顏閩秀, 謝俊紅, 張 帥

(1. 沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110142; 2. 工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)遼寧省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 沈陽 110142; 3. 東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110004)

如今,受到Lorenz混沌系統(tǒng)的啟發(fā),混沌已成為研究的熱點(diǎn),許多不同的混沌系統(tǒng)相繼被提出[1-6].生成新混沌系統(tǒng)有兩個(gè)有趣的方向，一種是在簡單的數(shù)學(xué)模型中發(fā)現(xiàn)非線性系統(tǒng)中的混沌;另一種是構(gòu)造具有特殊奇異吸引子的混沌系統(tǒng),如多渦卷吸引子、共存吸引子等[8-11].平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)在一定程度上決定了動力學(xué)性質(zhì).一個(gè)經(jīng)典的理論是一個(gè)同宿軌道連接的鞍焦點(diǎn)或兩個(gè)異宿軌道連接的鞍焦點(diǎn)的系統(tǒng)能夠產(chǎn)生馬蹄意義下的混沌系統(tǒng)[12].沒有平衡點(diǎn)的混沌系統(tǒng)能夠產(chǎn)生隱藏吸引子.大量的研究表明,具有多個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的混沌系統(tǒng)往往具有更豐富的動力學(xué)行為，且更容易產(chǎn)生共存吸引子.因此許多學(xué)者傾向于構(gòu)造混沌系統(tǒng),并通過平衡點(diǎn)的類型來區(qū)分動力學(xué)特性,如鞍點(diǎn)、不穩(wěn)定焦點(diǎn)、中心平衡點(diǎn)和其他類型平衡點(diǎn)的混沌系統(tǒng)[13-16].

最近,在混沌系統(tǒng)中吸引子的共存和多穩(wěn)態(tài)性引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.Li等[17-21]通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究了Lorenz混沌系統(tǒng)中的吸引子的共存,并提出了產(chǎn)生共存吸引子的方法.Kengne等[22]提出了Jerk系統(tǒng)中吸引子的共存.Lai等[23-24]介紹了構(gòu)造具有無窮多奇異吸引子的混沌系統(tǒng)的有效方法.Bao等[25-26]發(fā)現(xiàn),基于憶阻器的混沌系統(tǒng)可以產(chǎn)生不同類型的共存吸引子.多穩(wěn)態(tài)是指兩個(gè)或多個(gè)吸引子在不同的初始條件下共存,具有相同的參數(shù)[27]，通常可以在許多非線性動力系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn).Ab等[28]發(fā)現(xiàn)了具有多穩(wěn)態(tài)和隱藏吸引子的混沌系統(tǒng);Kengne等[29]提出了一種新型的Jerk混沌系統(tǒng)，并在該系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了五個(gè)平衡點(diǎn)、多穩(wěn)態(tài)性和多渦卷.

眾所周知,在混沌系統(tǒng)中,具有多穩(wěn)態(tài)和吸引子共存的混沌系統(tǒng)會導(dǎo)致非常復(fù)雜的動態(tài)行為,應(yīng)用在工程中有很大的潛力,提出新的具有多穩(wěn)態(tài)和吸引子共存的混沌系統(tǒng)是有意義的.因此，從建立具有簡單系統(tǒng)和復(fù)雜行為的角度出發(fā),提出了一個(gè)具有多穩(wěn)態(tài)的吸引子共存的混沌系統(tǒng),且將雙曲正切函數(shù)引入該系統(tǒng),建立了可調(diào)數(shù)目的吸引子共存.對該系統(tǒng)的動態(tài)特性進(jìn)行了必要的理論和實(shí)驗(yàn)研究，表明該系統(tǒng)能夠生成無限多個(gè)吸引子的共存并存在多穩(wěn)態(tài)性.最后,基于模型系統(tǒng)進(jìn)行了模擬電路的實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證，表明了該系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)的可能性.

1 混沌系統(tǒng)模型及分析

在經(jīng)典混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上作考察后[30],描述了一個(gè)三維混沌系統(tǒng)，其模型較為簡單,如下式所示：

(1)

式中:x1、x2、x3為狀態(tài)變量；a、b、c、d為系統(tǒng)的常數(shù).將初值取為(0.1,0.1,0.1),圖1～3展示了系統(tǒng)(1)的吸引子.

圖1 系統(tǒng)(1)三維相圖Fig.1 System (1) three-dimensional phase diagram

圖2 x1-x3相圖Fig.2 x1-x3 phase diagram

圖3 x2-x3相圖Fig.3 x2-x3 phase diagram

當(dāng)參數(shù)a=0.7,b=1,c=1,d=0.5時(shí),系統(tǒng)為三維耗散混沌系統(tǒng).通過MATLAB計(jì)算出系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)為L1=0.36,L2=0,L3=-0.48.

計(jì)算李雅普諾夫維數(shù)得到：

(2)

通過李雅普諾夫指數(shù)圖可看出,系統(tǒng)(1)有正、零、負(fù)的李雅普諾夫指數(shù)且之和總是為負(fù)數(shù),式(2)可看出系統(tǒng)為分?jǐn)?shù)維,因此系統(tǒng)(1)是混沌系統(tǒng).其中j是滿足下式的最大整數(shù)：

(3)

通過MATLAB計(jì)算出系統(tǒng)(1)的3個(gè)平衡點(diǎn)為：A(0,0,0),B(-0.464 1,0.232,-0.464 1),C(0.464 1,-0.232,0.464 1)．

令det(J1-λE)=0,計(jì)算其相應(yīng)特征值．當(dāng)平衡點(diǎn)為A(0,0,0)時(shí),特征值為(-0.68,0.25+0.968 2i,0.25-0.968 2i)；當(dāng)平衡點(diǎn)為B(-0.464 1,0.232,-0.464 1)和C(0.464 1,-0.232,0.464 1)時(shí),特征值均為(0.570 7,-0.375 3+1.532i,-0.375 3-1.532i).其中i為虛數(shù)單位.

通過平衡點(diǎn)及特征值可以看出,系統(tǒng)(1)有3個(gè)平衡點(diǎn),相對應(yīng)的特征值有一個(gè)實(shí)數(shù)和兩個(gè)共軛復(fù)數(shù),因此該平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定鞍焦平衡點(diǎn)，且符合混沌系統(tǒng)的指標(biāo)為2的鞍焦平衡點(diǎn)的條件.因此該混沌系統(tǒng)更容易產(chǎn)生吸引子共存的現(xiàn)象.

綜上,對系統(tǒng)(1)進(jìn)行了一定的理論分析.驗(yàn)證了系統(tǒng)(1)的復(fù)雜動力學(xué)特性.

2 混沌系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)性

基于系統(tǒng)(1),選擇以初值為(0.1,0.1,0.1)和(-0.1,-0.1,-0.1)進(jìn)行多穩(wěn)態(tài)分析.圖4展示了兩組不同初始值下的系統(tǒng)動態(tài)演變.

觀察圖4,發(fā)現(xiàn)在兩組不同的初始值下系統(tǒng)(1)均存在混沌和周期狀態(tài).進(jìn)一步分析圖4a可知,系統(tǒng)在兩組不同初始值下存在吸引子的共存且在參數(shù)固定狀態(tài)下呈現(xiàn)出不同類型的吸引子共存.這種具有多穩(wěn)態(tài)的系統(tǒng)其動力學(xué)行為更為復(fù)雜,即存在共存的周期吸引子和共存的混沌吸引子.圖5給出了系統(tǒng)(1)的周期共存吸引子和混沌共存吸引子.

圖4 系統(tǒng)動態(tài)演化Fig.4 System dynamic evolution

圖5 吸引子共存Fig.5 Coexistence of attractors

圖5a為周期1共存吸引子,圖5b為周期2共存吸引子,圖5c和圖5d為混沌共存吸引子.顯然,通過圖5可以看出,當(dāng)選擇固定參數(shù)為a=1.1,a=0.95,a=0.88和a=0.7,且初值為(0.1,0.1,0.1)和(-0.1,-0.1,-0.1)時(shí),系統(tǒng)(1)表現(xiàn)出多穩(wěn)態(tài)性,即具有兩個(gè)吸引子共存的現(xiàn)象.

3 可調(diào)數(shù)目的混沌吸引子共存

基于系統(tǒng)(1),考慮a=0.7,b=1,c=1,d=0.5,建立雙曲正切函數(shù)的序列用于生成可調(diào)數(shù)目的吸引子共存.建立的函數(shù)如下式所示：

(4)

其中：n為非負(fù)整數(shù)；參數(shù)β可調(diào)節(jié),此時(shí)取β=100.可以看出,隨著n增大,函數(shù)Hi(xi)的零點(diǎn)得到擴(kuò)展.利用H1(x1)取代系統(tǒng)(1)中等式右邊的x1,那么在特定參數(shù)下,得到的新系統(tǒng)將會沿x1的方向產(chǎn)生共存吸引子.

首先,考慮沿x1軸的方向產(chǎn)生共存的吸引子,利用H1(x1)取代系統(tǒng)(1)中等式右邊的x1,得到如下系統(tǒng)：

(5)

分別取參數(shù)n=0,1,2,沿x1軸方向產(chǎn)生的共存混沌吸引子如圖6所示.

圖6展示了當(dāng)n=0,n=1和n=2時(shí)的混沌共存吸引子.圖6a中的混沌共存吸引子對應(yīng)的初值為(2i-3,0.1,-0.1),其中i=1,2;圖6b中的混沌共存吸引子對應(yīng)的初值為(2i-5,0.1,-0.1),其中i=1,2,3,4;圖6c中的混沌共存吸引子對應(yīng)的初值為(2i-7,0.1,-0.1), 其中i=1,2,3,4,5,6.這些混沌吸引子的共存形狀相似,但是軌跡并不相同.若繼續(xù)增大n的值,系統(tǒng)將會沿x1軸方向產(chǎn)生更多的混沌吸引子共存.

圖6 混沌吸引子共存Fig.6 Coexistence of attractors

其次,考慮用H2(x2)取代系統(tǒng)(5)中等式右邊的x2,得到如下系統(tǒng)：

(6)

系統(tǒng)(6)將會沿x1和x2軸方向產(chǎn)生共存的混沌吸引子,圖7分別給出了參數(shù)n為0、1、2時(shí)的吸引子.

圖7分別展示了2×2、4×4、6×6的吸引子,這些吸引子對應(yīng)的初始條件分別為(2i1-3,2j1-3,-0.1),(2i2-5,2j2-5,-0.1),(2i3-7,2j3-7,-0.1).其中:i1,j1=1,2;i2,j2=1,2,3,4;i3,j3=1,2,3,4,5,6.

圖7 x1和x2軸上的吸引子共存Fig.7 Coexistence of attractors on x1 and x2 axes

最后,考慮用H3(x3)取代系統(tǒng)(7)中等式右邊的x3,得到如下系統(tǒng)：

(7)

系統(tǒng)(7)將會沿x1、x2和x3軸方向產(chǎn)生共存的混沌吸引子,圖8分別給出了n為0、1時(shí)的系統(tǒng)(7)的吸引子.

圖8展示了2×2×2和4×4×4的吸引子,它們所對應(yīng)的初始值分別為(2i1-3,2j1-3,2k1-2.8)和(2i2-5,2j2-5,2k2-4.8),其中:i1,j1,k1=1,2;i2,j2,k2=1,2,3,4.

圖8 x1、x2和x3軸方向上的吸引子共存Fig.8 Coexistence of attractors on x1 、x2 and x3 axes

通過設(shè)置合適的參數(shù)系統(tǒng)能夠產(chǎn)生其他類型的吸引子.以系統(tǒng)(6)為例,設(shè)置參數(shù)a=1.1和a=0.98時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生的周期共存吸引子如圖9所示.

圖9展示了通過設(shè)置合適的參數(shù)而產(chǎn)生的周期共存吸引子.圖9a中周期1共存吸引子的初始值為(2i1-5,2j1-5,±0.1),其中：i1=1,2,3,4;j1=1,2,3,4.圖9b中周期2共存吸引子的初值為(2i2-5,2j2-5,±0.1),其中：i2=1,2,3,4;j2=1,2,3,4.

圖9 共存的周期吸引子Fig.9 Coexisting periodic attractors

通過上述研究表明,系統(tǒng)(1)在函數(shù)(5)的作用下,通過調(diào)整n可以改變吸引子共存的生成個(gè)數(shù).通常,若沿r個(gè)方向來產(chǎn)生吸引子的共存,系統(tǒng)(5～7)生成的吸引子共存?zhèn)€數(shù)至少為Nr=(2n+2)r,r=1,2,3.當(dāng)n→∞時(shí),Nr→∞,即吸引子共存?zhèn)€數(shù)趨近于無窮.

總的來說,混沌系統(tǒng)(1)在函數(shù)序列(5)的作用下具有復(fù)雜的動力學(xué)特性.隨著初始值的變化,系統(tǒng)在相空間中的軌跡將收斂到不同的混沌吸引子,這種復(fù)雜的動態(tài)行為所產(chǎn)生的序列在安全通信中有重要的應(yīng)用潛力.如在圖像加密領(lǐng)域,通常選擇具有復(fù)雜動態(tài)行為的混沌系統(tǒng)用來產(chǎn)生偽隨機(jī)序列，以提高加密的安全性能.基于混沌的加密算法通過選擇不同的混沌系統(tǒng)來生成偽隨機(jī)序列,文獻(xiàn)[30]正是利用了此思想.如以系統(tǒng)(7)為例,將整個(gè)混沌系統(tǒng)集合作為混沌發(fā)生器,則由不同初始值產(chǎn)生的吸引子就等同于混沌集的算法中的不同混沌系統(tǒng)中產(chǎn)生的共存混沌吸引子,這可以提高加密的可靠性和安全性.此外,通過增加n,隨著初始條件作為密鑰的空間將傾向于無窮大,目前的計(jì)算機(jī)將很難通過窮舉來破譯.

4 系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)

通過選擇模擬電路對系統(tǒng)模型(1)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證.在此次的電路設(shè)計(jì)中采用運(yùn)算放大器、電容、電阻及乘法器(增益為1)進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn).其中,乘法器可應(yīng)用在實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)中的非線性乘積項(xiàng),電容器可應(yīng)用在實(shí)現(xiàn)積分運(yùn)算中,可借用運(yùn)算放大器及其相關(guān)電阻構(gòu)成實(shí)現(xiàn)加、減以及積分運(yùn)算模塊.基于Multisim實(shí)現(xiàn)的電路原理圖如圖10所示,圖中U1=x1,U2=x2,U3=x3.

圖10 系統(tǒng)模型(1)的模擬電路原理圖Fig.10 System model (1) schematic diagram of analog circuit

根據(jù)電路定律得到以下微分電路方程：

(8)

將電路方程(8)進(jìn)行無量綱化處理,令

(9)

式(9)是將方程(8)與系統(tǒng)模型(1)作比較，并作如下取值：

(10)

依據(jù)上述數(shù)據(jù),對模型系統(tǒng)(1)的電路進(jìn)行驗(yàn)證,結(jié)果如圖11所示.

圖11 相圖Fig.11 The phase trajectory

從圖11可以發(fā)現(xiàn),模擬電路仿真結(jié)果與系統(tǒng)模型(1)仿真結(jié)果一致,表明了所提出的混沌系統(tǒng)模型(1)具有能夠?qū)崿F(xiàn)的可能性.

5 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)模型較為簡單的混沌系統(tǒng).通過動力學(xué)行為分析了該系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)性,并在其基礎(chǔ)上將雙曲正切函數(shù)引入該系統(tǒng),建立了具有可調(diào)數(shù)目的吸引子的共存.理論研究表明，該系統(tǒng)能夠生成無限多個(gè)吸引子的共存,并通過數(shù)值模擬仿真進(jìn)行了驗(yàn)證.在上述研究的基礎(chǔ)上,得到以下結(jié)論：

(1) 從建立具有簡單系統(tǒng)和復(fù)雜行為的角度出發(fā),建立了一個(gè)模型較為簡單的混沌系統(tǒng).

(2) 通過動力學(xué)分析驗(yàn)證了該系統(tǒng)具有復(fù)雜的多穩(wěn)態(tài)行為.

(3) 將雙曲正切函數(shù)加入該系統(tǒng),從而建立了具有可調(diào)數(shù)目的吸引子共存.

(4) 設(shè)計(jì)了模擬電路對系統(tǒng)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證,表明了混沌系統(tǒng)模型具有實(shí)現(xiàn)的可能性.

由于該系統(tǒng)的吸引子具有多穩(wěn)態(tài)性和可調(diào)數(shù)目,較于傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動力學(xué)特性,因此在安全通信等領(lǐng)域有良好的應(yīng)用潛力.