李曉飛，陳廣福，藍天明

（1.茶產(chǎn)業(yè)大數(shù)據(jù)應(yīng)用與智能化重點實驗室，福建 武夷山 354300；2.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，福建 武夷山 354300）

無線定位在過去幾十年吸引了大量學(xué)者關(guān)注，是無線傳感器不可或缺的最重要組成部分。當(dāng)這些無線傳感器節(jié)點的信號能被確認地理位置時，這些信號數(shù)據(jù)才具有意義?；谀芰康臒o線定位利用接收信號強度(RSS)將傳統(tǒng)定位技術(shù)，如TOA[1?2]、TDOA[3?4]和AOA[5]，變成簡單的定位計算。近年來，基于精度分析的定位在各種網(wǎng)絡(luò)中均有應(yīng)用，包括無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(WSNs)[6]、無線局域網(wǎng)(WLAN) [7]和車載自組網(wǎng)(VANETs)?；诮邮招盘枏姸鹊亩ㄎ凰惴〞?dǎo)致非線性和非凸優(yōu)化問題。為了解決這個問題，文獻[8]提出了一種加權(quán)最小二乘算法（WLS），近似估計傳感器節(jié)點位置以及采樣變換的發(fā)射功率。文獻[9]首先對低噪聲水平的ML 算法進行近似估計，然后將基于二階錐規(guī)劃（SOCP）的凸優(yōu)化算法應(yīng)用到ML 估計的松弛方法中。針對基于接收信號強度（RSS）的定位問題，文獻[10]設(shè)計了半定規(guī)劃算法。傳統(tǒng)的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位算法設(shè)計是基于經(jīng)典的信道路徑損耗模型，噪聲為高斯分布。由于噪聲的非均勻性以及多源性，噪聲并不總是服從高斯分布[11]，因此，傳統(tǒng)的高斯模型不能很好地表示測量到的噪聲，導(dǎo)致定位算法的錯誤。眾所周知，至今還沒有研究無線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點算法中基于非高斯噪聲模型的實際信道路徑損失模型。為此，本文提出一種基于無跡卡爾曼濾波[12]的半定松弛優(yōu)化估計算法（SCSDP 算法），以實現(xiàn)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點位置的準(zhǔn)確估計，噪聲由非高斯模型表示，然后對噪聲進行經(jīng)驗參數(shù)估計。同時，本文將定位作為一個優(yōu)化問題來實現(xiàn)半定松弛化，并對后續(xù)的非線性和非凸優(yōu)化問題求解，得到次優(yōu)解。實驗結(jié)果表明，本文提出的半定松弛優(yōu)化估計（SC-SDP）算法性能優(yōu)于傳統(tǒng)定位算法。本文的具體貢獻如下。

1) 本文提出一種基于半定松弛優(yōu)化估計算法的定位技術(shù)，建立系統(tǒng)模型并將其作為一個優(yōu)化問題，通過尋找初始非凸目標(biāo)函數(shù)的更低下界來重新闡述優(yōu)化問題，將非線性和非凸問題分別松弛優(yōu)化，得到次優(yōu)化解 。

2) 本文采用無跡卡爾曼算法過濾噪聲，獲得了一個可更準(zhǔn)確地捕捉真實均值和協(xié)方差的濾波器，采用無軌跡轉(zhuǎn)換使高斯輸入信號精確到三階，非高斯輸入信號精確到二階。這不僅避免噪聲產(chǎn)生干擾，增加了系統(tǒng)的抗干擾性，而且提高了SC-SDP 算法的定位精度。

3) 通過大量的實驗分析，其結(jié)果表明SC-SDP算法在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的定位誤差（RMSE）要優(yōu)于GM-SDP[13]、WLS[8]以及CRLB[13]的定位誤差，其精度比其他算法要高。

1 系統(tǒng)模型和初步探究

假定第j目標(biāo)節(jié)點未知坐標(biāo)為θj=[θj1,θj2]T(θj∈R2，j=1,2,···,M)，第i參照節(jié)點αi=[αi1,αi2]T(αi∈R2,i=1,2,···,N)，其中M和N分別是目標(biāo)節(jié)點和參考節(jié)點的總數(shù)。從第i個參考節(jié)點接收的第j個目標(biāo)節(jié)點功率建模為

式中：P0是接收機在參考距離d0的傳動功率；d(θj,αi)=||θj?αi||2是第j目標(biāo)節(jié)點和第i參照節(jié)點之間的距離；γ是2 和6 之間的路徑損失指數(shù)；附加噪聲 ηi,j服從高斯分布，分別表示多路徑環(huán)境中的對數(shù)正態(tài)投影效果。

高斯混合的噪聲模型及觀測功率矢量Pj=[Pi,j,Pi+1,j,···,PN,j]，所產(chǎn)生的第j目標(biāo)節(jié)點的聯(lián)合條件概率為

式中：λi,m是噪聲的均值um和方差的簇m相應(yīng)的權(quán)重；M是混合組件的數(shù)量。

2 問題的提出及解決方案

其中，Ψ(θj,λ)是聯(lián)合條件概率密度函數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)，Ψ(θj,λ)=lnp(Pj|λj)，同時混合權(quán)重 λi,m的總和等于1。然而目標(biāo)函數(shù)的組合屬性導(dǎo)致NP 難問題[14]。為了降低優(yōu)化問題的復(fù)雜性，可以通過尋找初始非凸目標(biāo)函數(shù)的更低下界來重新闡述優(yōu)化問題。然后，通過松弛法重新闡述問題，作為SDP 問題求解，得到全局最優(yōu)解。

對可行性的配對(θj,λ)，如果該對是公式（4）優(yōu)化問題的最優(yōu)解，為：

那么，配對(θj,λ)是公式（3）優(yōu)化問題的次優(yōu)化。

采用Jensen 不等式，公式（5）為公式（3）的初始非凸加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的下界，為

Ψ1(θj,λ)是參數(shù)(θj,λ)的對數(shù)似然函數(shù)的更低界。?ω′，ω′使參數(shù)(θj,λ)滿足Ψ1(θj,λ)≥Ψ??ω′。

公式（3）優(yōu)化問題可以重新闡述為：

其中，

將公式（6）重新改寫成公式（8），為：

公式（9）是凸優(yōu)化問題，可以利用現(xiàn)存的工具解決初始優(yōu)化問題公式（3）的全局優(yōu)化方案。

3 半定松弛優(yōu)化估計的去噪算法

本文采用的去噪算法是無跡卡爾曼濾波（UKF）算法。如同KF 算法[15]和EKF 算法[16]，UKF 算法還利用了預(yù)測校正周期。EKF 算法通過簡單地執(zhí)行一階非線性函數(shù)的線性化變換來近似非線性系統(tǒng)的狀態(tài)，而UKF 算法通過使用確定性抽樣方法解決了這個問題 。這種采樣技術(shù)主要選取均值周圍樣本點集最小值集合。它在預(yù)測器和校正器之外還有一個額外的步驟，即選擇2×n+1 個sigma點。這些sigma 點傳播到非線性系統(tǒng)，并從估計的均值和協(xié)方差恢復(fù)。該算法能得到一個更準(zhǔn)確地捕捉真實均值和協(xié)方差的濾波器，無軌跡轉(zhuǎn)換的使用能精確到高斯輸入信號的三階近似，非高斯輸入至少為二階。假定先驗狀態(tài)及誤差協(xié)方差 δt可以表示為：

而校正階段可以表示為：

4 半定松弛優(yōu)化估計（SC-SDP）算法的偽代碼

Step1，輸入i參照節(jié)點和j節(jié)點目標(biāo)節(jié)點的坐標(biāo)。

Step2，計算功率建模為

Step4，? ω′，ω′使參數(shù)(θj,λ)滿足Ψ1(θj,λ)≥Ψ??ω′。

公式（3）優(yōu)化問題可以重新闡述為：

Step5，為了解決凸優(yōu)化問題，利用現(xiàn)存的工具解決初始優(yōu)化問題公式（3）的全局優(yōu)化方案，為

Step6，利用無跡卡爾曼濾波（UKF）算法，通過使用確定性抽樣方法解決去噪問題。

Step7，選擇2×n+1 個 sigma 點，將這些sigma點傳播到非線性系統(tǒng)，獲取一個能更準(zhǔn)確地捕捉真實均值和協(xié)方差的濾波器，以去除噪聲。

5 實驗結(jié)果與分析

5.1 編碼相位轉(zhuǎn)移的傳統(tǒng)估計

傳感器執(zhí)行的核心操作之一是估計局部和輸入擴展編碼，也是基于編碼的交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)的評估。交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)依賴于傳播編碼的特性?？紤]傳感接收器的信號數(shù)據(jù)采集到的局部編碼[17]，為

式中：βi={1?11?1?1?1?11?1?1?11?1?1111?1}；r(t)是單位幅度矩形函數(shù)；Tc是芯片的寬度；編碼頻率Rc=0.5 MHz。假定dloc(t)是周期性的輸入信號，可以評估交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)的屬性。偽隨機噪聲序列的交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)的屬性之一是當(dāng)2 個編碼完全相對應(yīng)時具有一個最大值，即dloc(t)是din(t)的不確定時間。根據(jù)要求的樣品率，取偽隨機噪聲序列樣品之后，關(guān)聯(lián)函數(shù)由公式（2）得出，為

關(guān)聯(lián)函數(shù)運行的結(jié)果如圖1 所示，表示0 級芯片延遲時呈現(xiàn)的最大值情況，假定樣品頻率為10 MHz。

圖1 0 級芯片延時Fig.1 0 chip delay

當(dāng)輸入信號的初始編碼級跳轉(zhuǎn)到4 級芯片時，最大4 級延時的交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)的運行結(jié)果如圖2所示。

圖2 4 級芯片延遲時間Fig.2 Fourth chip delay

當(dāng)2 個編碼完全對應(yīng)的時候，偽噪聲序列PRN的自動相關(guān)聯(lián)函數(shù)擁有4 級芯片延遲的最大值?？紤]高斯白噪聲的因素，接收函數(shù)s[n]可改寫為

式中：cin[n]表示輸入信號的樣品；w[n]表示白噪聲；N為樣品總數(shù)。

最大編碼相位值G，為

式中：Rc表示白噪聲的編碼頻率；fs表示輸入信號的白噪聲相關(guān)聯(lián)函數(shù)。由公式(15)可知，當(dāng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差值達到2.5，輸入信號的白噪聲相關(guān)聯(lián)函數(shù)fs的最大編碼相位值G是3.99，而實際的最大編碼相位G是4。若噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差等于12，在2 個傳播編碼之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)最大編碼被噪聲干擾，信號取值導(dǎo)致編碼相位轉(zhuǎn)移出現(xiàn)偏差。

5.2 半定松弛優(yōu)化估計算法的實驗結(jié)果分析

本文采用若干個實驗評估半定松弛優(yōu)化算法性能并對實驗結(jié)果進行分析。如圖3，考慮100×100 m2的二維正方形區(qū)域，獨立部署240 個傳感器，包括20 錨。假定噪聲遵從雙模高斯混合分布，α1=0.67，β1=?4.36 dBm，σ1=6.83 dBm，α2=0.84，β2=3.76 dBm，σ2=5.63 dBm。室內(nèi)噪聲檢測技術(shù)就是計算每混合組件的均值和方差值。本文采用100 個蒙特卡洛自帶的20 個不等錨定量計算RMSE的值來評估室內(nèi)噪聲水平。

圖3 傳感器數(shù)量和 RMSE 的關(guān)系Fig.3 Relationship between the number of sensors and RMSE

由圖3 可知，隨著傳感器數(shù)量的增加，噪聲的干擾也越來越影響到無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的性能。隨著傳感器數(shù)量的增加，均方根誤差（RMSE）隨著方差的變化出現(xiàn)向下波動。當(dāng)噪聲方差σ1=6.83 dBm時，傳感器數(shù)量的增多，導(dǎo)致更多噪聲干擾以及信號傳輸?shù)牟环€(wěn)定，均方根誤差(RMSE)向下波動增大，當(dāng)再加入噪聲方差σ2=5.63 dBm時，2 個噪聲疊加在一起形成雙模高斯噪聲，隨著傳感器數(shù)量增加，更多噪聲干擾導(dǎo)致均方根誤差(RMSE)向上波動增大。

5.2.1 均方根方差（RMSE）的實驗分析

本節(jié)分析了半定松弛化定位問題的實驗結(jié)果。假定有N個參考節(jié)點均勻分布在以（0,0）為圓心，200 m 為半徑的圓周上。第i參考點（i=1,2,···,N）的位置為

將本文SC-SDP 算法與半定規(guī)劃算法SDP[18?19]、ML 算法[20]進行比較，并以CRLB 算法作為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位性能的比較標(biāo)準(zhǔn)。利用凸優(yōu)化（CVX）[21]解決半定松弛優(yōu)化估計（SC-SDP）算法?；c和參考點不同的幾何層次影響了定位的準(zhǔn)確性。為了研究基點和參考點的幾何層次的效果，本文的實驗采用N=5參考點，選擇5 個不同的基點定位，分別代表5 種典型的幾何形基點—參考點設(shè)置。本文SC-SDP 算法與GM-SDP 算法[13]和CRLB算法等的比較結(jié)果如表1 所示。

表1 不同算法的均方根方差Table 1 Root mean square variances of different algorithms

從表1 看出：當(dāng)參照點數(shù)目逐漸增大時，均方根方差（RMSE）逐漸降低。當(dāng)參照點數(shù)目增大到18 時，相比GM-SDP[13]算法、WLS 算法以及CRLB算法，SC-SDP 算法的均方根方差（RMSE）最優(yōu)。因此，雖然參照點數(shù)目增多導(dǎo)致噪聲增加，但是SC-SDP 算法的性能是遞增的 。

5.2.2 半定松弛優(yōu)化估計算法的實驗分析

SC-SDP 算法是優(yōu)化并去除半定松弛化算法產(chǎn)生的噪聲，同時調(diào)整實驗參數(shù)。本文的實驗采用無跡卡爾曼濾波算法優(yōu)化并緩解半定松弛化算法產(chǎn)生的噪聲。本文拓展了無跡傳送信道，獲得推導(dǎo)和應(yīng)用框架，有效地消除了幾乎所有常見的非線性坐標(biāo)變換的噪聲偏差。圖4 是添加卡爾曼過濾器之后的WLS 和SC-SDP 兩種算法的定位誤差比較結(jié)果。傳感器數(shù)量增加也就間接導(dǎo)致位置誤差增加。當(dāng)最后傳感器數(shù)目增加到20 時，SC-SDP 算法比WLS 算法定位誤差大，但和 圖5 添加卡爾曼過濾器之前的定位誤差相比，SC-SDP 算法的定位誤差也是降低的。

圖4 WLS 和SC-SDP 的位置誤差比較（添加卡爾曼過濾器之后）Fig.4 Comparison of position errors between WLS and SCSDP(After adding the Kalman filter)

圖5 WLS 和SC-SDP 的位置誤差比較（添加卡爾曼過濾器之前）Fig.5 Comparison of position errors between WLS and SCSDP(before adding the Kalman filter)

圖5 是增加卡爾曼過濾器之前的實驗結(jié)果。采用WLS 算法和SC-SDP 算法計算出均方根方差，再通過均方根方差計算定位位置的誤差。傳感器數(shù)目剛增加時，定位誤差快速遞增，直到傳感器數(shù)目增加到18 時，定位誤差進入相對穩(wěn)定的階段，但是定位誤差是增大的。

6 結(jié)束語

為提高無線傳感網(wǎng)絡(luò)室內(nèi)定位精度，本文提出基于半定松弛優(yōu)化估計算法的無線傳感網(wǎng)絡(luò)定位算法（SC-SDP 算法）。在半定規(guī)劃算法的基礎(chǔ)上，將算法的約束條件松弛化，使定位更加準(zhǔn)確。同時采用無跡卡爾曼濾波（UKF）算法過濾信號傳輸過程中的噪聲，對無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位進行精確分析。將SC-SDP 算法與WLS 算法、CRLB 算法進行比較實驗和過濾噪聲前后的比較實驗。噪聲沒過濾前時，實驗結(jié)果表明，隨著傳感器參考點位置數(shù)量的增加，定位誤差呈上升趨勢。因此，在采用無跡卡爾曼濾波（UKF）算法過濾掉傳輸過程中的噪聲之后，定位誤差呈遞減趨勢，半定松弛優(yōu)化估計算法性能也得到提升。實驗結(jié)果也表明SC-SDP算法的均方根方差（RMSE ）比GM-SDP 算法、WLS算法以及CRLB 算法的均方根方差更小。在未來的網(wǎng)絡(luò)定位算法里，采用半定松弛優(yōu)化估計算法來解決定位精度性能分析具有更加廣闊的前景。