廖正龔，任淵，畢井章

（南京艦載雷達(dá)研究所，江蘇 南京 210000）

0 引言

多輸入多輸出（multiple input multiple output，MIMO）雷達(dá)采用低增益寬波束同時(shí)照射進(jìn)行探測(cè)，因此具有較強(qiáng)的抗干擾和多目標(biāo)探測(cè)與跟蹤能力［1-2］。其優(yōu)良特性歸功于它采用波形分集的收發(fā)處理方式。而正交波形是獲得MIMO 雷達(dá)分集增益的重要前提。因此，正交波形集的設(shè)計(jì)和優(yōu)化對(duì)MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)具有重要意義。

相位編碼信號(hào)因具有較高對(duì)冗余度和圖釘狀的模糊函數(shù)而廣泛運(yùn)用于MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)。文獻(xiàn)［3］綜合了模擬退火算法和傳統(tǒng)迭代選擇算法，用于尋找一組適用于正交組網(wǎng)雷達(dá)的正交多相碼集；文獻(xiàn)［4］將遺傳算法運(yùn)用于多相碼的優(yōu)化，設(shè)計(jì)出適用于MIMO 雷達(dá)的正交多相碼集；文獻(xiàn)［5］將蟻群算法改進(jìn)并運(yùn)用于MIMO 雷達(dá)多相碼集的優(yōu)化，能夠在相對(duì)原算法較短的時(shí)間內(nèi)獲MIMO 雷達(dá)正交四相碼集，但自相關(guān)性能略遜于遺傳算法的所得碼集。上述文獻(xiàn)討論的都是常規(guī)單載頻子脈沖相位編碼波形，波形帶寬是子脈沖時(shí)寬的倒數(shù)，受實(shí)際點(diǎn)路元器件限制，信號(hào)帶寬有限，限制了目標(biāo)距離分辨率。文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)了一種適用于MIMO 雷達(dá)的正交頻分線性調(diào)頻（OFD-LFM）信號(hào)集，但波形單一，適用范圍有限；文獻(xiàn)［7］構(gòu)建了一種適用于MIMO 雷達(dá)的脈內(nèi)線性調(diào)頻、脈間相位編碼（LFM-PC）的混合正交波形，使其具有大時(shí)寬帶寬積，但該信號(hào)的模糊函數(shù)有較大的“柵瓣”，總體呈“釘床狀”；文獻(xiàn)［8-10］對(duì)LFM-PC 信號(hào)進(jìn)行了優(yōu)化，但柵瓣問(wèn)題依舊存在。

在本文中，首先針對(duì)以上波形的不足，提出了一種基于換矩陣時(shí)頻分布的頻率-相位混合編碼波形，其構(gòu)型為脈內(nèi)線性調(diào)頻、脈間相位編碼和置換序列頻率編碼混合調(diào)制（perm-LFM-PC，PLP）波形，相比于單載頻子脈沖相位編碼信號(hào)，該波形信號(hào)的距離和速度分辨率較高，且該波形的模糊函數(shù)無(wú)“柵瓣”現(xiàn)象。然后，通過(guò)對(duì)PLP 信號(hào)集的分析，建立了置換序列調(diào)頻編碼和相位編碼雙變量的非線性優(yōu)化模型。最后，由于上述文獻(xiàn)提到的算法只對(duì)單一相位變量序列進(jìn)行優(yōu)化，為此，提出了一種適用于多種變量條件尋優(yōu)的多種群優(yōu)化遺傳算法來(lái)求解該優(yōu)化問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，PLP 波形具有上述提到的優(yōu)良性質(zhì)，通過(guò)多種群優(yōu)化算法優(yōu)化后具有良好的相關(guān)特性，性能優(yōu)于文獻(xiàn)［3-7，11-13］。

1 信號(hào)模型的建立與模糊函數(shù)分析

1.1 PLP 信號(hào)模型的建立

假設(shè)MIMO 雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的編碼長(zhǎng)度為M，置換矩陣頻率編碼信號(hào)時(shí)間和頻率之間的關(guān)系可以用M階置換矩陣AM×M=(aij)（aij=0或1，為矩陣第i行j列的元素）來(lái)表達(dá)，每個(gè)頻率編碼只出現(xiàn)一次、持續(xù)的時(shí)間都相同 。將置換矩陣AM×M的第m(m∈{1，2，…，M})列非零元素對(duì)應(yīng)的列坐標(biāo)記為am，則該置換矩陣對(duì)應(yīng)的置換序列可記為{am}；記Δf為單位置換序列調(diào)頻編碼的調(diào)頻大小，fm為經(jīng)置換序列頻率編碼am調(diào)制后頻率，則有fm=am·Δf。在置換序列頻率編碼調(diào)頻子脈沖信號(hào)上調(diào)制LFM 信號(hào)和相位編碼信號(hào)，得到目標(biāo)波形，波形結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 PLP 波形結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 PLP waveform structure

設(shè)載頻為f0，則置換序列調(diào)頻信號(hào)的第m個(gè)子脈沖信號(hào)的表達(dá)式為

式中：tb為子脈沖寬度。記uPerm(t)為調(diào)頻信號(hào)子脈沖的復(fù)包絡(luò)，則有

偽碼調(diào)相信號(hào)的復(fù)包絡(luò)函數(shù)為

即偽碼調(diào)相信號(hào)的采樣函數(shù)uPC(t)為

復(fù)合調(diào)制信號(hào)uPerm-PC(t)為置換序列調(diào)頻子脈沖信號(hào)uPerm(t)和偽碼調(diào)相信號(hào)uPC(t)在時(shí)域上的卷積，即

對(duì)于每個(gè)子脈沖，都進(jìn)行線性調(diào)頻，最終得到目標(biāo)信號(hào)

式中：μ=Δf/tb，為L(zhǎng)FM 信號(hào)的調(diào)頻斜率。

1.2 PLP 信號(hào)模糊函數(shù)分析

設(shè)χPerm(τ，fd)為uPerm(t)的模糊函數(shù)，則有

式中：χv(τ，fd)為矩形脈沖包絡(luò)的模糊函數(shù)，

設(shè)χPC(τ，fd)為uPC(t)的模糊函數(shù)，則有

利用模糊函數(shù)的卷積性質(zhì)，可得PLP 信號(hào)的模糊函數(shù)為

取相位編碼碼長(zhǎng)M=40，子脈沖Δf=0.1 MHz，采樣率160 MHz，子脈沖寬度tb=1 μs，模糊圖像如圖2 所示。相比于文獻(xiàn)［6］的LFM-PC 模糊函數(shù)，仿真圖2 表明，PLP 波形模糊函數(shù)圖沒(méi)有柵瓣，總體呈現(xiàn)圖釘型，主瓣高而尖，旁瓣低而平，距離和速度分辨率較高［14-16］。

圖2 PLP 信號(hào)模糊函數(shù)圖Fig.2 Fuzzy function of PLP signal

令fd=0，式（12）為距離模糊函數(shù)，也即自相關(guān)函數(shù)

根據(jù)卷積和傅里葉變換的性質(zhì)分析式（14）可知，設(shè)Bb為子脈沖的帶寬，用Δτ表示PLP 信號(hào)的距離分辨率，則有

這表明PLP 波形的距離分辨率與子脈沖時(shí)寬無(wú)關(guān)，僅由子脈沖的調(diào)頻帶寬所決定，這樣在工程上容易實(shí)現(xiàn)寬頻帶脈壓波形。

速度（多普勒）模糊函數(shù)為

式中：C為常數(shù)；式（16）化簡(jiǎn)過(guò)程利用了傅里葉變換的頻域卷積定理，即式（16）第2 行對(duì)應(yīng)的變換域?yàn)?個(gè)矩形波的乘積；由式（16）可知，PLP 波形的速度分辨率Δfd為

2 PLP 正交波形集優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 PLP 波形集模型的建立

假設(shè)正交PLP 波形集包含N個(gè)信號(hào)組成，每個(gè)信號(hào)包含M個(gè)經(jīng)過(guò)置換序列頻率編碼和相位編碼調(diào)制的LFM 子脈沖，則信號(hào)集S可表示為

式中：∈{1，2，…，M}，且每行的M個(gè)元素互不相同，有且只有出現(xiàn)一次。

子集個(gè)數(shù)為N、碼長(zhǎng)為M、相位數(shù)L的多相碼集P，可以用以下N×M相位矩陣表明為

式中：第n行為信號(hào)sn(t)的多相序列，矩陣中的所有元素只能從式（20）中的相集中選取。

PLP 波形集第n個(gè)波形sn的自相關(guān)函數(shù)為

式中：χPLP(τ，0)在式（14）已給出。下面將推導(dǎo)PLP波形的互模糊函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。

設(shè)χPerm，p，q(τ，fd) 為矩形子脈沖uPerm，p(t) 和uPerm，q(t)的互模糊函數(shù)p≠q；p，q∈{1，2，…，N}，由互模糊函數(shù)定義得

2 個(gè)PLP 波形的相位編碼部分的互模糊函數(shù)可表示為

根據(jù)自模糊函數(shù)和互模糊函數(shù)定義可知，相同波形的自模糊函數(shù)等于互模糊函數(shù)，因此子脈沖LFM 波形的自、互相關(guān)函數(shù)相同，即

設(shè)sp(t)，sq(t)為PLP 波形集中的2 個(gè)波形，它們的互模糊函數(shù)可表示為

令fd=0，即可得sp(t)和sq(t)的互相關(guān)函數(shù)為

理想正交信號(hào)的非周期相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)函數(shù)為0，MIMO 雷達(dá)信號(hào)集要求具有良好的相關(guān)性能，將自相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣和互相關(guān)峰值的總和作為代價(jià)函數(shù)，信號(hào)集優(yōu)化問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為代價(jià)函數(shù)最小化問(wèn)題。代價(jià)函數(shù)如下：

式中：A(sn，τ)由式（14），（22）給出；C(sp，sq，τ)由式（23）～（27）給出；ω1，ω2為代價(jià)函數(shù)E(S)的加權(quán)系數(shù)。

2.2 基于改進(jìn)多種群遺傳算法的PLP 正交波形集優(yōu)化

觀察自相關(guān)函數(shù)式（14），（22）和互相關(guān)函數(shù)式（23）～（27）可知，PLP 信號(hào)的置換序列頻率編碼和相位編碼共同影響著代價(jià)函數(shù)的取值，且二者與代價(jià)函數(shù)值均為非線性關(guān)系，所以必須對(duì)頻率編碼序列集和相位編碼序列集進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。本文中的置換序列頻率編碼序列的優(yōu)化是一個(gè)排列組合優(yōu)化問(wèn)題，屬于典型的旅行商問(wèn)題（traveling salesman problem，TSP）；而多相碼序列的優(yōu)化是一個(gè)非線性多變量（nonlinear-multivariable problems，NP）問(wèn)題。

本文采用多種群優(yōu)化遺傳算法，根據(jù)頻率編碼和相位編碼的優(yōu)化種類(lèi)，將多個(gè)種群分為2 個(gè)類(lèi)別，對(duì)不同種類(lèi)別種群采取不同的初始化、交叉和變異等策略，利用人工選擇和移民操作，即讓同一優(yōu)化類(lèi)別的各個(gè)種群的優(yōu)秀個(gè)體進(jìn)行種群間的轉(zhuǎn)移，使多種群協(xié)同進(jìn)化。例如，在傳統(tǒng)遺傳算法中主要通過(guò)交叉算子來(lái)產(chǎn)生新個(gè)體，用變異算子來(lái)輔助產(chǎn)生新個(gè)體。交叉概率Pc的取值（一般取值較大，常取0.7～0.9）和變異概率Pm的取值（取值較小，一般取0.001～0.05）決定了算法的全局搜索和局部搜索能力的均衡，但二者的取值方式有無(wú)數(shù)種，對(duì)于不同的Pc和Pm，優(yōu)化結(jié)果有較大差異。多種群遺傳算法彌補(bǔ)了傳統(tǒng)遺傳算法的這一不足，通過(guò)多個(gè)設(shè)有不同控制參數(shù)的種群協(xié)同進(jìn)化，同時(shí)兼顧了算法的全局搜索和局部搜索。

聯(lián)合優(yōu)化算法步驟如下：

（1）編碼

PLP 波形中置換序列調(diào)頻編碼采用整數(shù)編碼方式，即對(duì)于M個(gè)調(diào)頻編碼的TSP 問(wèn)題，染色體分為M段，其中每一段對(duì)應(yīng)調(diào)頻編碼的序號(hào)。如5 個(gè)編碼的TSP 問(wèn)題｛1，2，3，4，5｝，則｛2|3|1|5|4｝就是一個(gè)合法的染色體。將上述編碼方式記為“編碼1”。

PLP 波形多相碼采用串行編碼，編碼方式如下，記為“編碼2”：

式中：為編碼矩陣P的第n行m列元素。

（2）初始化種群，即在確認(rèn)染色體編碼方式后，產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的初始種群用作初始解。

編碼1 對(duì)應(yīng)的初始化種群記為“初始化1”，可表示為

式中：randpermsn(·)表示第n個(gè)波形的置換序列調(diào)頻編碼全排列中的隨機(jī)一種?！俺跏蓟?”種群個(gè)數(shù)設(shè)為MP1。

編碼2 對(duì)應(yīng)的初始化種群記為“初始化2”，該類(lèi)初始種群數(shù)個(gè)數(shù)設(shè)為MP2。

（3）適應(yīng)度計(jì)算。代入式（28）即可得。

（4）選擇根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)采用輪盤(pán)賭選擇策略。

（5）交叉。相位編碼對(duì)應(yīng)個(gè)體采取兩點(diǎn)交叉，該方式記為“交叉1”；置換序列調(diào)頻編碼需要采用部分映射雜交，即交叉后若同一個(gè)個(gè)體中有重復(fù)的子碼，不重復(fù)的數(shù)字保留，有沖突的數(shù)字利用介于交叉操作中間段的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行映射消除沖突，以確保交叉后的子代符合置換序列性質(zhì)，個(gè)體內(nèi)子碼沒(méi)有產(chǎn)生重復(fù)，該交叉方法記為“交叉2”。

（6）變異。以某一較小概率改變種群中個(gè)體的某些基因，從而為新個(gè)體的產(chǎn)生提供機(jī)會(huì)。需要注意的是，為了保證變異后的置換性質(zhì)，頻率編碼的變異策略為變異策略采取隨機(jī)選取2 個(gè)點(diǎn)，將其對(duì)換位置，該變異方式記為“變異1”，相位優(yōu)化種群對(duì)應(yīng)“變異2”。

（7）移民。同一類(lèi)種群間是相對(duì)獨(dú)立的，相互之間通過(guò)移民算子聯(lián)系。移民算子將各種群在進(jìn)化過(guò)程中出現(xiàn)的最優(yōu)個(gè)體定期地（每隔一定的進(jìn)化代數(shù)）引入其他的種群中，實(shí)現(xiàn)種群之間的信息交換。

（8）人工選擇。找出精華種群。

（9）算法終止。當(dāng)適應(yīng)度函數(shù)達(dá)到期望值，或遺傳代數(shù)達(dá)到閾值，或者精華種群中最優(yōu)個(gè)體保持代數(shù)達(dá)到設(shè)定值，算法終止；否則繼續(xù)執(zhí)行步驟（3）～（8）。

多種群優(yōu)化遺傳算法結(jié)構(gòu)示意圖如圖3 所示。其中，GA1表示采用編碼1、初始化1、交叉1 和變異1的遺傳算法；GA2表示采用編碼2、初始化2、交叉2和變異2 的遺傳算法。

圖3 多種群優(yōu)化遺傳算法結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structure of multi-population optimization genetic algorithm

3 仿真校驗(yàn)

根據(jù)第2 節(jié)所述過(guò)程，采用多種群優(yōu)化算法對(duì)PLP 波形集進(jìn)行優(yōu)化，MIMO 雷達(dá)波形參數(shù)設(shè)置如下：波形個(gè)數(shù)N=4，碼長(zhǎng)M=40，相位數(shù)L=4，子脈沖寬度tb=1 μs，子帶寬Bb=0.1 MHz；算法參數(shù)設(shè)置如下：個(gè)體數(shù)目400，各種群數(shù)目MP1=MP2=10，最優(yōu)個(gè)體保持代數(shù)為30，采用兩點(diǎn)交叉，每個(gè)種群交叉概率取值為區(qū)間［0.7，0.9］中的隨機(jī)數(shù)，變異概率為［0.005，0.01］中的隨機(jī)數(shù)。

多種群優(yōu)化遺傳算法的進(jìn)化代數(shù)和代價(jià)函數(shù)曲線如圖4 所示；優(yōu)化得到的相位序列見(jiàn)表1，表中數(shù)字乘以π/2 即為相位；頻率編碼序列如表2 所示。所得PLP 優(yōu)化波形集的自相關(guān)旁瓣峰值和互相關(guān)峰值如表3 所示。所得的波形的平均自相關(guān)旁瓣峰值（autocorrelation sidelobe peak，ASP）為 0.119 8（-18.43 dB），最大ASP 為0.109 8（-19.19 dB）；平均互相關(guān)峰值（cross-correlation peak，CP）為0.150 4（-16.47 dB），最大CP 為0.131 5（-17.62 dB）。

表1 PLP 優(yōu)化相位序列Table 1 Optimized phase sequence of PLP

表2 PLP 優(yōu)化置換序列調(diào)頻編碼Table 2 FM coding of PLP-optimized permutation sequence

表3 PLP 優(yōu)化波形集的ASP 和CP 值（歸一化）Table 3 ASP and CP Values（normalized amplitude）of PLP-optimized waveform set

圖4 多種群優(yōu)化遺傳算法代價(jià)函數(shù)曲線Fig.4 Cost function curve of MSO-GA

將本文結(jié)果與同參數(shù)的文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，圖5 和圖6 分別為本文與文獻(xiàn)［4，7，11，13］提到的遺傳算法（genetic algorithm，GA）優(yōu)化算法優(yōu)化的各信號(hào)的ASP 對(duì)比圖和CP 對(duì)比圖；圖7 和圖8 分別為本文與其他算法［3，5，12］優(yōu)化的各信號(hào)的ASP 和CP 對(duì)比圖。表4 為對(duì)比結(jié)果。

表4 本文方法與其他文獻(xiàn)平均 ASP，CP 值比較Table 4 Comparison of average ASP and CP values between proposed method and other literature

圖5 MSO-GA 與其他GA 優(yōu)化的ASP 對(duì)比圖Fig.5 ASP comparison of MSO-GA and other GAs

圖6 MSO-GA 與其他文獻(xiàn)GA 優(yōu)化的CP 對(duì)比圖Fig.6 CP comparison of MSO-GA and other GAs

圖7 MSO-GA 與其他算法優(yōu)化的ASP 對(duì)比圖Fig.7 ASP comparison between MSO-GA and other algorithms

圖8 MSO-GA 與其他算法優(yōu)化后的CP 對(duì)比圖Fig.8 CP Comparison between MSO-GA and other algorithms

由圖4 可知，本文的多種群優(yōu)化遺傳算法通過(guò)移民算子和人工選擇操作保證了多種群間的優(yōu)秀個(gè)體快速形成精英種群，不但可以同時(shí)對(duì)多個(gè)不同的目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，且進(jìn)化和收斂速度較快。觀察圖5～8 和表4 可知，相比于文獻(xiàn)［4，7，11，13］提到的GA優(yōu)化算法，本文的算法平均自相關(guān)旁瓣分別優(yōu)于它們0.038，0.024，0.019，0.028（轉(zhuǎn)換為dB 值再求差為1.83 dB，0.93 dB，0.63 dB，1.27 dB）；平均互相關(guān)旁瓣分別優(yōu)于它們0.059，0.027，0.069，0.056（2.87 dB，1.47 dB，3.27 dB，2.42 dB）。相比于模擬退火，蟻群算法等其他優(yōu)化算法［3，5，12］，多種群優(yōu)化遺傳算法的自相關(guān)旁瓣分別優(yōu)于它們0.043，0.020，0.056（2.13 dB，1.83 dB，2.84 dB）；互相關(guān)峰值分別優(yōu)于它們0.049，0.057，0.006 3（2.47 dB，2.79 dB，3.04 dB）。

分別對(duì)PLP 信號(hào)、單載頻相位編碼信號(hào)、LFMPC 信號(hào)進(jìn)行匹配濾波，匹配濾波輸出如圖9 所示。觀察可知，在子脈沖寬度tb=1 μs，子帶寬Bb=0.2 MHz 的同參條件下，PLP 信號(hào)匹配濾波的3 dB脈寬約為0.1 μs，遠(yuǎn)小于相位編碼信號(hào)和LFM-PC信號(hào)的0.6 μs，距離分辨率優(yōu)于它們。圖10 中a），b）分別為同參條件下改變子脈沖tb和子脈寬Bb各信號(hào)輸出的匹配濾波的有效脈寬。圖10a），b）反映出單載頻子脈沖和LFM-PC 混合調(diào)制信號(hào)受信號(hào)子脈寬的影響，受實(shí)際點(diǎn)路元器件限制，信號(hào)帶寬有限，限制了目標(biāo)距離分辨率；相比之下，PLP 波形不僅在這些參數(shù)下距離分辨率均優(yōu)于單載頻相位編碼信號(hào)和LFM-PC 信號(hào)，其距離分辨率與子脈寬無(wú)關(guān)，僅由子脈沖的調(diào)頻帶寬所決定，這樣在工程上容易實(shí)現(xiàn)寬頻帶脈壓波形。

圖9 各個(gè)信號(hào)的匹配濾波輸出脈寬對(duì)比圖Fig.9 Comparison of matched filter output of PLP，phase coding and LFM-PC signal

圖10 各信號(hào)的匹配濾波輸出與子脈寬、子帶寬的關(guān)系圖Fig.10 Relationship between the matched filtering output of each signal and the pulse width and bandwidth

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的基于置換矩陣時(shí)頻分布的頻相復(fù)合調(diào)制MIMO 雷達(dá)波形具有大時(shí)寬帶寬特點(diǎn)，其模糊函數(shù)沒(méi)有柵瓣且為圖釘型；在同參條件下，距離分辨率優(yōu)于單載頻相位編碼信號(hào)和LFM-PC 混合調(diào)制信號(hào)，且其距離分辨率僅由子脈沖的調(diào)頻帶寬所決定與子脈寬無(wú)關(guān)，在工程上容易實(shí)現(xiàn)寬頻帶脈壓波形。通過(guò)對(duì)PLP 信號(hào)的分析，得出該信號(hào)優(yōu)化模型，最后利用多種群優(yōu)化遺傳算法對(duì)該波形集的頻率編碼和相位編碼進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。仿真結(jié)果驗(yàn)證了PLP 信號(hào)的優(yōu)良特性，表明了多種群優(yōu)化遺傳算法能夠有效對(duì)頻率編碼集和相位編碼集進(jìn)行優(yōu)化，使得PLP 波形集獲得良好的相關(guān)特性。