王孝勤 李芳芳

［摘 要］數(shù)學(xué)課程要體現(xiàn)“一致性”。小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域“數(shù)與運(yùn)算”的一致性主要體現(xiàn)為數(shù)概念的一致性和運(yùn)算本質(zhì)的一致性，而圖形與幾何領(lǐng)域中圖形認(rèn)識(shí)和測(cè)量的一致性主要體現(xiàn)在圖形的特征、圖形的周長(zhǎng)和面積的測(cè)量以及角的度量上。文章探討幫助學(xué)生把握每個(gè)領(lǐng)域知識(shí)的一致性，打通知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)并進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，使學(xué)生的學(xué)習(xí)從“碎片化”走向“結(jié)構(gòu)化”，進(jìn)而走向“整體化”。

［關(guān)鍵詞］一致性；數(shù)概念；數(shù)運(yùn)算；圖形的測(cè)量；結(jié)構(gòu)化

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）32-0081-03

“一致性”為核心素養(yǎng)落地提供了新的視角，它反映了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在第二學(xué)段提出“一致性”這一概念，之前是讓學(xué)生更多地感悟，在感悟的基礎(chǔ)上更好地理解，感受一致性存在于平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，而非只是一個(gè)陌生的概念，只要把握各領(lǐng)域的一致性，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將不再是一個(gè)個(gè)孤立的點(diǎn)，而是一張有聯(lián)系的關(guān)系網(wǎng)。但是，如果在一年級(jí)就向?qū)W生提及計(jì)數(shù)單位等抽象的概念，會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)是抽象的、不好理解的，進(jìn)而使學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出了關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性、一致性和階段性。那么，在小學(xué)階段“數(shù)”與“形”的教學(xué)中，“一致性”又該怎樣體現(xiàn)呢？

一、基于計(jì)數(shù)單位，理解“數(shù)與運(yùn)算”本質(zhì)的一致性

《課程標(biāo)準(zhǔn)》把“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”兩大板塊合并成“數(shù)與運(yùn)算”。小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識(shí)包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識(shí)，它們形式上雖有所不同，但都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加。而數(shù)的運(yùn)算一致性則包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的一致性以及加減乘除四則運(yùn)算的一致性，兩種類型的運(yùn)算本質(zhì)都是計(jì)數(shù)單位及計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

1.溝通關(guān)聯(lián)，感悟數(shù)概念的一致性

《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出了“初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)”。數(shù)概念本質(zhì)上的一致性主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都是對(duì)數(shù)量或者數(shù)量關(guān)系的抽象；另一方面，無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都可以從計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)。

（1）基于對(duì)數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的抽象

數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，不管是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，它們都是對(duì)數(shù)量的抽象。如在一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)字時(shí)，課本情境圖中氣球的個(gè)數(shù)可以用數(shù)字4來(lái)表示，教師順勢(shì)提問(wèn)：“4除了可以表示4個(gè)氣球，還可以表示什么？”此時(shí)學(xué)生發(fā)揮想象聯(lián)系生活，發(fā)現(xiàn)還可以表示4張桌子、4本書(shū)、4個(gè)面包、4朵花等，4的含義就在具體、直觀的學(xué)生熟悉的生活中抽象出來(lái)了。從具體到抽象，再到用抽象的概念去解釋具體的事物，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)概念的理解。小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程也與整數(shù)的認(rèn)識(shí)一樣，比如學(xué)習(xí)小數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)有0.4元、0.4米、0.4時(shí)等，雖然表示的意義有所不同，但都含有0.4。認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，可以在[25]米、[25]塊、[25]個(gè)中抽象出分?jǐn)?shù)[25]。這些都體現(xiàn)了數(shù)是對(duì)具體事物數(shù)量的抽象。

數(shù)是對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象，在數(shù)字后面加上一個(gè)“倍”字后，用來(lái)表示一個(gè)物體和另一個(gè)物體之間的倍數(shù)關(guān)系，即表示的是兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)它們之間是充滿聯(lián)系的。

因此，不管是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，它們表達(dá)的具體的含義可能會(huì)有所不同，但是它們都可以看成是對(duì)現(xiàn)實(shí)事物中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系的抽象。

（2）基于計(jì)數(shù)單位及計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的表達(dá)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》的教學(xué)建議中提出“在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時(shí)，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性”。也就是說(shuō)，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)其實(shí)都可以看成是計(jì)數(shù)單位的累加。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之后，可以設(shè)置“根據(jù)數(shù)字涂色”的活動(dòng)幫助學(xué)生理解三種數(shù)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)計(jì)數(shù)單位的價(jià)值、感悟數(shù)概念的一致性。

活動(dòng)及學(xué)生的作品如圖1所示。

學(xué)生表達(dá)自己的想法：75表示的是7個(gè)10和5個(gè)1，而0.75則表示7個(gè)0.1和5個(gè)0.01，它們的計(jì)數(shù)單位不同，但都在表示計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)；第三個(gè)數(shù)[34]的計(jì)數(shù)單位是[14]，圖形中是把一個(gè)正方形平均分成了4份，其中的一份就是[14]，陰影部分是這樣的3份，也就是3個(gè)[14]，它也是在表示計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。通過(guò)觀察比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不管是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，在表示數(shù)的含義時(shí)都是在表示計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

2.把握整體，感悟數(shù)運(yùn)算的一致性

《課程標(biāo)準(zhǔn)》第三學(xué)段的內(nèi)容要求中有“能進(jìn)行簡(jiǎn)單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和混合運(yùn)算，感悟運(yùn)算的一致性，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。

（1）加減法運(yùn)算的一致性

教學(xué)時(shí)，出示整數(shù)加法算式、小數(shù)加法算式、分?jǐn)?shù)加法算式，并讓學(xué)生完成“算一算”“比一比”“說(shuō)一說(shuō)”活動(dòng)。

如圖2所示是算式及學(xué)生的運(yùn)算過(guò)程。

交流時(shí)學(xué)生提出，整數(shù)和小數(shù)的加法都是把相同數(shù)位對(duì)齊再進(jìn)行計(jì)算，這樣相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能相加；雖然分?jǐn)?shù)的計(jì)算不需要列豎式，但是要先通分再計(jì)算，通分就是把分?jǐn)?shù)變成分母相同的數(shù)，這時(shí)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位就一樣了，本質(zhì)還是把相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加。

然后，教師出示如圖3所示的一組減法算式，讓學(xué)生體會(huì)減法算式中也存在這樣的規(guī)律。

經(jīng)過(guò)加減法算式的對(duì)比，學(xué)生已經(jīng)初步感受整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算的一致性，以及把相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加減。

（2）乘除法運(yùn)算的一致性

教師出示如圖4所示的練習(xí)，并提問(wèn)：“乘除法的運(yùn)算是否跟加減法的運(yùn)算具有相似的規(guī)律呢？”

學(xué)生回憶之前學(xué)習(xí)小數(shù)乘法時(shí)，發(fā)現(xiàn)課本中是把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法再計(jì)算，也就是把2.3×6轉(zhuǎn)化成23×6來(lái)計(jì)算，轉(zhuǎn)化后的23表示23個(gè)0.1，是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。因此，2.3×6可以看作23個(gè)0.1乘6個(gè)1，23和6相乘，0.1和1相乘，得到138個(gè)0.1，也就是13.8。而如果從計(jì)數(shù)單位的角度思考，23×6就是23個(gè)1乘6個(gè)1，因?yàn)?3和6都是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，而1和1都是計(jì)數(shù)單位，所以得到138個(gè)1，也就是138。因此，整數(shù)乘法和小數(shù)乘法都是把計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位相乘，把計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘，最后得到正確的得數(shù)。

學(xué)生用同樣的思路繼續(xù)研究分?jǐn)?shù)的乘法，發(fā)現(xiàn)在 [12]×[35] 這道分?jǐn)?shù)算式中，[12]里有1個(gè)[12]，[35]里有3個(gè)[15]，用1乘3得3，[12]乘[15]得[110]，最后再用3乘[110]得[310]。因此，乘法的計(jì)算也跟計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)有關(guān)，只是相對(duì)于加減法而言，計(jì)數(shù)單位也參與了運(yùn)算。

除法是乘法的逆運(yùn)算，根據(jù)上述結(jié)論，除法是不是也是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除呢？學(xué)生結(jié)合3道算式驗(yàn)證了自己的猜想。如整數(shù)除法138÷6可以看成138個(gè)1除以6個(gè)1，得23個(gè)1，也就是23。再如，小數(shù)除法13.8÷2.3可以看成（138×0.1）÷（23×0.1），[310] ÷ [35 ]可以看成（3×[110]）÷（3×[15]）。因此，不管是乘法還是除法，都是把計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位相乘除，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘除。

還可以從算理和算法中尋找一致性。如計(jì)算428÷4時(shí)，百位上的4除以4夠除，商1，十位上的2除以4不夠除，就把2個(gè)10變成20個(gè)1，再和8個(gè)1合起來(lái)，即用28個(gè)1除以4，得7個(gè)1。而計(jì)算4.2÷4時(shí)，先用4個(gè)1除以4得1個(gè)1，2個(gè)0.1除以4不夠除，可變成20個(gè)0.01，用20個(gè)0.01除以4得5個(gè)0.01，算得商1.05。兩道題目的相同之處都是當(dāng)除到這一位不夠除時(shí)就把計(jì)數(shù)單位細(xì)分變成更小的計(jì)數(shù)單位繼續(xù)除。還有，[23] ÷ [35 ]其實(shí)就是把[23]、[35]的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行細(xì)分，分成以[115 ]作分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)，得[23] ÷ [35] =（2×5×[115]）÷（3×3×[115]）。學(xué)生經(jīng)歷除法運(yùn)算本質(zhì)的探究過(guò)程后，深刻感悟整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的除法都是把大計(jì)數(shù)單位細(xì)分為小計(jì)數(shù)單位再進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而從“會(huì)算”走向了“會(huì)思”。

二、基于度量單位，理解“圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量”本質(zhì)的一致性

圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量也存在著一致性。圖形的認(rèn)識(shí)主要是對(duì)圖形的抽象，學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際物體抽象出幾何圖形的過(guò)程，認(rèn)識(shí)圖形的特征，感悟點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系。圖形的測(cè)量重點(diǎn)是讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位的過(guò)程，感受統(tǒng)一度量單位的意義，基于度量單位理解圖形長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)、面積、體積等，并在此過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)度量方法，逐步形成量感和推理意識(shí)。

1.在特征探索中，感悟圖形認(rèn)識(shí)的一致性

小學(xué)階段認(rèn)識(shí)的平面圖形有長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、角、圓，立體圖形有正方體、長(zhǎng)方體、圓柱和圓錐。在認(rèn)知長(zhǎng)方形和正方形時(shí)，課本中指出長(zhǎng)方形有4條邊、對(duì)邊相等、4個(gè)角都是直角，正方形4條邊都相等、4個(gè)角都是直角，分別從邊和角兩個(gè)維度來(lái)進(jìn)行描述。后期在學(xué)習(xí)三角形、平行四邊形、梯形和角以及圓時(shí)，也都是從點(diǎn)、線、面（或者頂點(diǎn)、邊、角）這三個(gè)方面來(lái)探索圖形基本特征的。在刻畫(huà)圖形大小時(shí)，學(xué)生還認(rèn)識(shí)了圖形的“高”（圓的半徑相當(dāng)于“高”），高在計(jì)算面積和體積時(shí)發(fā)揮著重要的作用。因此，看似不相關(guān)的圖形，其實(shí)都有一定的關(guān)聯(lián)。

2.在單位累加中，感悟圖形測(cè)量的一致性

圖形的測(cè)量其實(shí)就是圖形中度量單位的累加。如在六年級(jí)復(fù)習(xí)課中，教師可以出示根據(jù)面積、體積公式畫(huà)圖的練習(xí)，讓學(xué)生感悟圖形測(cè)量的一致性。

練習(xí)及學(xué)生的作品如圖5所示。

學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)×寬，知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5，寬是4，畫(huà)出長(zhǎng)方形；在推導(dǎo)長(zhǎng)方形面積時(shí)，知道該長(zhǎng)方形是用一個(gè)個(gè)小正方形拼出來(lái)的，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示一共有多少列，長(zhǎng)方形的寬表示一共有多少行，行數(shù)乘列數(shù)得到小正方形的個(gè)數(shù)，即長(zhǎng)方形的面積，而每一個(gè)小正方形就是一個(gè)面積單位，一個(gè)個(gè)面積單位累加成了面積，感知面積是由面積單位累加而來(lái)的。在根據(jù)體積公式畫(huà)長(zhǎng)方體時(shí)也是一樣的，由計(jì)算公式5×4×3得到長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是5，寬是4，高是3，也就是長(zhǎng)方體一共有3層，每層有5×4個(gè)小正方體，每一個(gè)小正方體也正是長(zhǎng)方體的體積單位。

除了面積與體積的度量，圖形的測(cè)量還包括周長(zhǎng)、線段以及角的度量等。圖形的度量就是看圖形中包含了多少個(gè)度量單位，即相應(yīng)度量單位的累加。

當(dāng)我們厘清了數(shù)學(xué)的一致性后，就可以從紛繁復(fù)雜、迷霧重重的數(shù)、算理、算法、運(yùn)算、度量等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中找到一條藤蔓，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成與發(fā)展的過(guò)程，使其不斷接近數(shù)學(xué)本質(zhì)，慢慢形成數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，真正讓“一致性”融入學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 許衛(wèi)兵.小學(xué)數(shù)學(xué)整體建構(gòu)教學(xué)[M].上海：上海教育出版社，2021.

[3] 王巖，逄亞楠，王均杰.單元整合重關(guān)聯(lián) 主題統(tǒng)整落素養(yǎng)：大概念下“小數(shù)乘、除法”單元設(shè)計(jì)與實(shí)踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（Z3）：13-17.

[4] 史葉鋒.主題式學(xué)習(xí)：從課堂走向未來(lái)[J].江蘇教育研究，2016（14）：55-58.

[5] 李勤.圖形與幾何：主題統(tǒng)整式教學(xué)實(shí)踐論[M].南京：南京出版社，2021.

【本文系2022年安徽省教育科學(xué)規(guī)劃課題“學(xué)習(xí)共同體視域下小學(xué)生表達(dá)素養(yǎng)提升的實(shí)證研究”（項(xiàng)目編號(hào)：JK22029）階段研究成果。】

（責(zé)編 楊偲培）