楊傳富, 張忠鼎
(1.南京理工大學 數(shù)學系,南京 210094; 2.南京農業(yè)大學 人工智能學院,南京 210031)
2021年第十一屆全國決賽(數(shù)學類高年級組)全國大學生數(shù)學競賽決賽試題第二大題如下:
題A考慮單葉雙曲面S∶x2-y2+z2=1.(i)證明:S上同一族直母線中任意兩條不同的直母線是異面直線;(ii)設S上同一族直母線中的兩條直母線分別經過M1(1,1,1)與M2(2,2,1)兩點,求這兩條直母線的公垂線方程以及這兩條直母線之間的距離.
這是一道空間幾何問題,運用向量等知識可以給出該問題求解[1].而本文欲從微分學中極值觀點將兩直線(曲線)間距離視為兩直線(曲線)上任意兩點距離的最小值來給出本題解法.
問題等價于求直母線
(λ1μ2≠λ2μ1)的距離,進而判斷其是異面直線等問題.
由S上同一族直母線中的兩條直母線分別經過M1(1,1,1)與M2(2,2,1)兩點,可知這兩條直母線方程分別為
即
其參數(shù)方程分別為
L1,1∶x1=1,y1=t+1,z1=t+1,L1,2∶x2=3s+2,y2=5s+2,z2=4s+1.
令P1(x1,y1,z1)∈L1,1與P2(x2,y2,z2)∈L1,2距離為d(s,t),則
d2(s,t)=(3s+1)2+(5s-t+1)2+(4s-t)2(s,t∈).
下面求二元函數(shù)d(s,t)(s,t∈)的最小值.由
事實上,對空間兩條直線Γ1與Γ2,用多元函數(shù)極值法求得Γ1與Γ2上任意兩點距離d(s,t)獲取極值的駐點個數(shù)N及極值d.針對(N,d)就可以判斷Γ1與Γ2的位置關系見圖1.
圖1 (N,d)與線-線位置關系
例1判斷下列兩直線位置關系:
解(i)L1上點P1(s,s,s)與L2上點P2(1+t,1+t,t)的距離d(s,t):
d2(s,t)=2(1+t-s)2+(t-s)2.
由
同樣求得(ii)中問題唯一駐點s0=t0=0, 此時最小距離d(s,t)|(s0,t0)=0.由圖1知L1與L2相交.(iii)中問題無窮個駐點:t0-s0=-2, 此時最小距離d(s,t)|(s0,t0)=0, 由圖1知L1與L2重合.
解L1上點P1(-1+s,s,1+2s)與L2上點P2(t,-1+3t,2+4t)的距離d(s,t):
d2(s,t)=(-1+s-t)2+(1+s-3t)2+(-1+2s-4t)2(s,t∈).
由
解L1上點P1(t,t,0)與L2上點P2(2+4s,1-2s,3-s)的距離d(s,t):
d2(s,t)=(2+4s-t)2+(1-2s-t)2+(3-s)2.
解問題(i)的求解.L上點P1(t,t,t)與L′上點P2(s,as,b+s)的距離d(s,t):
d2(s,t)=(t-s)2+(t-as)2+(t-b-s)2.
由
得
例5(第六屆中國大學生數(shù)學競賽數(shù)學類預賽試題) 已知空間兩條直線
(i)證明L1和L2異面;(ii)求L1和L2的公垂線的標準方程;(iii)求連接L1上任一點和L2上任一點線段中點軌跡的一般方程.
解問題(i)與(ii)的求解.L1上點P1(4+s,3-2s,8+s)與L2上點P2(-1+7t,-1-6t,-1+t)的距離d(s,t):
d2(s,t)=(5+s-7t)2+(4-2s+6t)2+(9+s-t)2.
可以運用上面用極值法討論空間直線-直線位置關系的思想分析直線-平面及平面-平面的位置關系.
空間直線Γ:x=x1(t),y=y1(t),z=z1(t),平面π:x=x2(u),y=y2(v),z=z2(u,v).Γ上點P1(x1(t),y1(t),z1(t))與平面π上點P2(x2(u),y2(v),z2(u,v))的距離
d(t,u,v)∶=|P1P2|.
運用極值法求得函數(shù)取得極值的駐點個數(shù)N及極值d.由(N,d)就可判斷Γ與平面π位置關系如下:
圖2 (N,d)與線-面位置關系
同樣面-面位置關系如下(mes.N表示駐點集在2中測度)
圖3 (mes.N,d)與面-面位置關系
微分學中最(極)值問題在幾何、物理及實際問題中具有重要應用,本文利用函數(shù)極值方法解決幾何中一些距離及位置關系等問題.幾何問題中曲線-曲面間的距離實際上是其上兩點間距離的最(極)小值,因此曲線-曲面間距離的值及相關量某種程度上反映了曲線-曲面間的位置關系.本文通過對具體幾何問題適當簡化、建模,再抽象出一個數(shù)學極值問題,最后運用數(shù)學方法加以解決[2].本文運用極值思想給出一類幾何題的統(tǒng)一方法,并將此方法推廣到空間線-面位置關系等判斷中,表明極值法求解幾何問題的靈活性、廣泛性及統(tǒng)一性.
致謝作者非常感謝審稿專家提出的寶貴意見.