張浩，康宇馳，顧文娟，張家豪，許嘉輝

（650093 云南省 昆明市 昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院）

0 引言

刷式密封是具有優(yōu)良密封性能的接觸式動(dòng)密封，是航空發(fā)動(dòng)機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械的關(guān)鍵部件。近年來(lái)，隨著航空發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)要求的提高，航空發(fā)動(dòng)機(jī)壓力、轉(zhuǎn)速等慢慢向高參數(shù)方向發(fā)展。刷絲的形變會(huì)造成泄露損失[1]、滯后效應(yīng)[2]、刷絲疲勞斷裂[3]，直接影響到刷式密封的密封性和使用壽命，所以對(duì)于刷絲的形變研究有著重大的意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于刷絲的形變進(jìn)行了大量的研究。Modi[4]采用材料力學(xué)中的懸臂梁模型，提出單根刷絲自由端與轉(zhuǎn)子面接觸力的計(jì)算方法；黃首清等[5]基于力矩平衡和線性疊加原理，提出氣流力引起刷絲尖端力、轉(zhuǎn)矩的定量計(jì)算方法；孫丹等[6]在前人的基礎(chǔ)上延用懸臂梁理論建立了刷絲的力學(xué)理論模型，計(jì)算了刷絲在氣流力作用下的變形。

現(xiàn)有研究對(duì)于刷絲的力學(xué)分析多基于材料力學(xué)中懸臂梁的微小變形理論，對(duì)于大變形的研究相對(duì)較少。刷絲實(shí)際工作中自由端會(huì)產(chǎn)生很大的撓度，這種撓度稱為刷絲的大變形。對(duì)于大變形的研究多數(shù)是以懸臂梁為結(jié)構(gòu)件，大多數(shù)的情況是對(duì)于尖端載荷下的情況進(jìn)行研究分析。Bishop 等[7]提供了在尖端垂直載荷下的懸臂梁的幾何非線性大變形的經(jīng)典數(shù)學(xué)解決方案；Wang[8]提出了分別用于梁的尖端和均勻分布載荷下的非線性彎曲的數(shù)值方法。

基于大變形理論對(duì)無(wú)壓差下刷絲形變進(jìn)行研究，本文將刷絲與轉(zhuǎn)子接觸發(fā)生的形變類似看做斜彎曲。在已發(fā)表的刷式密封力學(xué)特性研究模型中，一個(gè)共同的特點(diǎn)是刷絲的形變分析是在2 個(gè)正交平面單獨(dú)進(jìn)行的，并且最后采用迭加原理進(jìn)行求解。

本文是對(duì)無(wú)壓差下的刷式密封的刷絲進(jìn)行力學(xué)特性研究。首先對(duì)無(wú)壓差下的刷絲進(jìn)行受力分析，分別采用材料力學(xué)中的線性梁非線性梁理論（大小變形理論）對(duì)刷絲的形變進(jìn)行求解；然后使用ABAQUS 軟件建立無(wú)壓差下的刷式密封遲滯特性模型，與前人實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證數(shù)值模型的正確性。建立不同參數(shù)的刷式密封結(jié)構(gòu)，對(duì)不同情況下的數(shù)值模型與解析解的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。本文的研究對(duì)揭示在無(wú)壓差工作下的刷絲運(yùn)動(dòng)具有一定意義，為提高刷式密封泄漏率以及使用壽命，改善刷式密封結(jié)構(gòu)提供了理論依據(jù)。

1 刷絲形變的理論模型

圖1 為刷絲在轉(zhuǎn)子作用下（XOZ）的受力分析。由于刷絲在徑向尺寸遠(yuǎn)小于軸向尺寸，因此將刷絲簡(jiǎn)化為梁?jiǎn)栴}進(jìn)行處理。刷絲在 A 點(diǎn)由焊接等方法固定，B 端為自由端，因此將刷絲視為懸臂梁。本文所研究的形變均為梁中性軸的形變，忽略半徑對(duì)形變的影響，這也是材料力學(xué)中計(jì)算懸臂梁彎曲問(wèn)題的常用方法。

圖1 刷絲受力分析圖（XOZ）平面Fig.1 Bristle force analysis diagram (XOZ) plane

圖1 中刷絲的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，原點(diǎn)坐標(biāo)位于刷絲固定端A 點(diǎn)，沿著刷絲的軸向方向?yàn)閄 軸，沿著刷絲的徑向方向?yàn)閆 軸。AB 是刷絲在初始時(shí)位置的形貌，JQ 是初始位置時(shí)的轉(zhuǎn)子。AB'是與轉(zhuǎn)子發(fā)生接觸后發(fā)生形變的刷絲面貌，為平面內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線，撓曲線上X 的任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)用yd表示稱為撓度。J'Q'是當(dāng)轉(zhuǎn)子發(fā)生偏心運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的位置，δP是轉(zhuǎn)子偏心運(yùn)動(dòng)的位移，θ1是刷絲的傾角。FB是刷絲在自由端受到轉(zhuǎn)子的接觸力，F(xiàn)Bx和FBz是FB在X 方向和Z 方向的投影分量。

材料力學(xué)中撓曲線的近似微分方程為

對(duì)式（1）進(jìn)行積分，可得刷絲小變形自由端的撓度：

通過(guò)三角函數(shù)關(guān)系可得FB與δp之間的關(guān)系：

對(duì)于小變形運(yùn)用撓曲線的近似微分方程對(duì)刷絲形變進(jìn)行求解，得到刷絲的撓度方程為

對(duì)式（5）進(jìn)行求解，得通解為

對(duì)式（6）求1 階微分可得：

式（7）中，D11和D12為未知常數(shù)，這2 個(gè)未知常數(shù)可以通過(guò)邊界條件求解。

式（8）中，F(xiàn)Bz=FBsinθ1，F(xiàn)Bx=FBcosθ1，從而可以求出D11，D12。

將求解結(jié)果代入式（6）可以得到刷絲形變。

在材料力學(xué)中，計(jì)算懸臂梁的大變形采用精確解：

對(duì)式（9）進(jìn)行數(shù)學(xué)求解可以得：

式（10）為刷絲在徑向載荷FBz下發(fā)生形變的撓度。

對(duì)于刷絲在軸向FBx下發(fā)生的形變進(jìn)行求解分析。假設(shè)刷絲是理想直線，當(dāng)軸向載荷FBx小于刷絲臨界載荷時(shí)，刷絲是穩(wěn)定的；當(dāng)軸向載荷FBx大于刷絲臨界載荷時(shí)，刷絲失穩(wěn)。對(duì)刷絲在軸向載荷FBx下的臨界載荷進(jìn)行分析求解。

壓桿穩(wěn)定的臨界壓力的歐拉公式[9]：

其中μ為壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)，刷絲的約束條件是一端固定、另一端為鉸支（自由端為固定端，與轉(zhuǎn)子接觸的自由端類似于鉸支），μ≈0.7，得

對(duì)于刷絲，在轉(zhuǎn)子的作用下對(duì)其徑向產(chǎn)生的干擾力FBx存在2 種情況，第1 種是刷絲穩(wěn)定：

第2 種為刷絲失穩(wěn)：

結(jié)合刷絲實(shí)際工況，分析第2 種刷絲大變形的情況。刷絲在徑向載荷FBx作用下發(fā)生的大變形為

因?yàn)樵诖髶隙鹊那闆r下，刷絲尖端力無(wú)法準(zhǔn)確用數(shù)學(xué)算式表達(dá)出來(lái)，這里采用形變的微小形變公式進(jìn)行基本的判斷。將FBx=FBcosθ1，以及式（3）、式（12）代入式（15）可得：

已知θ1是刷絲的傾角，此處π ≈3.14，所以

綜上，在實(shí)際工況中只存在第1 種情況，在徑向載荷FBx的作用下刷絲在徑向產(chǎn)生微小變形。

圖2 所示為刷絲在徑向載荷FBx的受力分析，圖2 中：L 為刷絲長(zhǎng)度，yx為刷絲在徑向載荷FBx下的撓度。

圖2 刷絲徑向載荷FBx 下的受力分析Fig.2 Bristle force analysis diagram under radial load FBx

若只取壓力FBx的絕對(duì)值，則當(dāng)yx為正時(shí)，M 為負(fù)；yx為負(fù)時(shí)，M為正。即M 與yx的正負(fù)號(hào)相反，所以

將式（18）代入式（1）可得：

式（21）中A，B 為積分常數(shù)。刷絲在此時(shí)的邊界條件為

代入邊界條件，求解式（21）可得：

式（24）中的A 為刷絲在徑向載荷下的中點(diǎn)坐標(biāo)，可以通過(guò)數(shù)值模型進(jìn)行確認(rèn)。在徑向載荷FBx作用下的撓度為yx，刷絲在自由端在轉(zhuǎn)子的作用力下總撓度yd為

即刷絲在FB作用下?lián)隙鹊慕馕鼋鉃?/p>

2 數(shù)值模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證

本文使用Demiroglu 等[10]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證數(shù)值模型的準(zhǔn)確性，圖3 是實(shí)驗(yàn)示意圖。用一個(gè)載荷塊代替轉(zhuǎn)子，載荷塊的上下運(yùn)動(dòng)代替轉(zhuǎn)子的偏心運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)并未在實(shí)驗(yàn)中考慮。

圖3 實(shí)驗(yàn)測(cè)量刷絲束轉(zhuǎn)子接觸力示意圖Fig.3 Schematic diagram of experimental measurement of contact force between bristle pack and rotor

圖4 刷絲與載荷塊示意圖Fig.4 Schematic diagram of contact between bristle pack and load block

本文采用如圖5 所示的幾何模型，該模型包含1 個(gè)背板，1 個(gè)轉(zhuǎn)子和22 根刷絲。模型需要確定的幾何參數(shù)如表1 所示。22 根刷絲分布成3 排，刷絲以叉排形式排列。該模型單元選取與邊界條件參考了Duran[11]等人提出的模型。

圖5 ABAQUS 幾何模型圖Fig.5 ABAQUS numerical model geometry schematic

表1 刷式密封模型主要幾何參數(shù)Tab.1 Main parameters of brush seal model

模型采用三維實(shí)體單元C3D8R。刷絲在轉(zhuǎn)子的接觸力作用發(fā)生了彎曲，可以將刷絲看作為Euler-Bernoulli 梁，本文采用B31 單元構(gòu)建刷絲。對(duì)于邊界條件的選取也與Duran 等的研究保持一致。模型中對(duì)接觸的設(shè)置采用General contact 方式定義。模型中刷絲之間接觸用梁-梁接觸方式（edge-to-edge contact）構(gòu)建，刷絲與背板之間的接觸由梁-面接觸方式構(gòu)建，刷絲與轉(zhuǎn)子之間的接觸由點(diǎn)-面接觸方式構(gòu)建。刷絲固定端受到全約束，模仿實(shí)際工況中刷絲束在固定端焊接在一起。將背板看做為剛體，并取用一個(gè)參考點(diǎn)，由于背板在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持靜止，那么此參考點(diǎn)受到全約束。實(shí)際工況中的轉(zhuǎn)子偏心運(yùn)動(dòng)由載荷塊的上下運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)。為了方便比較，刷絲采用haynes25 合金材料，密度為9 130 kg/m3，彈性模量213.7 GPa，泊松比為0.29。背板和轉(zhuǎn)子均為剛體材料。

圖6 對(duì)比了數(shù)值計(jì)算單根刷絲接觸力結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)量的單根刷絲接觸力的結(jié)果。從圖6 可以發(fā)現(xiàn)，在轉(zhuǎn)子的上升階段，數(shù)值模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定的差異，并且隨著轉(zhuǎn)子位移量的增加，差距逐漸增加。在轉(zhuǎn)子的上移階段不確定的摩擦系數(shù)是導(dǎo)致這種差距的原因之一。除此之外，實(shí)際工況相關(guān)的設(shè)計(jì)參數(shù)不能確定，這也造成了數(shù)字結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差距。轉(zhuǎn)子下降階段，可以看出誤差比較大，這是因?yàn)樵陟o態(tài)數(shù)值計(jì)算中，有限元軟件將分析步分解成單獨(dú)的子步驟，忽略了慣性對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的影響。陳春行等人的數(shù)值模擬結(jié)果與該實(shí)驗(yàn)結(jié)果也存在類似的差距。轉(zhuǎn)子上移階段，數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果差距較小，足以說(shuō)明數(shù)值模型的準(zhǔn)確性。

圖6 數(shù)值模擬單根刷絲接觸力和實(shí)驗(yàn)單根刷絲接觸力[12]對(duì)比Fig.6 Comparison of numerical simulation of single bristle contact force and experimental single bristle contact force[12]

3 數(shù)值模擬結(jié)果與解析式對(duì)比分析

為研究解析解的準(zhǔn)確性，本文通過(guò)建立不同的數(shù)值模型進(jìn)行對(duì)比分析，幾何參數(shù)如表2 所示。按照幾何分類，可以將幾何模型分成3 類。幾何模型1、2 有相同的刷絲傾角θ和刷絲直徑d，不同的刷絲長(zhǎng)度L；幾何模型3、4 有相同的刷絲長(zhǎng)度L 和刷絲直徑d，不同的刷絲傾角θ；幾何模型5、6 用相同的刷絲長(zhǎng)度L和刷絲傾角θ，不同的刷絲直徑d。

表2 ABAQUS 數(shù)值模型幾何參數(shù)Tab.2 Geometry parameters of ABAQUS numerical models

幾何模型1 中，刷絲的長(zhǎng)度L=12 mm，直徑d=0.13 mm,刷絲傾角θ1=45°。圖7 對(duì)比了此模型下的小變形公式（6）以及大變形公式（26）的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果。圖7 可以明顯發(fā)現(xiàn)，刷絲從固定端到6.8 mm 位置，小變形公式（6）的求解結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。從6.8 mm 到自由端，小變形公式（6）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果誤差較大，大變形公式（26）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。

圖7 模型1 L=12 mm，d=0.13 mm，θ1=45°Fig.7 Model 1 L=12 mm,d=0.13 mm and θ1=45°

模型2，刷絲長(zhǎng)度L=13 mm，直徑d=0.13 mm，刷絲傾角θ1=45°。圖8 對(duì)比了式（6）及式（26）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果。由圖8 可見(jiàn)，刷絲從固定端到7.6 mm 位置，式（6）求解結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。從7.6 mm 到自由端，式（6）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果誤差較大，式（26）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。

圖8 模型2 L=13 mm，d=0.13 mm，θ1=45°Fig.8 Model 2 L=13 mm,d=0.13 mm and θ1=45°

模型3，刷絲長(zhǎng)度L=12.5 mm，直徑d=0.13 mm，刷絲傾角θ1=35°。圖9 對(duì)比了式（6）及式（26）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果。由圖9 可見(jiàn)，刷絲從固定端到7.226 56 mm 位置，式（6）的求解結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。從7.226 56 mm 到自由端式（6）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果誤差較大，式（26）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。

圖9 模型2 L=12.5 mm，d=0.13 mm，θ1=35°Fig.9 Model 2 L=12.5 mm,d=0.13 mm and θ1=35°

模型4，刷絲長(zhǎng)度L=12.5 mm，直徑d=0.13 mm,刷絲傾角θ1=40°。圖10 對(duì)比了式（6）及式（26）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果。由圖10 可見(jiàn)，刷絲從固定端到7.226 56 mm 位置，式（6）的求解結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。從7.226 56 mm 到自由端，式（6）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果誤差較大，式（26）計(jì)算結(jié)果與是數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。

圖10 模型4 L=12.5 mm，d=0.13 mm，θ1=40°Fig.10 Model 4 L=12.5 mm,d=0.13 mm and θ1=40°

模型5，刷絲長(zhǎng)度L=12.5 mm，直徑d=0.136 mm，刷絲傾角θ1=45°。圖11 對(duì)比了式（6）及式（26）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果。由圖11 可見(jiàn)，刷絲從固定端到7.226 56 mm 位置，式（6）的求解結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。從7.226 56 mm 到自由端，式（6）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果誤差較大，式（26）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。

圖11 模型5 L=12.5 mm，d=0.136 mm，θ1=45°Fig.11 Model 5 L=12.5 mm,d=0.136 mm and θ1=45°

模型6，刷絲長(zhǎng)度L=12.5 mm，直徑d=0.142 mm，刷絲傾角θ1=45°。圖12 對(duì)比了式（6）及式（26）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果。由圖12 可見(jiàn)，刷絲從固定端到7.226 56 mm 位置，式（6）的求解結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。從7.226 56 mm 到自由端，式（6）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果誤差較大，式（26）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果呈高度一致性。

圖12 模型6 L=12.5 mm，d=0.142 mm，θ1=45°Fig.12 Model 6 L=12.5 mm,d=0.142 mm and θ1=45°

4 總結(jié)

本文研究了無(wú)壓差下刷式密封刷絲的力學(xué)特性。對(duì)無(wú)壓差工作下的刷式密封的刷絲與轉(zhuǎn)子接觸作用下的受力情況進(jìn)行力學(xué)分析，并采用用材料力學(xué)中的線性和非線性梁理論進(jìn)行求解。采用商用軟件ABAQUS 構(gòu)建3 排22 根刷絲模型，通過(guò)構(gòu)建不同的幾何模型分析比較數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模型的計(jì)算結(jié)果。主要結(jié)論如下：

（1）本文所構(gòu)建的無(wú)壓差下的3 排22 根刷式密封結(jié)構(gòu)中單根刷毛的數(shù)值模擬結(jié)果與前人實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差不大，驗(yàn)證了數(shù)值模型的正確性。

（2）采用材料力學(xué)中的懸臂梁理論以及數(shù)學(xué)方法，求解出軸向載荷下的刷絲撓度方程。結(jié)合刷絲實(shí)際工況，對(duì)刷絲軸向載荷進(jìn)行對(duì)比分析。刷絲的軸向載荷不得超過(guò)刷絲的受力極限。因此刷絲在軸向載荷作用下的變形為微小變形。

（3）對(duì)比分析6 組幾何模型下的式（6）、式（26）以及ABAQUS 數(shù)值模擬結(jié)果。從固定端到58%位置，線性理論公式（6）求解結(jié)果與ABAQUS 數(shù)值模擬結(jié)果高度一致，非線性理論公式（26）從58%位置到自由端與ABAQUS數(shù)值模擬結(jié)果高度一致。