)是飛機(jī)的心臟,是國家工業(yè)基礎(chǔ)、科技水平和國防實(shí)力的重要標(biāo)志.渦輪葉片是航空發(fā)動(dòng)機(jī)中最重要的關(guān)鍵部件之一,其可靠性直接影響發(fā)動(dòng)機(jī)能否正常.已有研究表明[1-4],航空發(fā)動(dòng)機(jī)故障原因中62%以上是由于渦輪葉片振動(dòng)過量,且由于高溫、高壓工況下通過蛇形冷卻通道進(jìn)行降溫的設(shè)計(jì),葉片通道內(nèi)部受到科氏力、離心力等因素的相互作用,具有復(fù)雜的流固耦合效應(yīng).因此,研究含蛇形冷卻通道的旋轉(zhuǎn)葉片動(dòng)力學(xué)特性,對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的合理化設(shè)計(jì)與減振降噪具有重要意義.

由于旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)在工程中的廣泛應(yīng)用,尤其是在航空發(fā)動(dòng)機(jī)領(lǐng)域的核心地位,從上世紀(jì)四50 年代以來,旋轉(zhuǎn)葉片的動(dòng)力學(xué)行為研究吸引了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.如Carnegie[5]在1959 年首次研究了旋轉(zhuǎn)葉片的自振頻率.張偉等[1]將葉片簡化為功能梯度材料薄壁梁,通過伽遼金法研究了系統(tǒng)在空氣熱彈性載荷下的動(dòng)力學(xué)行為.此外,許多學(xué)者[6-11]將葉片簡化為大變形柔性薄板.如趙飛云等[12]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論和Jourdain 速度變分原理,研究高速旋轉(zhuǎn)下的柔性矩形薄板的耦合動(dòng)力學(xué)模型.鄭彤等[13]、蔣建平等[14],利用Langrage 方程法得到系統(tǒng)的一次近似耦合動(dòng)力學(xué)方程.

以上研究,將旋轉(zhuǎn)葉片簡化為旋轉(zhuǎn)的懸臂梁或旋轉(zhuǎn)的大變形柔性薄板,但均未考慮內(nèi)部流體對(duì)葉片動(dòng)力學(xué)特性的影響.由前人的研究[15-21]可知內(nèi)部流體會(huì)對(duì)葉片的振動(dòng)產(chǎn)生復(fù)雜的影響,將葉片簡化為旋轉(zhuǎn)懸臂輸液管模型可以從宏觀上更深入地研究流體的某一特性對(duì)旋轉(zhuǎn)葉片的動(dòng)力學(xué)影響.Chen[22]在1971 年對(duì)輸送脈動(dòng)流體的管道振動(dòng)進(jìn)行研究,并通過數(shù)值方法確定穩(wěn)定性邊界.Paidoussis[23]在1987 年對(duì)輸液管的振動(dòng)作了詳細(xì)的論述,并指出發(fā)散失穩(wěn)和顫振失穩(wěn)兩種值得深入研究的現(xiàn)象.后續(xù)有Rousselet 等[24]、Lundgren 等[25-27]和徐鑒等[28-29]先后導(dǎo)出了懸臂輸液管的非線性運(yùn)動(dòng)方程.

Paidoussis 等[30]、黃玉盈等[31]和Ibrahim[32-33]分別在1993 年、1998 年和2010 年對(duì)輸液管模型動(dòng)力學(xué)模型的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了詳細(xì)的綜述.王乙坤等[34]研究了脈動(dòng)內(nèi)流作用下的輸液管振動(dòng)問題.Wang等[35]用牛頓法和龍格-庫塔法對(duì)波紋輸液管的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行理論和數(shù)值分析,發(fā)現(xiàn)波紋總數(shù)和波紋幅度對(duì)輸液管的動(dòng)力學(xué)行為有較大影響.宮亞飛等[36]利用哈密頓原理和伽遼金法推導(dǎo)了含有初始彎曲的功能梯度輸液管的非線性動(dòng)力學(xué)方程,分析超臨界功能梯度輸液管的自由振動(dòng)特性.Oh 等[37]利用瑞麗利茲法推導(dǎo)含冷卻通道的旋轉(zhuǎn)葉片的熱彈動(dòng)力耦合模型,研究冷卻效應(yīng)下系統(tǒng)的固有頻率與拉伸特性.張博等[38]基于Langrage 原理和假設(shè)模態(tài)法研究不同端部集中質(zhì)量、轉(zhuǎn)速對(duì)旋轉(zhuǎn)輸液管臨界流速的影響及特定參數(shù)組合下的內(nèi)共振現(xiàn)象.

通過文獻(xiàn)調(diào)研不難發(fā)現(xiàn),在內(nèi)冷葉片研究領(lǐng)域,考慮內(nèi)流作用對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性影響的報(bào)道較少,文獻(xiàn)[38]中雖開展了相關(guān)研究,但只局限于單冷卻通道模型.為了更貼合包含多條冷卻通道且通有流體介質(zhì)的先進(jìn)內(nèi)冷葉片工程實(shí)例[39],本文在文獻(xiàn)[38]基礎(chǔ)上,引入葉片換熱特性研究[40]中對(duì)內(nèi)部通道的簡化方式,將葉片簡化為含雙輸液通道的旋轉(zhuǎn)懸臂輸液管,采用能量法建立其動(dòng)力學(xué)模型,揭示包含多條冷卻通道的旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)中,冷卻通道內(nèi)流體流動(dòng)對(duì)葉片動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律.

1 動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)

本文將含蛇形冷卻通道的渦輪葉片簡化為如圖1 所示長為L的兩通道旋轉(zhuǎn)懸臂輸流管,固接在半徑r的中空?qǐng)A柱上以常數(shù)Ω旋轉(zhuǎn),截面高為h,寬為b,單位長度質(zhì)量為m,兩通道半徑均為r0,兩通道軸線與輸流管軸線距離均為d,兩通道內(nèi)流體的單位長度質(zhì)量分別為M1,M2,相對(duì)通道的流速分別為常數(shù)U1與U2.以中空?qǐng)A柱中心O點(diǎn)為原點(diǎn),建立全局坐標(biāo)系XYZ,單位方向向量分別為i,j,k.以輸流管中軸線與圓柱側(cè)面的交點(diǎn)為o點(diǎn),沿軸線方向?yàn)閤軸,建立隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系xyz,單位方向向量分別為i′,j′,k′,軸線上任意一點(diǎn)在t時(shí)刻的x,y方向位移分量分別用w1(x,t)和w2(x,t)表示,由變形引起的轉(zhuǎn)角為θ.為了簡化分析,引入以下假設(shè): (1)忽略輸流管剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響;(2)忽略輸流管在z方向的變形,即振動(dòng)發(fā)生在XY平面內(nèi);(3)兩通道內(nèi)的流體均為為定常不可壓縮的無黏流體;(4)輸流管是均勻、各向同性的線彈性材料.

圖1 含兩通道的旋轉(zhuǎn)輸流管Fig.1 Sketch of a rotating cantilever double channel pipe

在全局坐標(biāo)系下,輸流管上任意一點(diǎn)的速度矢量為

令y=0 可表示輸流管中軸線上任意一點(diǎn)的速度矢量為

則輸流管的動(dòng)能為

輸流管因旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的軸向收縮勢(shì)能[41]為

輸流管的變形勢(shì)能為

式中,EI為輸流管的抗彎剛度,Ap為截面面積.在全局坐標(biāo)系下,兩通道內(nèi)流體的速度分別為

兩通道內(nèi)流體的動(dòng)能為

根據(jù)Euler-Bernoulli 梁理論,在隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下,通道1(y=d)和通道2(y=?d)中軸線上任意一點(diǎn)的位置矢量為

在輸流管開放系統(tǒng)中,輸流管做無窮小變形運(yùn)動(dòng)下,流體對(duì)輸流管做的功可由文獻(xiàn)[42]得

則旋轉(zhuǎn)輸流管開放系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)為

本文兩通道旋轉(zhuǎn)懸臂輸流管的邊界條件為

應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法離散系統(tǒng)的兩個(gè)變形分量

式中,qi(t) 代表系統(tǒng)在相應(yīng)方向的廣義位移,N1,N2為選取的模態(tài)函數(shù)個(gè)數(shù),?i(x)為滿足系統(tǒng)位移邊界條件的模態(tài)函數(shù)

其中參數(shù)βl為頻率方程 c os(βlL)ch(βlL)=?1的根.

根據(jù)Lagrange 原理,得到系統(tǒng)矩陣形式的動(dòng)力學(xué)方程

為了使研究結(jié)果具有普遍性,定義以下無量綱參數(shù)

其中,α0,α1,α2分別表示輸流管及兩通道內(nèi)流體的單位長度質(zhì)量權(quán)重;τ,κ,Ω*分別表示無量綱時(shí)間、長細(xì)比與無量綱轉(zhuǎn)速;u1和u2分別表示兩通道中流體的無量綱流速.

得到無量綱化后的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

其中質(zhì)量子陣、阻尼子陣、陀螺子陣、剛度子陣和廣義力子陣見附錄.

2 復(fù)模態(tài)分析

采用降階擴(kuò)維的方法求解系統(tǒng)的特征值,為簡化方程,引入以下向量與矩陣

由于本文研究的是自由振動(dòng)問題,方程可簡化為

設(shè)其通解為

將其代入式(22),得到關(guān)于實(shí)值矩陣的一般特征值問題

求解得到系統(tǒng)呈復(fù)共軛出現(xiàn)的特征根和特征向量

式中,σr為阻尼因子,ωr為固有頻率.因此,特征矢量矩陣為

由式(16)、式(29)與式(30)可得輸液管橫向位移的第r階模態(tài)響應(yīng)為

式中單劃線與雙劃線部分分別代表了阻尼因子和相位變化對(duì)輸流管橫向位移模態(tài)響應(yīng)的影響,為表述方便,下文使用符號(hào)和分別表示上述兩因素歸一化模態(tài).

3 收斂性研究與對(duì)比驗(yàn)證

本文的系統(tǒng)參數(shù)選取參考文獻(xiàn)[38],在后文中,若無特別說明,系統(tǒng)的無量綱參數(shù)設(shè)置為:α0=0.675,α1=0.1625,α2=0.1625,γ=0.5,κ=61.94,Ω*=5,δ=0.012.

圖2 研究了假設(shè)模態(tài)法的收斂性,在不同試探函數(shù)個(gè)數(shù)下,系統(tǒng)的特征根軌跡圖相似,臨界流速數(shù)值存在微小差別.當(dāng)試探函數(shù)個(gè)數(shù)取15 時(shí),臨界流速收斂.在后文的數(shù)值算例中均取N1=N2=15.由圖可知,當(dāng)流體流速較小時(shí),流體引起了系統(tǒng)各階模態(tài)的阻尼效應(yīng).隨著流速的增加,第1 和3 階模態(tài)軌跡相繼穿越橫軸,預(yù)示著輸流管1 階和3 階模態(tài)將發(fā)生顫振失穩(wěn),但第2 階模態(tài)始終未發(fā)生失穩(wěn).

圖2 不同試探函數(shù)個(gè)數(shù)下前3 階特征根軌跡曲線 (Ω*=0)Fig.2 The trajectories of the first three eigenvalues for different trail function numbers (Ω*=0)

以文獻(xiàn)[43]中兩端簡支的單通道輸流管系統(tǒng)為研究對(duì)象,得到該系統(tǒng)的前兩階特征根軌跡曲線,如圖3 所示.將所得的前兩階臨界流速與文獻(xiàn)[43]的結(jié)果相比較,如表1 所示,兩者結(jié)果吻合,驗(yàn)證了本文建模方法的正確性.

表1 兩端簡支單通道輸流管系統(tǒng)的前兩階臨界流速對(duì)比Table 1 Comparison of the first two critical flow velocities for simply supported flow pipe

圖3 兩端簡支的單通道輸流管系統(tǒng)的前兩階特征根軌跡Fig.3 The trajectories of the first two eigenvalues for simple supported flow pipe

4 結(jié)果分析與討論

采用雙通道模型更貼合含多條冷卻通道的先進(jìn)內(nèi)冷葉片工程實(shí)際,在此基礎(chǔ)上開展的動(dòng)力學(xué)特性研究更具有參考價(jià)值.圖4 對(duì)比了單位時(shí)間流量相同時(shí),中心單通道模型與對(duì)稱雙通道模型的系統(tǒng)臨界流速值.其中,單通道的截面半徑為(r0為雙通道模型的截面半徑),兩模型的長細(xì)比分別為κsingle=59.75,κtwin=74.05,其余參數(shù)與前文一致.由圖可見,在不同轉(zhuǎn)速下,雙通道模型的臨界流速值均大于單通道模型,且隨著轉(zhuǎn)速的增加,雙通道模型的臨界流速值也比單通道模型增長得更快.

圖4 單、雙通道模型的臨界流速隨轉(zhuǎn)速的變化曲線Fig.4 The curves of critical flow velocity with rotating speed for the single/twin-channel models

圖5 研究了無量綱流速u1和u2的比例分別為1:1,1:2,1:3,1:4 時(shí)系統(tǒng)的特征根軌跡圖,其中圖中所標(biāo)識(shí)的流速代表通道2 中流體流速.可以發(fā)現(xiàn)在不同流速比值下,得到的系統(tǒng)特征根軌跡圖曲線形狀大致相同,隨著比值減小,第1 階模態(tài)和第3 階模態(tài)在發(fā)生失穩(wěn)時(shí)的臨界流速值增大,第2 階模態(tài)始終未發(fā)生失穩(wěn).

圖5 不同流速比下前3 階特征根軌跡(ucr=u2,Ω*=5)Fig.5 The trajectories of the first three eigenvalues for different velocity ratios (ucr=u2,Ω*=5)

從系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程不難發(fā)現(xiàn),通道內(nèi)流體的流動(dòng)與管道整體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)均會(huì)給系統(tǒng)引入陀螺效應(yīng),即本文建立的動(dòng)力學(xué)模型為典型的雙陀螺系統(tǒng).圖6 研究了轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)特征根軌跡的影響.由圖6 可見,轉(zhuǎn)速第1 階模態(tài)的特征根軌跡影響較小,并始終只存在一個(gè)臨界流速.而隨著轉(zhuǎn)速的提高,系統(tǒng)的第2,3 階特征根軌跡繞圈現(xiàn)象越來越顯著,并會(huì)多次穿越虛軸,預(yù)示流速變化過程中系統(tǒng)的第2,3 階模態(tài)將經(jīng)歷失穩(wěn)→穩(wěn)定→失穩(wěn)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)歷程,產(chǎn)生該現(xiàn)象是由于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)引入的陀螺效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響.為了進(jìn)一步研究這一現(xiàn)象,控制轉(zhuǎn)速不變,在圖7 中繪制了系統(tǒng)特征根軌跡隨長細(xì)比的演變規(guī)律.可以發(fā)現(xiàn),隨著κ增大,系統(tǒng)第2,3 階模態(tài)特征根軌跡的繞圈現(xiàn)象逐漸消失,當(dāng)κ足夠大時(shí),第2 階模態(tài)不再發(fā)生失穩(wěn),第3 階特征根軌跡只穿越一次虛軸,只存在一個(gè)臨界流速,類似于經(jīng)典的懸臂輸流管模型[15].實(shí)際上,隨著κ增大,旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)引起的管道軸向與橫向間的陀螺耦合效應(yīng)逐漸減弱[44],系統(tǒng)雙陀螺效應(yīng)中通道內(nèi)流體的流動(dòng)引起的陀螺效應(yīng)成為主導(dǎo)因素,因而系統(tǒng)表現(xiàn)出類似非旋轉(zhuǎn)的懸臂輸流管的動(dòng)力學(xué)行為.

圖6 不同轉(zhuǎn)速下前3 階特征根軌跡曲線(κ=35)Fig.6 The trajectories of the first three eigenvalues for different rotating speeds (κ=35)

圖7 不同長細(xì)比下前3 階特征根軌跡曲線(Ω*=5)Fig.7 The trajectories of the first three eigenvalues for different slenderness ratios (Ω*=5)

圖8 揭示了相位變化對(duì)輸流管橫向位移前3 階模態(tài)響應(yīng)的影響.由圖可見,陀螺效應(yīng)使得系統(tǒng)不同位置的響應(yīng)出現(xiàn)相位差.與實(shí)模態(tài)系統(tǒng)振動(dòng)呈現(xiàn)駐波特性不同,復(fù)模態(tài)系統(tǒng)振動(dòng)呈現(xiàn)出行波特性,即出現(xiàn)“節(jié)點(diǎn)”移動(dòng)現(xiàn)象.

圖8 相位變化對(duì)前3 階模態(tài)響應(yīng)的影響(u1=u2=8,Ω*=10)Fig.8 The curves of the first three modal responses for different phase changes (u1=u2=8,Ω*=10)

圖9(a)～ 圖9(c)給出了3 組不同流速和轉(zhuǎn)速組合下,阻尼因子對(duì)輸流管橫向位移前3 階模態(tài)響應(yīng)的影響.當(dāng)u1=u2=6,Ω*=15 時(shí),前3 階模態(tài)響應(yīng)的幅值均隨時(shí)間減弱;當(dāng)u1=u2=10,Ω*=12 時(shí),前3 階模態(tài)響應(yīng)的幅值隨時(shí)間分別增強(qiáng)、減弱、減弱;當(dāng)u1=u2=15,Ω*=15 時(shí),前3 階模態(tài)響應(yīng)的幅值隨時(shí)間分別增強(qiáng)、增強(qiáng)、減弱.這表明在不同的流速和轉(zhuǎn)速組合下,系統(tǒng)不同階模態(tài)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)不同的增強(qiáng)或減弱現(xiàn)象.

圖9 不同流速和轉(zhuǎn)速下阻尼因子對(duì)前3 階模態(tài)響應(yīng)的影響Fig.9 The effects of damping factor on the first three mode responses for different flow rates and rotating speeds

5 結(jié)論

本文通過能量法建立了含兩通道的旋轉(zhuǎn)輸流管動(dòng)力學(xué)控制方程,通過與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了本文方法的正確性,研究了流體單位長度質(zhì)量、不同流速比和輸流管長細(xì)比對(duì)系統(tǒng)臨界流速的影響,并分別分析了相位變化與阻尼因子對(duì)前3 階模態(tài)響應(yīng)的影響,得出了以下結(jié)論.

(1)在單位時(shí)間流量相同時(shí),雙通道模型的臨界流速值大于單通道模型的,且隨著轉(zhuǎn)速的增大,雙通道模型的臨界流速值增長得更快;

(2)隨著兩通道內(nèi)流速比值減小,第1 階模態(tài)和第3 階模態(tài)在發(fā)生失穩(wěn)時(shí)的臨界流速值增大,且第2 階模態(tài)始終未發(fā)生失穩(wěn);

(3)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)引入的陀螺效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)第1 階特征根軌跡影響較小,但會(huì)顯著影響第2,3 階特征根軌跡,使其發(fā)生繞圈現(xiàn)象,并多次穿越虛軸,從而導(dǎo)致第2,3 階模態(tài)振動(dòng)存在多個(gè)臨界流速.

(4)輸流管橫向位移模態(tài)響應(yīng)出現(xiàn)相位差,呈現(xiàn)出行波特性,即出現(xiàn)"節(jié)點(diǎn)"移動(dòng)現(xiàn)象,在不同的流速和轉(zhuǎn)速組合下,系統(tǒng)不同階模態(tài)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)不同的增強(qiáng)或減弱現(xiàn)象.

本文首次研究了含兩通道的旋轉(zhuǎn)輸流管動(dòng)力學(xué)特性,為含復(fù)雜冷卻通道布局的旋轉(zhuǎn)葉片的設(shè)計(jì)提供一定理論參考.但本文中只考慮兩通道為簡單的對(duì)稱式布局,輸流管內(nèi)部復(fù)雜不對(duì)稱的通道布局等情況有待進(jìn)一步的研究與討論.

附錄