趙壽祥，唐高華，南基洙

(1.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024；2. 桂林師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計算機技術(shù)系，廣西 桂林 541199；3. 北部灣大學(xué) 理學(xué)院，廣西 欽州 535011)

令R是一個環(huán)。為研究環(huán)性質(zhì)與圖性質(zhì)之間的關(guān)系，人們在環(huán)上按照一定關(guān)系定義了多種圖(無向圖和有向圖)。如，1988年，Beck[1]將環(huán)的所有零因子作為圖的頂點，引入交換環(huán)上零因子圖的概念，進而研究環(huán)的著色問題。1999年，Anderson等[2]改進了交換環(huán)上零因子圖的概念，把環(huán)的所有非零零因子作為圖的頂點，并規(guī)定2個頂點相連當(dāng)且僅當(dāng)這2個頂點的乘積等于零，他們還研究了環(huán)性質(zhì)與圖性質(zhì)之間的一些關(guān)系。2002年，Redmon[3]將環(huán)的零因子圖概念推廣到非交換環(huán)，即將環(huán)的所有非零零因子作為圖的頂點，并規(guī)定從頂點x到頂點y有一條邊x→y相連當(dāng)且僅當(dāng)xy=0。2008年，Behbood等[4]引入環(huán)的強零因子圖概念。2015年，Alibemani等[5]引入環(huán)的零因子理想圖概念。文獻[6-8]研究了矩陣環(huán)和群環(huán)上的零因子圖和中心圖的性質(zhì)。文獻[9-13]分別研究了高斯整數(shù)環(huán)、群環(huán)、矩陣環(huán)的性質(zhì)與圖的性質(zhì)之間的聯(lián)系。文獻[14]引入環(huán)的擬零因子圖概念。文中圖論和代數(shù)相關(guān)知識可參看文獻[15-16]。

對于環(huán)R中元素a，如果存在環(huán)R中一個非零元素b，使得aRb=0或者bRa=0成立，則稱元素a為環(huán)R的一個擬零因子。如果把環(huán)R中所有非零擬零因子組成的集合作為圖的頂點集合，并規(guī)定從頂點x到另一個頂點y有一條邊x→y相連當(dāng)且僅當(dāng)xRy=0，稱這樣得到的圖為環(huán)R上的擬零因子圖，記為Γ*(R)。

下面介紹一些本文要用到的概念。有向圖G是指一個有序三元組(V(G),A(G),ψG)，其中V(G)是非空的頂點集合，A(G)是與V(G)不交的邊集合，ψG是關(guān)聯(lián)函數(shù)，它使G的每條邊對應(yīng)G的一個有序頂點對。有向圖G的有向路徑是一個有向的點邊交錯序列W=v0e1v1…vk-1ekvk，其中，vi∈V(G)，ej∈A(G)，邊ej是從頂點vj-1到vj的邊，0≤i≤k，1≤j≤k。對有向圖G中的任意2個頂點x和y，如果都存在一條從x到y(tǒng)的有向路徑，那么就稱有向圖G是連通的，否則稱有向圖G是不連通的。對于有向圖G中的頂點x，所有形如x→y這樣的邊的數(shù)量總和稱為頂點x的出度；所有形如y→x這樣的邊的數(shù)量總和稱為頂點x的入度；頂點x的出度和入度的和稱為頂點x的度。從頂點x到頂點y的所有有向路徑中包含邊數(shù)最少的路徑稱為從頂點x到頂點y的最短路徑。對于有向圖G中的2個不同頂點x和y，從頂點x到頂點y的最短路徑中的所有邊數(shù)的總和稱為從頂點x到頂點y的距離，記為d(x,y)。

在文獻[14]基礎(chǔ)上，本文研究剩余類環(huán)Zm上全矩陣環(huán)Mn(Zm)的擬零因子圖Γ*(Mn(Zm))的一些性質(zhì)，分別給出矩陣A是圖Γ*(Mn(Zm))中的頂點的充分必要條件，以及圖Γ*(Mn(Zm))中任意2個頂點的距離等于1、2、3的充分必要條件。最后證明2個剩余類環(huán)上全矩陣環(huán)的擬零因子圖是同構(gòu)的當(dāng)且僅當(dāng)全矩陣環(huán)所在的剩余類環(huán)同構(gòu)，且全矩陣環(huán)的階數(shù)相同。

1 預(yù)備引理

2 主要結(jié)果及證明

故A·Mn(Zm)·B≠0，即在擬零因子圖Γ*(Mn(Zm))中從A到B之間不存在邊相連，這與A→B矛盾。因此，假設(shè)不成立，即命題成立。證畢。

推論1擬零因子圖Γ*(Mn(Zm))是一個空圖當(dāng)且僅當(dāng)剩余類環(huán)Zm是一個域。

其次證明 ②。

進而d(A,B)=2。

A·Mn(Zm)·C=C·Mn(Zm)·B=0

最后，由Γ*(Mn(Zm))的直徑小于等于3和結(jié)論 ①、②就能得到 ③。證畢。

推論2在圖Γ*(Mn(Zm))中任取2個頂點A=(aij)和B=(buv)，以下結(jié)論成立：

①d(A,B)=1?d(B,A)=1；

②d(A,B)=2?d(B,A)=2；

③d(A,B)=3?d(B,A)=3;

從例1可知剩余類環(huán)上全矩陣環(huán)的擬零因子圖和剩余類環(huán)的子系統(tǒng)上擬零因子圖之間并沒有相互包含關(guān)系。

定理3設(shè)Zm1和Zm2為2個剩余類環(huán),則擬零因子圖Γ*(Mn1(Zm1))和Γ*(Mn2(Zm2))同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁絥1=n2和m1=m2同時成立。

證明充分性顯然成立。下證必要性。

由定理3的證明過程可得以下推論3。