烏日樂，套格圖桑，2，扎其勞，2

（1.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

1872年，法國(guó)力學(xué)家，理論物理學(xué)家，M.J.Boussinesq在淺水波的研究中導(dǎo)出一個(gè)含有孤立子解的非線性方程，后來人們稱之為Boussinesq方程［1］。該方程和KdV方程都是描述淺水波運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)模型，且它包含雙向傳播的孤立子。

眾所周知，Miura變換將KdV方程與修正KdV方程聯(lián)系起來。類似，Boussinesq方程也存在其修正模型，即修正Boussinesq方程［2］

它具有Hamilton結(jié)構(gòu)［2］

著名Boussinesq方程

可寫成

文獻(xiàn)［2］中給出Boussinesq 方程（3）與修正Boussinesq方程（1）之間進(jìn)行如下Miura變換

修正Boussinesq方程（1）具有3×3矩陣Lax對(duì)

其中Ri(i=1，2，3，…，8)是李代數(shù)sl(3，R)的一組基［2］

利用相容性條件Φxt=Φtx可得方程（1）。

在文獻(xiàn)［3］中，基于顯式約束和高階約束下給出方程（1）的兩種分解。相應(yīng)的Lax方程組被非線性化，且得到有限維可積Hamilton系統(tǒng)。在文獻(xiàn)［4］中，建立方程（1）的具有多參數(shù)的Darboux變換，且變換中需要滿足兩組約束條件。文獻(xiàn)［5］給出修正Boussinessq方程（1）的一種簡(jiǎn)單的沒有約束條件的 Darboux 變換和該方程的無窮多守恒律。

本文首先給出修正Boussinessq方程（1）的N-次Darboux變換及其證明，然后分別利用Darboux變換和Miuta變換（6）-（7）獲得修正Boussinessq方程（1）和著名Boussinesq方程（3）的一些精確解。

1 Darboux變換

把Lax對(duì)（8）-（9）改寫成

其中

如果線性變換

稱為修正Boussinessq方程（1）的Darboux變換，則非退化的矩陣T把Lax對(duì)（10）-（11）變成為新Lax對(duì)

命題1如果y和x是方程（1）的解，則式（12）中的T是（8）式的Darboux矩陣， 它將(y，z)和分別變?yōu)橥粋€(gè)方程（1）的解。

即

證明將式（15）和代入式（13）的第二個(gè)表達(dá)式， 得

收集式（18）中λ各次冪的系數(shù)，并令其為零得

式（19）自然滿足。由式（16）-（17），已知式（20）成立。由式（21），得

此時(shí)，命題1得證。

命題2如果y和z是方程（1）的解，則在式（16）-（17）和式（22）-（24）條件下，式（12）中的T是式（9）的Darboux矩陣。

證明把（15）和代入式（14）的第二表達(dá)式，得

收集式（25）中λ各次冪的系數(shù)，并令其為零得

式（26）顯然成立。由式（16）-（17），得式（27）成立。又由式（16）-（17）和式（22）-（24），得式（28）成立。再由式（16）-（17）和式（22）-（24），化簡(jiǎn)式（29）得

此時(shí)，命題2得證。

取 方 程（1）的 種 子 解 為(y0，z0)，當(dāng)λ=λk(k=1，2，…，N)時(shí)，計(jì) 算 出Lax對(duì)（10）-（11）的 為依據(jù)命題1-2，通過重復(fù)使用Darboux變換可迭N-次Darboux 變換。

一次Darboux變換

二次Darboux變換

其中

這里δ1，δ2，δ3在式（33）中給出。

N-次Darboux變換

其中

2 精確解及其分析

根據(jù)命題1與命題2，取y=z=0為方程（1）的種子解， 將種子解代入Lax對(duì)（10）-（11），可計(jì)算出Lax對(duì)的一組基本解：

當(dāng)k=1時(shí)，將式（44）-（46）中的(f1(1)，f2(1)，f3(1))T和種子解y0=0，z0=0代入一次Darboux變換（31）-（32），得修正 Boussinesq方程（1）的一個(gè)精確解

其 中(f1(1)，f2(1)，f3(1))T在 式（44）-（46）(k=1)中 給 出。當(dāng) 參 數(shù) 取時(shí)，得修正Boussinesq方程（1）的精確解。 圖1 展示了該解的性質(zhì)。

圖1 修正 Boussinesq 方程（1）的精確解Fig.1 The exact solution of modified Boussinesq equation （1）

把式（47）-（48）代入Miura變換（6），得著名Boussinesq方程（3）的一個(gè)精確解

當(dāng)k=1，2時(shí)，將式（44）-（46）中的(f1(k)，f2(k)，f3(k))T和種子解y[1]和z[1]代入二次Darboux變換（34）-（35），得修正Boussinesq方程（1）的另一個(gè)精確解。重復(fù)上述過程，利用N-次Darboux變換，可得修正Boussinesq方程的更多精確解。還可以利用Miura變換（6）， 得著名Boussinesq方程（3）的更多精確解。

3 結(jié)論

文獻(xiàn)［4］給出方程（1）的 Darboux變換，其中含有兩個(gè)關(guān)系式作為附加條件，而本文給出的N-次Darboux變換形式簡(jiǎn)單，無附加條件。此外，本文利用Boussinesq方程和修正Boussinesq方程之間的Miura變換，獲得Boussinesq方程的孤子解。Darboux變換是求解孤子方程的一種有效方法［7］。該方法被廣泛地應(yīng)用于孤立子與可積系統(tǒng)理論中。本文中的Darboux變換是使用普適的，純代數(shù)的算法構(gòu)作而成。通過Darboux變換的迭代，可以獲得修正Boussinesq方程（1）和Boussinesq方程（3）的一系列精確解。

圖2 著名 Boussinesq 方程（3）的孤立子解Fig.2 The soliton solution of modified Boussinesq equation （3）