劉依依，鮑 慧

（華北電力大學(xué)，河北 保定 071003）

0 引言

被動(dòng)可重構(gòu)智能反射表面（Intelligent Reconfigurable Surfaces，IRS）由大量低成本無(wú)源反射元件組成，其中每個(gè)元件都可以獨(dú)立地調(diào)整反射信號(hào)的相移和幅度，從而能夠改變無(wú)線信道環(huán)境，提高接收端的信號(hào)質(zhì)量[1-4]。大規(guī)模多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）技術(shù)和IRS 技術(shù)相結(jié)合，可以在不增加系統(tǒng)發(fā)送功率以及帶寬的情況下，進(jìn)一步提高用戶的傳輸速率[5-6]。然而，IRS 反射鏈路具有“雙重衰落”的問(wèn)題，即通過(guò)此反射鏈路到達(dá)接收端的信號(hào)經(jīng)歷了兩次大規(guī)模衰落，這極大地限制了IRS 的性能。

為了克服雙重衰落，文獻(xiàn)[7]提出了有源IRS的結(jié)構(gòu)。不同于傳統(tǒng)被動(dòng)IRS，有源IRS 可以主動(dòng)放大信號(hào)，因此可以通過(guò)調(diào)整放大倍數(shù)以及相移，進(jìn)一步提高用戶速率。結(jié)果表明，在功耗相同時(shí)，文獻(xiàn)[7]提出的有源IRS 方案能夠達(dá)到比傳統(tǒng)無(wú)源IRS 方案更高的速率。文獻(xiàn)[8]研究了有源IRS 輔助的單用戶系統(tǒng)，分析了各種系統(tǒng)參數(shù)對(duì)有源IRS 的影響，并比較了主動(dòng)IRS 和被動(dòng)IRS 在不同條件下的表現(xiàn)。然而，有源IRS 在放大信號(hào)時(shí)引入了額外的噪聲，這是限制有源IRS 性能的重要因素[9-10]。為了在最大化信號(hào)功率和最小化IRS 噪聲之間取得平衡，本文提出了有源IRS 輔助大規(guī)模MIMO 的波束成形方案，利用連續(xù)凸逼近（Successive Convex Approximation，SCA）算法，在滿足相位和功率約束條件下，通過(guò)聯(lián)合優(yōu)化基站和IRS 處的波束成形，得到最大化用戶和速率的最優(yōu)解。

1 系統(tǒng)模型

如圖1 所示，考慮有源IRS 輔助大規(guī)模MIMO的通信系統(tǒng)，其中，存在一個(gè)天線數(shù)為M的基站，一個(gè)元件數(shù)為N的IRS 以及K個(gè)單天線合法用戶。令hk∈CM×1，F(xiàn)∈CN×M，gk∈CM×1分別表示從基站到用戶k、從基站到有源IRS 以及從有源IRS到用戶k的信道；Θ∈CN×M為IRS 相移矩陣；xk為用戶k的傳輸符號(hào)；wk為用戶k的波束形成向量；z～CN(0N,σz2IN)為有源IRS 產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)噪聲；nk～CN(0,σ2)為用戶k處的高斯白噪聲。

圖1 有源IRS 輔助大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)

則用戶k接收到的信號(hào)可以建模為：

得到用戶k的信號(hào)速率為：

式中：γk為用戶k處的信干噪比。通過(guò)聯(lián)合優(yōu)化基站波束成形向量和IRS 處的反射因子，可以最大化系統(tǒng)的和速率，優(yōu)化問(wèn)題可表示為：

式中：W=[w1,…,wk]；η是反射元件最大的放大因子；PT為基站發(fā)射功率限制；PImax為IRS 功率限制；θn為IRS 第n個(gè)元件角度。其中，（4b）和（4c）為基站和有源IRS 處的功率約束，（4e）為有源IRS的放大倍數(shù)約束。

2 聯(lián)合波束成形設(shè)計(jì)

為了解決優(yōu)化問(wèn)題（4），本文首先將其分解為兩個(gè)優(yōu)化子問(wèn)題，即基站預(yù)編碼W優(yōu)化子問(wèn)題以及有源IRS 反射因子Θ優(yōu)化子問(wèn)題。

2.1 基站預(yù)編碼W 優(yōu)化子問(wèn)題

固定Θ，優(yōu)化基站預(yù)編碼W，則優(yōu)化問(wèn)題變?yōu)椋?/p>

由于目標(biāo)函數(shù)的非凸性，原問(wèn)題是一個(gè)非凸問(wèn)題。首先通過(guò)引入輔助變量α=[α1,…,αk]T解決對(duì)數(shù)函數(shù)，將優(yōu)化問(wèn)題（5）中的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為：

式（6）通過(guò)令αk=γk可以證得，該步驟使得用戶和速率最大化問(wèn)題等價(jià)于信干噪比最大化問(wèn)題。接著，引入分式規(guī)劃輔助變量β=[β1,…,βk]T化簡(jiǎn)式（6）中的多比分式函數(shù)，將其分子分母解耦，可得到新的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式：

則問(wèn)題最終可表示為：

其中，對(duì)于固定的W和α，最優(yōu)的β可以通過(guò)求導(dǎo)獲得，求導(dǎo)公式為：

此時(shí)，問(wèn)題（8）為凸優(yōu)化問(wèn)題，可利用SCA算法解決，得到基站預(yù)編碼W優(yōu)化子問(wèn)題的最優(yōu)解。

2.2 有源IRS 反射因子Θ 優(yōu)化子問(wèn)題

固定W，優(yōu)化有源IRS 的預(yù)編碼矩陣Θ，則優(yōu)化問(wèn)題變?yōu)椋?/p>

優(yōu)化問(wèn)題的非凸性仍然來(lái)源于目標(biāo)函數(shù)。利用SCA 算法，通過(guò)與問(wèn)題（5）一樣的解決方案，可以獲得問(wèn)題（10）關(guān)于有源IRS 預(yù)編碼矩陣Θ的解。通過(guò)交替迭代算法求解子問(wèn)題（5）和（10），最終可以獲得最大化用戶和速率的最優(yōu)解。

3 復(fù)雜度和收斂性

在整個(gè)迭代過(guò)程中，由于SCA 算法具有收斂特性，因此在交替優(yōu)化發(fā)射端的波束形成矢量和IRS處的相移矩陣時(shí)，對(duì)于每一個(gè)優(yōu)化子問(wèn)題，均能保證其第j+1 次迭代后得到的優(yōu)化目標(biāo)值總是不小于第j次迭代后的目標(biāo)值，即每次迭代所產(chǎn)生的值是單調(diào)非遞減的。同時(shí)，由于發(fā)射總功率的限制，整個(gè)迭代過(guò)程是有限的，因此保證了算法的收斂性。

算法的復(fù)雜度由求解子優(yōu)化問(wèn)題（8）和（10）產(chǎn)生。令d1和d2分別為子優(yōu)化問(wèn)題每次迭代次數(shù)，其復(fù)雜度可分別由O(d1M4.5log(1/?))和 O(d2N4.5log(1/?))表示；因此，最大化用戶和速率問(wèn)題的總復(fù)雜度為O(d3O(d1M4.5log(1/?)+d2N4.5log(1/?)))。其中d3為優(yōu)化問(wèn)題（4）收斂所需的迭代次數(shù)，?為設(shè)置的收斂精度。

4 仿真分析

通過(guò)MATLAB 對(duì)有源IRS 輔助大規(guī)模MIMO系統(tǒng)進(jìn)行仿真，并對(duì)仿真參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。設(shè)基站和IRS 分別位于（0 m，0 m）和（80 m，10 m），用戶隨機(jī)分布在以（60 m，0 m）為圓心、半徑為10 m 的圓圈內(nèi)。假設(shè)所有的信道均服從瑞利衰落模型，將有源IRS 到合法用戶k的信道建模為gk=rkPLgk，其中rk為瑞利小尺度衰落，表示路徑損耗，ζ是單位距離上的信道增益，lrk為有源IRS到合法用戶k之間的距離，λrk=3.5 為有源IRS 到合法用戶k之間的路徑損耗指數(shù)?；镜接脩?、基站到IRS 的信道模型與有源IRS 到合法用戶k的信道模型類似，且將路徑損耗指數(shù)分別設(shè)置為λBk=3.5，λBR=2.2。除非特別說(shuō)明，設(shè)發(fā)射端天線數(shù)M=64，合法用戶數(shù)K=4?；竞陀性碔RS 處的最大功率均設(shè)為30 dBm，有源IRS 的放大因子η2為20 dB，噪聲功率設(shè)置為-80 dBm。

圖2 所示為不同IRS 反射元件數(shù)與和速率的關(guān)系，并比較了有源IRS 與傳統(tǒng)IRS 的性能。可以觀察到，用戶和速率隨著元件數(shù)量的增加而增加，且本文提出的有源IRS 的方案比傳統(tǒng)被動(dòng)IRS 方案表現(xiàn)出更好的性能。有源IRS 在N=5 時(shí)的用戶和速率已經(jīng)超過(guò)被動(dòng)IRS 在N=30 時(shí)的用戶和速率。結(jié)果表明，與被動(dòng)IRS 相比，有源IRS 可以節(jié)省更多的反射元件，從而大大降低IRS 的復(fù)雜性。此外，更少的元件數(shù)使得有源IRS 的表面積更小，更適合空間受限的場(chǎng)景。

圖2 IRS 反射元件數(shù)與和速率的關(guān)系

圖3 給出了系統(tǒng)和速率與基站的最大傳輸功率的關(guān)系，其中有源IRS 元件個(gè)數(shù)為10。可以觀察到，系統(tǒng)和速率隨著基站最大發(fā)射功率的增加而增加，且增加速度逐漸變緩。這是由于基站發(fā)射功率較小時(shí)，有源IRS 的功率約束并不起作用，可以輕松放大信號(hào)。而當(dāng)基站發(fā)射功率較大時(shí)，有源IRS需要消耗更多功率來(lái)放大信號(hào)，此時(shí)有源IRS 輔助MIMO 系統(tǒng)受到放大功率約束的限制。此外，IRS放大因子較大時(shí)，系統(tǒng)具有更好的性能，且可以降低基站處消耗的發(fā)射功率。從圖3 中可以得知，當(dāng)基站發(fā)射功率為34 dBm 時(shí)，有源IRS 的和速率比被動(dòng)IRS 的和速率高11.6%。在未來(lái)有源IRS 設(shè)計(jì)中，放大因子和IRS最大功率都需要根據(jù)實(shí)際情況仔細(xì)設(shè)計(jì)。

圖3 和速率與基站最大傳輸功率的關(guān)系

圖4 顯示了系統(tǒng)和速率與合法用戶數(shù)量的關(guān)系，其中有源IRS 元件個(gè)數(shù)為10?？梢杂^察到，有源IRS 和被動(dòng)IRS 的和速率隨用戶數(shù)量單調(diào)增加，但增長(zhǎng)速率逐漸變慢，這是由于用戶之間的干擾以及功率限制的存在。

圖4 和速率與合法用戶數(shù)量的關(guān)系

由圖2 可知，當(dāng)用戶數(shù)為5 時(shí)，有源IRS 的和速率比被動(dòng)IRS 高15.7%，有源IRS 很好地解決了被動(dòng)IRS 的雙重衰落效應(yīng)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于有源IRS 的波束成形設(shè)計(jì)方案。首先，通過(guò)研究表明，利用有源IRS 輔助大規(guī)模MIMO 進(jìn)行通信傳輸，可以有效地降低雙重衰落效應(yīng)的影響，減少系統(tǒng)功率消耗，提高系統(tǒng)速率性能；其次，通過(guò)調(diào)整基站和IRS 處的波束成形，在功率和IRS 相位的約束下，利用連續(xù)凸逼近算法和交替迭代算法得到了最大化用戶和速率的最優(yōu)解。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)被動(dòng)IRS 相比，有源IRS 在空間受限等場(chǎng)景具有很大潛力。此外，本文研究表明，在未來(lái)有源IRS 設(shè)計(jì)中，放大因子和IRS 都是值得考量的因素。