王佰超 許虎 張澧桐 張洪明 王慧冬

（①長(zhǎng)春理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022；②內(nèi)蒙古第一機(jī)械集團(tuán)股份有限公司，內(nèi)蒙古 包頭 014000）

板材漸進(jìn)成形工藝[1]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)漸進(jìn)成形工藝）作為一種柔性無(wú)模板材成形新技術(shù)，成形軌跡可以提前編寫(xiě)，采用“分層制造”想法，對(duì)模具沒(méi)有依賴(lài)性，復(fù)雜曲面零件也可以通過(guò)漸進(jìn)成形進(jìn)行加工。柔性板材漸進(jìn)成形工藝類(lèi)似于3D打印，均為復(fù)雜三維模型在高度方向離散并分解為一系列二維斷層面，分層進(jìn)行加工，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)形狀的制造。漸進(jìn)成形的另外一個(gè)特點(diǎn)是柔性化，成形軌跡可預(yù)先編制,可方便實(shí)現(xiàn)成形形狀的改變，使成形工藝更加靈活。另外，成形過(guò)程易于實(shí)現(xiàn)是自動(dòng)化甚至智能化，可有效融合在線監(jiān)測(cè)技術(shù)實(shí)現(xiàn)成形質(zhì)量的閉環(huán)控制。漸進(jìn)成形因其靈活性高，開(kāi)發(fā)時(shí)間短，經(jīng)濟(jì)成本低等特點(diǎn)，在多品種、小批量生產(chǎn)中具有巨大優(yōu)勢(shì)。圖1為漸進(jìn)成形原理圖。

圖1 漸進(jìn)成形原理圖

金屬板材漸進(jìn)成形作為一種先進(jìn)的加工工藝，加工中難免出現(xiàn)一些不可避免的缺陷：零件成形失效，過(guò)度減薄或者發(fā)生破裂；成形件表面質(zhì)量欠佳，如大尺度波紋度和材料沉積；零件幾何精度低，如回彈、下沉等現(xiàn)象[2-3]。

破裂是指在漸進(jìn)成形過(guò)程中隨著板材表面積的增大，厚度不斷減薄直至不能承受成形力的現(xiàn)象。這是因?yàn)樵趩吸c(diǎn)工具頭的加工過(guò)程中，工具頭與板材的接觸類(lèi)似于逐點(diǎn)接觸，板材上與工具頭接觸的點(diǎn)應(yīng)力集中明顯，其中包括兩向拉應(yīng)力和一向壓應(yīng)力，尤其在垂直進(jìn)給位置時(shí)還受到很大的沖擊載荷，因此在板材加工的后期很容易產(chǎn)生破裂缺陷。如圖2為成形角為71°時(shí)板料破裂圖，破裂高度為-12.84 mm。針對(duì)板材成形發(fā)生破裂的處理手段，可以根據(jù)以下兩個(gè)層面上解決：

圖2 板料破裂圖

（1）降低刀具在加工過(guò)程中，板材成形區(qū)的進(jìn)給量，盡量在0.1～2 mm。

（2）板材應(yīng)選取塑性能力強(qiáng)，比如抗拉強(qiáng)度，屈服強(qiáng)度都要比一般材料要高；延展性好的材料，可以擴(kuò)大所需變形區(qū)，從而減少成形力的集中。

戴聰聰[4]以韌性值為評(píng)價(jià)指標(biāo)，得出了雙點(diǎn)漸進(jìn)成形工藝參數(shù)對(duì)板材破裂的影響規(guī)律，得出以下結(jié)論：成形角影響最大，其次為板厚、刀具直徑和進(jìn)給量，進(jìn)給速度影響最小。不過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，不能完全證實(shí)該結(jié)論的成立。利用Oyane斷裂準(zhǔn)則，楊琴[5]根據(jù)應(yīng)變率效應(yīng)，計(jì)算出鋁合金材料在破裂過(guò)程中的材料參數(shù)并且總結(jié)出應(yīng)用于漸進(jìn)成形鋁合金材料的破裂準(zhǔn)則。但提出的韌性破裂準(zhǔn)則僅對(duì)圓錐臺(tái)進(jìn)行了應(yīng)用，對(duì)于大型復(fù)雜零件需要進(jìn)一步研究。朱浩[6]通過(guò)對(duì)鋁合金在剪切力作用下的斷裂行為及力學(xué)性能進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)隨著剪切應(yīng)力速率的增加，剪切斷裂應(yīng)變會(huì)降低。而剪切應(yīng)變速率對(duì)鋁合金的剪切強(qiáng)度幾乎沒(méi)有影響。同時(shí)，還得出結(jié)論，在剪切應(yīng)力的作用下，微裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)大基本上是完成的。但是未針對(duì)車(chē)用鋁合金進(jìn)行撞擊等實(shí)驗(yàn)，僅僅通過(guò)拉伸試驗(yàn)和有限元模擬來(lái)確定鋁合金的損傷和斷裂機(jī)制。李軍超等[7]在數(shù)值模擬過(guò)程中，采用了均勻分布策略和正反轉(zhuǎn)交替的處理方法，有效地避免了G代碼處理軌跡導(dǎo)致的板料斷裂等不穩(wěn)定現(xiàn)象。但對(duì)摩擦機(jī)理的研究不夠深入，需要找到更好的潤(rùn)滑方法。Maria B Silva[8-9]等討論了單點(diǎn)漸進(jìn)成形過(guò)程中刀具頭直徑等工藝參數(shù)對(duì)AA1050-H111鋁板成形極限和斷裂的影響。此外，對(duì)單點(diǎn)漸進(jìn)成形過(guò)程中頸縮現(xiàn)象的發(fā)生也作了進(jìn)一步說(shuō)明。比較了單點(diǎn)和雙點(diǎn)漸進(jìn)零件成形精度和成形的其他性能。但是研究對(duì)象主要是方錐臺(tái)和圓錐臺(tái)件等之類(lèi)的簡(jiǎn)單軸對(duì)稱(chēng)制件，需要對(duì)復(fù)雜異形件進(jìn)行更多研究。Duc Toan Nguyen[10]等結(jié)合混合硬化法則和Oyane[11]韌性斷裂準(zhǔn)則利用有限元仿真尋找到了在對(duì)鎂合金材料的韌性斷裂影響因子中，刀具半徑和進(jìn)給量的增大，板料的成形極限也隨著降低，兩者成反比，成形極限預(yù)測(cè)結(jié)果卻以混合硬化法則較為精確。但是數(shù)值模擬的過(guò)程復(fù)雜，時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，需要開(kāi)發(fā)一套適用于板材多點(diǎn)復(fù)合漸進(jìn)成形的專(zhuān)用軟件。

1 主成分分析回歸原理與步驟

1.1 主成分分析回歸法的原理

主成分分析[12]（principal component analysis）是多元統(tǒng)計(jì)分析的重要降維和分析評(píng)價(jià)方法；多元分析（multivariate analyses）作為一種多變量統(tǒng)計(jì)分析方法在數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。它主要使用所有的自變量運(yùn)行主成分分析，對(duì)自變量進(jìn)行降維，獲得一組互不相關(guān)（正交）的主成分，這些主成分承載了原始變量的方差。所以在建立線性回歸方程時(shí)無(wú)需考慮各個(gè)參數(shù)之間的交互作用，它的建立是依靠矩陣相同參數(shù)對(duì)應(yīng)方程的參數(shù)，因此不會(huì)出現(xiàn)參數(shù)相乘或者平方的情況。

主成分分析（PCA）的要旨是主成份分析的目的是用盡量少的主成份代表眾多的變量，因此它們所包含的信息量不應(yīng)該損失太多。應(yīng)用這一原理可以從大量數(shù)據(jù)（如溫度、濕度等）中提取出與之相關(guān)程度高的信息，從而達(dá)到簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)處理過(guò)程和提高預(yù)測(cè)精度的目的。用這種方法進(jìn)行了預(yù)報(bào)試驗(yàn)。這說(shuō)明主成分分析其實(shí)就是降維方法之一。

1.2 主成分分析回歸法的步驟

（1）對(duì)原始數(shù)據(jù)建立矩陣，將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，假定主成分分析指標(biāo)變量假定主成分分析指標(biāo)變量（漸進(jìn)成形樣品）有n個(gè)，每個(gè)指標(biāo)變量都有P個(gè)主要影響因子，將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成xnp的矩陣，見(jiàn)式（1）。

（2）標(biāo)準(zhǔn)化處理。

對(duì)于各個(gè)因素的單位的不同，需進(jìn)行統(tǒng)一處理，所以將各個(gè)因素指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，如式（2）。

（3）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣，如式（3）。

式中：rii=1,rij=rji,rij就是第i項(xiàng)指標(biāo)和第j項(xiàng)指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)，見(jiàn)式（4）。

（4）計(jì)算特征值與特征向量。

①計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值 λ1≥λ2≥···≥λP≥0。

②計(jì)算出對(duì)應(yīng)特征值的特征向量u1,u2,···,uP。

（5）主成分指標(biāo)的確定。計(jì)算特征值λi(i=1,2,···,p)的信息貢獻(xiàn)率及累積貢獻(xiàn)率。

（6）線性回歸方程的建立。已知主成分指標(biāo)變量條件下，將以上主成分指標(biāo)設(shè)出線性回歸，見(jiàn)式（5）。

根據(jù)式（5）計(jì)算出包含Z1,Z2,···,Zm的線性回歸方程，代入主成分式子，可得出關(guān)于X1,X2,X3,···,Xp的線性回歸方程如式（6）。

1.3 Johnson-Cook本構(gòu)模型

Johnson-Cook本構(gòu)模型[13]可以描述金屬在變形量大，應(yīng)變速率高，溫度高的條件下的塑性變形行為。該本構(gòu)模型定義的等效斷裂應(yīng)力為：

式（7）顯示了金屬的流變應(yīng)力與應(yīng)變、應(yīng)變速率和溫度之間的關(guān)系。其中：σ為非零應(yīng)變率時(shí)金屬的屈服應(yīng)力；A為初始屈服應(yīng)力；B為硬化常數(shù)；ε為等效塑性應(yīng)變；n為硬化指數(shù)；C為應(yīng)變率常數(shù)；ε˙ 為應(yīng)變速率；T*為對(duì)同系溫度；m為熱軟化指數(shù)。

Johnson-Cook本構(gòu)模型可以與漸進(jìn)性損傷和失效模型聯(lián)合使用，來(lái)指定不同的損傷初始準(zhǔn)則和損傷演化規(guī)律，來(lái)允許材料剛度漸進(jìn)退化并從網(wǎng)格中去除單元，即可以顯示出破裂的現(xiàn)象。

1.4 Johnson-Cook損傷準(zhǔn)則

Johnson-Cook損傷準(zhǔn)則[14]是韌性準(zhǔn)則的特殊情況。Johson G.R等[15]提出一種動(dòng)態(tài)失效模型（Johson-Cook本構(gòu)模型），它以單元積分點(diǎn)等效塑性應(yīng)變值為依據(jù)而創(chuàng)建出來(lái)的。假定相關(guān)性是分離的并具有以下形式：

式中：σ*=p/σeff=-σm/σeff=-Rσ，p為壓應(yīng)力，σeff為Mises應(yīng)力，Rσ為應(yīng)力三軸度；ε˙*=ε˙/ε˙0，ε˙是塑性應(yīng)變率，ε˙0為參考應(yīng)變率，通常為 1s-1；T*是無(wú)量綱溫度；D1～D5是在轉(zhuǎn)變溫度或其之下測(cè)得的失效參數(shù)。因?yàn)榇蟛糠植牧想S著壓力與偏壓力之比的增加，其 εf增加，所以上述表達(dá)式的D3通常采用正值。

Johnson-Cook動(dòng)態(tài)失效模型是具有硬化規(guī)律和率相關(guān)分析形式的Mises塑性模型的一個(gè)特殊種類(lèi)。它適用于許多材料，包括絕大部分金屬的高應(yīng)變率變形。同時(shí)可以在Abaqus/Explicit中與Johnson-Cook動(dòng)態(tài)失效模型聯(lián)合使用。而且Johnson-Cook動(dòng)態(tài)失效模型提供兩種失效選擇，包括作為結(jié)構(gòu)撕裂或剝開(kāi)的結(jié)果從網(wǎng)格中去除單元。漸進(jìn)性損傷模型允許材料剛度的平滑退化，以使得它們適用于準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種情況，這對(duì)于研究漸進(jìn)成形的板材破裂是極大的優(yōu)勢(shì)。

2 材料參數(shù)和實(shí)驗(yàn)研究

2.1 鋁合金材料參數(shù)

本實(shí)驗(yàn)選用6061AL，鋁合金屬于可加工性好、焊接性、成形塑性和屈服強(qiáng)度的熱處理強(qiáng)化合金。退火后仍能保持一定的可操作性，表1是其材料參 數(shù)。

表1 6061AL材料參數(shù)

由朱浩等人的實(shí)驗(yàn)結(jié)果知AL6061的Johnson-Cook本構(gòu)模型為：A=250MPa，B=265.94 MPa，n=0.32，C=0.002，m=0，D1=0.299，D2=1.496 5，D3=3.32，D4=D5=0。

2.2 正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文選用刀具直徑、層間距、成形角、板料厚度、成形高度和制件尺寸作為6個(gè)試驗(yàn)因素，每個(gè)因素選取3個(gè)水平如表2所示，選取破裂高度目標(biāo)參數(shù)，設(shè)計(jì)6因素3水平的L18(36)正交試驗(yàn)，其試驗(yàn)方案及結(jié)果如表3所示，圖3為板料加工的工藝參 數(shù)示意圖。

圖3 工藝參數(shù)示意圖

表2 漸進(jìn)成形試驗(yàn)因素水平表

2.3 漸進(jìn)成形實(shí)驗(yàn)設(shè)備

漸進(jìn)成形設(shè)備是實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)成形過(guò)程的關(guān)鍵，由于漸進(jìn)成形力相對(duì)于傳統(tǒng)沖壓成形所需的成形力要小很多，這樣就使得該類(lèi)工藝的成形設(shè)備比較小巧，而且容易自主研發(fā)制造。本文采用自主研發(fā)的漸進(jìn)成形設(shè)備來(lái)

對(duì)本課題進(jìn)行研究，該設(shè)備為CNC六自由度數(shù)控漸進(jìn)成形設(shè)備，該機(jī)床在工作時(shí)，工作臺(tái)不會(huì)移動(dòng)，以并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)在XYZ方向的運(yùn)動(dòng)，各軸運(yùn)動(dòng)指令主要靠計(jì)算機(jī)數(shù)控加工模擬軟件傳輸數(shù)控加工代碼來(lái)實(shí)現(xiàn)，具體如圖4所示。

圖4 漸進(jìn)成形實(shí)驗(yàn)設(shè)備

3 主回歸方程的建立

在漸進(jìn)成形過(guò)程中，板料的破裂時(shí)常發(fā)生，而影響破裂的因素有很多，例如：刀具直徑、層間距、成形角、板料厚度、板料材質(zhì)、刀具運(yùn)動(dòng)軌跡、成形高度、刀具轉(zhuǎn)速和制件尺寸等。選取6個(gè)關(guān)鍵工藝參數(shù)因素來(lái)探索板材破裂深度：刀具直徑、層間距、成形角、板料厚度、成形高度和制件尺寸。表3為板材破裂的影響因素表。

表3 板料破裂的影響因素表

3.1 建立主回歸方程

對(duì)于上述18個(gè)工作件所選取的6個(gè)指標(biāo)分別依次確定為x1～x6，將賦予數(shù)據(jù)的矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。為了驗(yàn)證主成分回歸法對(duì)預(yù)測(cè)板料破裂高度具有可靠性，將前16個(gè)工作件的數(shù)據(jù)作為分析數(shù)據(jù)，將后17和18兩個(gè)工作件數(shù)據(jù)作為方程結(jié)果的證明。設(shè)x1～x6構(gòu)成的矩陣為矩陣A，如公式（10）。

第一步：使用SPSS統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件對(duì)式（10）作標(biāo)準(zhǔn)化處理，獲得標(biāo)準(zhǔn)化矩陣B，如式（11）。設(shè)～(矩陣B)為標(biāo)準(zhǔn)化處理的6個(gè)指標(biāo)。

第三步：再次運(yùn)用SPSS數(shù)據(jù)分析軟件對(duì)相關(guān)系數(shù)矩陣C進(jìn)行特征向量與特征值計(jì)算，設(shè)該矩陣為矩陣D，如式（13）。

第四步：確定主成分，如式（14）。

基于已知特征向量及特征值，計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率，如表4。

表4 主成分特征值和貢獻(xiàn)率

觀察表4可知，前4個(gè)主成分F1～F4特征值的累計(jì)貢獻(xiàn)率超過(guò)85%，達(dá)到99.341 6%，由上文可知，主成分分析的成立的標(biāo)準(zhǔn)(累計(jì)貢獻(xiàn)率＞85%)已滿足，取這4個(gè)主成分，建立線性組合如式（15）。

根據(jù)式（15），通過(guò)判斷主成分對(duì)應(yīng)的變量系數(shù)的絕對(duì)值的大小對(duì)比，來(lái)決定工藝參數(shù)因素對(duì)板材破裂高度的影響重要性。由此可知，x1、x2、x4和x5可以被看作F1的變量，即反映了刀具直徑，層間距，板料厚度和成形高度對(duì)板料破裂高度的影響；同理，x3可以被看作F3的變量，體現(xiàn)出成形角對(duì)板料破裂高度的影響；而制件尺寸對(duì)板料破裂高度的影響則需要通過(guò)觀察x6。表5為F1、F2、F3和F4的得分。取前4個(gè)主成分建立回歸方程（式（16））。

表5 主成分分布表

采用最小二乘估計(jì)可得式（17）。

將式（15）數(shù)據(jù)代入式（17）可得到式（18），式（18）即為原自變量的回歸方程系數(shù)；再把標(biāo)準(zhǔn)化之后的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成初始數(shù)據(jù)，表6為初始數(shù)據(jù)的回歸方程系數(shù)。解得線性回歸方程式如式（19）。

表6 原始數(shù)據(jù)回歸系數(shù)

3.2 回歸模型檢驗(yàn)分析

3.2.1 回歸顯著性檢驗(yàn)

假設(shè)H0線性關(guān)系不顯著，根據(jù)公式（20）計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量F，將回歸離差平方和(SSR)和剩余離差平方和(SSE)進(jìn)行比較，見(jiàn)式（20）；確定顯著性水平α，再通過(guò)分子1和分母n-2的自由度找出臨界值Fα，最后判斷F與Fα的大小，如果F＞Fα，則拒絕H0，反之接受H0。

根據(jù)步驟確定α=0.05，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F可通過(guò)MATLAB軟件計(jì)算出為42.453 8，則F＞Fα（拒絕假設(shè)H0），表示回歸方程顯著且回歸模型成立。

3.2.2 回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)

提出假設(shè)H0：β1=0（沒(méi)有線性關(guān)系）或者H0：β1≠0（有線性關(guān)系）；接著計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量t如式（21）。最后根據(jù)顯著性水平α判斷 |t|與tα/2的大小，如果|t|＞tα/2，表示拒絕H0，反之表示接受H0。

由上述檢驗(yàn)可知α=0.05，用MATLAB數(shù)據(jù)分析軟件得到的xi對(duì)y的線性作用結(jié)果見(jiàn)表7。由表7可知，顯著性都是0，因此xi對(duì)y的線性作用具有顯著性且成立。

表7 xi對(duì)y的線性作用

4 漸進(jìn)成形破裂高度

4.1 主成分分析回歸模型

根據(jù)以上回歸模型的檢驗(yàn)分析，已經(jīng)確定了回歸方程模型的準(zhǔn)確性。將最后需要驗(yàn)證工作件17與18的刀具（直徑）和板料（成形角、成形高度、厚度、制件尺寸、層間距）的量化指標(biāo)代入回歸方程，可以得到預(yù)測(cè)的板料破裂高度，將其與實(shí)際值相對(duì)比，相對(duì)誤差見(jiàn)表8。

表8 實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比

4.2 線性回歸對(duì)比

針對(duì)式（19）的驗(yàn)證，采取另一種方式：利用Minitab求出線性回歸方程進(jìn)行對(duì)比。將16組數(shù)據(jù)導(dǎo)入Minitab并回歸分析中使用逐步法可算出式（22）。

再將工作件17和18的參數(shù)代入可計(jì)算得到破裂值分別為-5.390 4 mm和1.352 7 mm?？梢钥闯鲈摲匠滩环洗藢?shí)際破裂值，并且方程中舍棄了成形角和板厚這兩個(gè)參數(shù)，故利用主成分回歸分析更符合實(shí)際。

4.3 結(jié)果分析

主成分分析的要領(lǐng)在于從數(shù)據(jù)中抽提到的主成份相當(dāng)于對(duì)于數(shù)據(jù)的一種濃縮，得到的主成份往往綜合了多個(gè)變量的信息，因此可以用于進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。破裂高度為板材破裂最低處和板材起始位置的距離。經(jīng)過(guò)測(cè)量，得到工作件17與工作件18的破裂高度分別為-11.165 5 mm與-10.151 3 mm，其應(yīng)力圖結(jié)果如圖5所示，圖6則顯示為兩工作件的破裂高度。又根據(jù)式（19）可計(jì)算出兩工作件預(yù)測(cè)的破裂高度分別為-10.753 0 mm和-10.815 0 mm，預(yù)測(cè)相對(duì)誤差都是10%之內(nèi)，分別為3.84%和6.14%。與Minitab回歸分析的預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)比，采用主成分回歸分析模型方法對(duì)工件的破裂高度具有更高精度的預(yù)測(cè)，可以更好地預(yù)測(cè)板材的破裂高度。

圖5 工作件17(左)和工作件18(右)破裂應(yīng)力圖

圖6 工作件17(上)和工作件18(下)破裂圖

5 結(jié)語(yǔ)

（1）本文使用ABAQUS仿真軟件針對(duì)鋁合金材料破裂的預(yù)測(cè)，采用Johnson-Cook本構(gòu)模型與Johnson-Cook損傷準(zhǔn)則，可以很好地描述鋁合金的失效應(yīng)變，應(yīng)用于漸進(jìn)成形破裂仿真中是可行的。

（2）影響漸進(jìn)成形板材破裂高度的工藝參數(shù)共6個(gè)，采用主成分分析的方法，選擇了前4個(gè)主成分分量用于回歸分析預(yù)測(cè)。它不但可以提高結(jié)果質(zhì)量和準(zhǔn)確度；還能使評(píng)價(jià)過(guò)程更簡(jiǎn)潔、合理；同時(shí)也可避免人為主觀因素造成的偏差，減少指標(biāo)選擇的工作量，從而得到更好的效果。

（3）通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可知工作件17與工作件18的破裂高度分別為-11.165 5 mm與-10.151 3 mm，基于16個(gè)工作件的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立的主成分回歸模型，對(duì)兩工作件破裂高度預(yù)測(cè)分別為-10.753 0 mm和-10.815 0 mm，預(yù)測(cè)相對(duì)誤差分別為3.84%和6.14%。