岳麗霞, 孟海霞

(蘭州交通大學 數(shù)理學院,甘肅 蘭州 730070)

本文研究具有非局部邊界條件的非線性反應擴散方程解的性質:

(ⅱ)a(x)>0,x∈Ω,a(x)=0,x∈?Ω.

許多物理、化學和生物種群動力學現(xiàn)象都可以用具有非局部源的拋物型方程來描述, 具體可參考文獻[1-8]. 例如, 方程(1)描述了一些牛頓流體通過多孔介質時的濃度擴散以及某些生物種群在遷移過程中的密度擴散. 此外, 熱彈性學中的一些現(xiàn)象也可以抽象為具有非局部邊界條件的拋物型方程. 近些年, 具有非局部反應源的拋物型方程已被廣泛研究. 特別地, Song[1]利用輔助函數(shù)構造法及微分不等式技巧研究了具有Neumann和Dirichlet邊界條件的非線性反應擴散方程爆破時間的上、下界. 王玉蘭等[2]利用上下解方法研究了Dirichlet非局部邊界條件下具有阻尼項的反應擴散方程全局解存在和不存在的條件并對爆破解的速率作了估計. Cui等[3]利用上下解方法研究了具有非局部邊界條件以及非局部反應源的反應擴散方程爆破解、全局解存在的條件, 并估計了爆破速率. 劉丙辰等[4]利用上下解方法研究了Neumann非局部邊界條件下具有非線性非局部源的反應擴散方程的爆破現(xiàn)象, 得到了該問題的解全局存在的條件、一維空間中的爆破率以及高維空間中爆破時間的上、下界.本文的主要目的是結合文獻[2,4]的方法研究具有非局部反應源和非局部邊界條件的問題. 具體而言, 考慮非局部非線性項、阻尼項和非局部邊界對問題(1)解的影響. 由于本文研究的是與文獻[2,4]不同的反應項和擴散項, 需構造完全不同的上解和下解, 利用上下解方法得到該問題的整體解和爆破解的存在性定理. 此外, 當爆破發(fā)生時, 構造新的輔助函數(shù), 利用微分不等式技巧對爆破時間的上、下界作了估計.

1 預備知識

則稱u(x,t)在有限時間內爆破.

下解的定義類似于每個不等式的逆解.

則問題(1)的解u(x,t)也一定在有限時間內爆破.

2 解的存在性

設μ和φ是特征值問題

定理3若p+q

證明假設存在0<ε<1, 選擇一個l, 使得

其中

則有

對于x∈?Ω, 有

3 爆破

設λ和φ是特征值問題

的第一特征值及其對應的特征函數(shù), 其中λ>0,φ>0.

引理1設v(t)是問題

的唯一解, 其中v(0)≥φ(x),則v(t)發(fā)生爆破.

定理4若p+q>s,u0(x)≥φ(x),則問題(1)存在爆破解.

λφ(x)eλt-Δφ(x)eλt-

2λφ(x)eλt-a(x)φp+q(x)eλ(p+q)t+eλstφs(x)≤0.

定理5設0

由文獻[5]引理2.1得

其中

由H?lder不等式得

定理6設1

由H?lder不等式得

則

由Young不等式得

所以

Φ′(t)≥

其中

由H?lder不等式得

Φ′(t)≥M1Φp+q(t)-M2,

對上式在(0,t*)上積分可得結果.證畢.

4 結論

本文研究了具有阻尼項的反應擴散方程(1)的爆破問題, 采用上下解方法得到了問題(1)整體解和爆破解的存在性定理. 將輔助函數(shù)法與微分不等式技巧相結合得到爆破時間的上、下界. 經(jīng)研究發(fā)現(xiàn), 問題(1)的解是全局存在還是會發(fā)生爆破取決于參數(shù)的大小.