李品鈞

(湛江幼兒師范專(zhuān)科學(xué)校信息科學(xué)系 廣東 湛江 524037)

對(duì)于大學(xué)物理初學(xué)者而言，從高中物理過(guò)渡到大學(xué)物理，因其科研能力培養(yǎng)的指向變得更加明顯，對(duì)學(xué)生的歸納思維、形象思維、發(fā)散思維提出了幾乎是階躍式的要求.如何讓學(xué)生從“溫故”到“知新”再進(jìn)一步到“創(chuàng)新”，是大學(xué)物理教學(xué)最重要的任務(wù)之一．完成這一任務(wù)需要教師具有“以舊引新”“以小見(jiàn)大”的指引功夫，其支撐點(diǎn)有二：循序漸進(jìn)的教學(xué)手段和淵博的物理學(xué)知識(shí)．

下面以“江中竹排”這一問(wèn)題為例展開(kāi)論述，對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的基本概念進(jìn)行介紹和延伸(課程結(jié)構(gòu)按圖1所示的思路展開(kāi))，通過(guò)調(diào)動(dòng)學(xué)生的歸納思維、形象思維和發(fā)散思維，對(duì)基本概念在深度、廣度和趣味性等方面進(jìn)行拓展，實(shí)現(xiàn)學(xué)生科學(xué)素質(zhì)的提高.

圖1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)思路

1 引入問(wèn)題 引導(dǎo)學(xué)生歸納概括 抽取問(wèn)題實(shí)質(zhì)

“小小竹排江中游，巍巍青山兩岸走……”這句極富畫(huà)面感和動(dòng)態(tài)感的歌詞非常形象地道出了以不同景物作為參照系所帶來(lái)的不同物理情景的主觀判斷，以至于被中學(xué)物理教材選用為輔助理解素材.由竹排問(wèn)題可知，選用的參考系不同，對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就會(huì)得到完全不同的判斷.竹排上的人認(rèn)為自己不動(dòng)而青山在動(dòng)(因?yàn)樗x擇了竹排作為參考系)，岸上的人認(rèn)為青山不動(dòng)而竹排在游(因?yàn)樗x用了江岸作為參考系)，相對(duì)于不同的參考系，物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(速度)就不同，因而就有了相對(duì)速度的概念.接下來(lái)很自然的問(wèn)題是：同一物體在不同參考系中的速度之間有什么聯(lián)系？下面假設(shè)人在竹排上行走，如果用v人排表示人相對(duì)竹排的運(yùn)動(dòng)速度，v排岸表示竹排相對(duì)江岸的運(yùn)動(dòng)速度，那么人相對(duì)于江岸的速度滿足如下疊加關(guān)系

v人岸=v人排+v排岸

(1)

可以對(duì)此式進(jìn)行歸納和推廣成為下面的形式

van=va1+v12+v23+…+v(n-1)n

(2)

其中的van表示物體a相對(duì)物體n的速度，其余以此類(lèi)推.特別要注意的是，等式右邊各項(xiàng)的下標(biāo)排列規(guī)律：前一項(xiàng)下標(biāo)中的末位與后一項(xiàng)下標(biāo)中的首位要相同，否者等式不成立.舉個(gè)特例，上述竹排上的人身上有一只昆蟲(chóng)以相對(duì)人的速度v蟲(chóng)人在爬行.那么可知，蟲(chóng)子相對(duì)于江岸的運(yùn)動(dòng)速度為

v蟲(chóng)岸=v蟲(chóng)人+v人排+v排岸

(3)

上述歸納公式形式簡(jiǎn)單，在具體的解題應(yīng)用中體現(xiàn)出較大的便利性.

2 設(shè)置趣味演示實(shí)驗(yàn) 調(diào)動(dòng)學(xué)生形象思維分析問(wèn)題

教師于課堂上選擇適當(dāng)位置，雙手抱住一個(gè)籃球和一個(gè)乒乓球，讓乒乓球緊貼在籃球的頂端，提示學(xué)生注意觀察，接著釋放兩球.

現(xiàn)象：兩球同步降落，著地以后反彈，發(fā)現(xiàn)兩球反彈之后，籃球的反彈高度比初始高度明顯降低，但乒乓球的反彈速度大大增加，甚至以較大的速度撞到了教室天花板，學(xué)生對(duì)此表現(xiàn)出極大的興趣.此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題作如下的分析.

如圖2所示，將大、小球體系的著地反彈過(guò)程進(jìn)行分解.為便于敘述，我們將大球用大寫(xiě)字母A表示，小球用B表示，教室用C表示.在圖2(a)中，大球著地后開(kāi)始反彈，由于碰撞總需要一定的時(shí)間傳遞，所以小球的反彈必然在大球反彈之后.于是大球反彈之后的瞬間，小球仍以原速降落.此時(shí)假想我們(觀察者)就靜止在教室里，觀察到的現(xiàn)象是：大球以著地前瞬間速率v反彈，即

vAC=v

而小球仍以速率v下降(即將與大球碰撞)即

vBC=-v

這時(shí)，假想我們縮小為一個(gè)“蟻人”進(jìn)入大球中但未與大球接觸[因而不會(huì)影響體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，見(jiàn)圖2(b)].由于我們身處大球之中，感官上必然選擇大球作為參考系，此時(shí)我們觀察到的小球速度實(shí)際上就是小球相對(duì)于大球的運(yùn)動(dòng)速度，利用前面總結(jié)出來(lái)的公式，可得這個(gè)速度為

vBA=vBC+vCA

式中vCA是教室相對(duì)大球的運(yùn)動(dòng)速度，現(xiàn)選擇豎直向上為正方向，則

vCA=-vAC=-v

同時(shí)可得

vBA=-v+(-v)=-2v

圖2 小球的彈弓效應(yīng)

動(dòng)能正比于速度的平方，由此可見(jiàn)小球在碰撞之后動(dòng)能是碰撞之前的9倍，反彈高度大大增加也就不奇怪了.

3 調(diào)動(dòng)學(xué)生歸納思維 對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象提煉

教師引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)抽象思維對(duì)上述現(xiàn)象進(jìn)行歸納總結(jié)：

(1)兩體碰撞(相互作用)問(wèn)題.

(2)質(zhì)量懸殊.

(3)相互作用力為保守力.

簡(jiǎn)而言之就是：在兩個(gè)質(zhì)量懸殊物體的彈性碰撞過(guò)程中，小質(zhì)量物體在碰撞之后可以獲得相當(dāng)可觀的速度(動(dòng)能)增量.物理學(xué)家把這種現(xiàn)象形象地稱(chēng)之為“彈弓效應(yīng)”[1]，由于其加速作用的奇特性(不需要人為做功或燃燒燃料)，引起了人們極大的興趣，也成為物理教學(xué)工作者常常討論的話題[2-4].

4 運(yùn)用發(fā)散思維 注重實(shí)際應(yīng)用 激發(fā)學(xué)生的科學(xué)探索熱情

4.1 引力彈弓的加速原理簡(jiǎn)析

教師提出設(shè)問(wèn)：能否利用彈弓效應(yīng)在相關(guān)的工程之中對(duì)物體加速?gòu)亩?jié)省能源？然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)照分析：在航天飛行中，飛船略過(guò)某行星時(shí)，完全滿足第3節(jié)所述的3個(gè)條件.

(1)飛船掠過(guò)行星可以看作是一次無(wú)接觸的碰撞.

(2)飛行器與行星的質(zhì)量相差懸殊(懸殊程度甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)乒乓球和籃球之間的質(zhì)量差).

(3)飛行器與行星之間的作用力是萬(wàn)有引力，萬(wàn)有引力是保守力.

既然3個(gè)條件完全滿足，那么前面所設(shè)問(wèn)題的答案就當(dāng)然是肯定的.在航天領(lǐng)域，人們管這種加速方式為“引力彈弓”或“引力推進(jìn)”.航天史上的“旅行者號(hào)(1和2)”“伽利略號(hào)”“卡西尼-惠更斯號(hào)”等航天飛行器都用到了引力彈弓的加速機(jī)制.從普通尺度兩體問(wèn)題的加速作用到航天領(lǐng)域中的飛船加速應(yīng)用，這種天馬行空般的想象力以及從猜想到理論計(jì)算再到工程上的實(shí)際應(yīng)用，使得物理學(xué)這一門(mén)自然科學(xué)能夠像一門(mén)藝術(shù)一樣給人們以極妙的美感，而精通這門(mén)藝術(shù)的“藝術(shù)家”們正是那些頂尖的物理學(xué)家以及工程師們.前面提到的“旅行者1、2”號(hào)姊妹宇宙飛船堪稱(chēng)這些藝術(shù)品中的絕美之作，它們巧妙地利用了據(jù)說(shuō)要175年才能出現(xiàn)一次的4顆外星(木星、土星、天王星和海王星)的“行星連珠”現(xiàn)象，逐次地利用彈弓原理進(jìn)行加速，向著太陽(yáng)系的外圍進(jìn)發(fā).1989年，旅行者2號(hào)成為首次越過(guò)海王星的航天飛船.2012年，旅行者1號(hào)越過(guò)了星際空間邊界，同年，旅行者2號(hào)則已位于太陽(yáng)系的外圍[5].

旅行者號(hào)具體的軌跡和速度計(jì)算是一項(xiàng)浩大而復(fù)雜的工程，為了能向具有中學(xué)物理基礎(chǔ)的學(xué)生介紹這一工作，我們必須將模型簡(jiǎn)化.這部分工作分以下幾步進(jìn)行.

(1)選定研究對(duì)象與過(guò)程，以圖3中1986年1月24日旅行者2號(hào)飛越天王星為素材，適當(dāng)簡(jiǎn)化作為例題以供教學(xué)訓(xùn)練.

(2)提示學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源獲取素材，從百度百科或NASA官網(wǎng)上可以查到(本文引用的是百度百科的數(shù)據(jù))，天王星的質(zhì)量為8.681 0×1025kg(取自百度百科“天王星”條目[6])，而旅行者號(hào)飛船的質(zhì)量為721.9 kg(取自百度百科“旅行者號(hào)”條目[7]).前者質(zhì)量為后者質(zhì)量的1 023倍.滿足前面第3節(jié)總結(jié)的特征(2).

(3)從百度百科“天王星”條目[6]查得天王星的繞日公轉(zhuǎn)速度為24 607 km/h，折合約7 000 m/s.從1992年出版的較為權(quán)威的百科全書(shū)[8]查得旅行者2號(hào)飛離太陽(yáng)系的平均速度約為14.9 km/s(被加速幾次之后的數(shù)值).作為例題，我們將旅行者2號(hào)的入射速率取為10 000 m/s.從圖3我們可以看到，由于天王星的引力偏轉(zhuǎn)作用，旅行者2號(hào)越過(guò)天王星以后，飛行軌跡與天王星的公轉(zhuǎn)方向的夾角變小了.仍然出于只是作為例題訓(xùn)練的考量，入射角和出射角我們不取實(shí)際值，大約估計(jì)之后分別取60°和45°.基于上面的設(shè)定之后，組織學(xué)生分組討論或獨(dú)立求解飛船的出射速度和速度增量，驗(yàn)證彈弓效應(yīng)的加速作用.隨后，教師給出如下的分析指引.

圖3 旅行者號(hào)飛行軌跡(圖片來(lái)源：參考文獻(xiàn)[5])

圖4 入射前后飛行器在兩個(gè)參考系中的速度矢量關(guān)系

vvs=vvu+vus

(4)

或

(5)

把|vvs|=10 000 m/s、vus=7 000 m/s代入算得

又由△OAC的余弦定理可得

(6)

4.2 減速?gòu)椆c維速?gòu)椆?/h3>

在中學(xué)物理階段，我們按照傳統(tǒng)的方法，習(xí)慣性地會(huì)將飛船在日心系中的速度稱(chēng)為絕對(duì)速度，將天王星中心在日心系內(nèi)的速度(也就是天王星的公轉(zhuǎn)速度)稱(chēng)為牽連速度，而將飛船在天心系中的速度稱(chēng)為相對(duì)速度.我們常將式(1)和式(4)概括性地陳述為：

絕對(duì)速度=相對(duì)速度+牽連速度

利用這個(gè)陳述，學(xué)生很容易通過(guò)圖4搞懂彈弓效應(yīng)的加速機(jī)制，通過(guò)認(rèn)真觀察圖4我們可以總結(jié)出如下的規(guī)律：所謂的彈弓效應(yīng)，就是在相互作用過(guò)程的前后，牽連速度不變，相對(duì)速度大小也不變，而它們之間的夾角由大變小(兩者的方向更接近了)，從而使得它們的矢量和(也就是絕對(duì)速度)的數(shù)值變大了[2].這個(gè)規(guī)律概括出來(lái)以后，發(fā)散思維立即又可以派上用場(chǎng)了，有沒(méi)有可能經(jīng)過(guò)彈弓效應(yīng)之后速率不變或反而減小的情況？當(dāng)然有可能！

從上面概括的規(guī)律可知，如果飛船的出射方向與行星的公轉(zhuǎn)方向之間的夾角大于入射方向與公轉(zhuǎn)方向之間的夾角(這種情況下，飛行器繞行星飛了大半圈折回出射，見(jiàn)圖4中物理量帶兩撇的情況，其中∠OAD>∠OAB)，那么從日心系看來(lái)，飛船的出射速率就會(huì)小于入射速率(即|vvs″|<|vvs|)，這時(shí)候引力彈弓就成了“減速?gòu)椆保瑴p速?gòu)椆诤教旌娇疹I(lǐng)域也大有可為，當(dāng)我們發(fā)送一個(gè)探測(cè)器進(jìn)入某個(gè)行星的引力范圍時(shí)，如果不加以減速的話，由于保守力的性質(zhì)，最終飛行器還會(huì)逃逸離開(kāi)，這樣探測(cè)器就沒(méi)辦法對(duì)行星繞行觀測(cè)了.這種情況，如果該行星有衛(wèi)星的話，我們就可以設(shè)定好探測(cè)器飛行方向與該衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)方向的夾角，用該衛(wèi)星對(duì)探測(cè)器起到減速的彈弓效應(yīng)，使探測(cè)器減速?gòu)亩恍行堑囊Σ东@，繼而實(shí)現(xiàn)繞星飛行.

至于“維速?gòu)椆?，其?shí)我們?cè)缫阉究找?jiàn)慣.正如伽利略的杰出著作《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話》中所述：

“……把你和一些朋友關(guān)在一條大船甲板下的主艙里，再讓你們帶上幾只蒼蠅、蝴蝶和其他小飛蟲(chóng)……使船以任何速度前進(jìn)，只要運(yùn)動(dòng)是勻速的，你會(huì)發(fā)現(xiàn)……蝴蝶和蒼蠅會(huì)在艙內(nèi)隨便地到處飛行，它們也絕不會(huì)向船尾集中，并不因?yàn)樗鼈兛赡荛L(zhǎng)時(shí)間留在空中，脫離了船的運(yùn)動(dòng)，為趕上船的運(yùn)動(dòng)顯出累的樣子……”

這里的勻速運(yùn)動(dòng)的船艙，就是能使蒼蠅、蝴蝶和其他小飛蟲(chóng)維持速度而不自知的“維速?gòu)椆?常見(jiàn)的類(lèi)似例子還有：在夏秋之交的黃昏時(shí)分，當(dāng)我們漫步在草地上或者湖邊的時(shí)候，總有一群類(lèi)似蚊子的小飛蟲(chóng)在我們頭頂上盤(pán)旋飛舞，這群小飛蟲(chóng)可以跟著我們的步伐飛行幾公里而沒(méi)有疲憊的樣子，原理跟上面的情形也大致相同.

4.3 彈弓效應(yīng)與氣體的功能關(guān)系

我們知道，對(duì)于一個(gè)封閉氣缸，如果施力推動(dòng)活塞壓縮氣體，則氣缸內(nèi)的氣體溫度會(huì)上升，反之，如果任由氣體對(duì)活塞施力而向外膨脹，則氣體溫度會(huì)下降.通常我們用功能原理說(shuō)明這一現(xiàn)象.但是，如果運(yùn)用“彈弓效應(yīng)”來(lái)解釋這個(gè)現(xiàn)象，卻可以得到畫(huà)面感極強(qiáng)的解說(shuō)效果.這需要調(diào)動(dòng)我們的發(fā)散思維和概括思維.首先是發(fā)散思維，我們前面介紹了“彈弓效應(yīng)”的常規(guī)尺度和天體尺度的應(yīng)用，那么，在微觀尺度是不是也有它的用武之地？這是利用發(fā)散思維自然會(huì)考慮到的.其次，還需要進(jìn)一步調(diào)動(dòng)歸納思維對(duì)彈弓效應(yīng)的加速機(jī)制進(jìn)行抽象概括.

根據(jù)4.2中的歸納我們知道，如果兩質(zhì)量懸殊物體在保守力作用下相對(duì)速度(小質(zhì)量物體在大質(zhì)量物體質(zhì)心系內(nèi)的速度)與牽連速度(大質(zhì)量物體在實(shí)驗(yàn)室系內(nèi)的速度)之間的夾角由大變小，那么相互作用結(jié)束之后小質(zhì)量物體的絕對(duì)速度將變大，反之將變小.這時(shí)我們可以考慮兩種碰撞過(guò)程：“迎頭碰”和“追尾碰”.在迎頭碰中，兩物體碰撞之前的速度方向相反(夾角為180°)，碰撞以后速度方向相同(夾角為零)，故小質(zhì)量物體的速率將變大(如前面小球的彈弓效應(yīng)演示實(shí)驗(yàn)).而在追尾碰中，情況卻恰恰相反，所以碰撞之后小質(zhì)量物體的絕對(duì)速率會(huì)變慢.

誠(chéng)如前面所說(shuō)，用“迎頭碰”和“追尾碰”的觀點(diǎn)可以解釋前面提到的做功改變汽缸中氣體溫度的動(dòng)態(tài)機(jī)制.施力壓縮活塞時(shí)，活塞與內(nèi)部氣體分子之間發(fā)生的碰撞為“迎頭碰”，這時(shí)氣體分子的動(dòng)能會(huì)增加，因而溫度會(huì)升高；相反，當(dāng)活塞被往外抽離時(shí)，氣體分子由于擴(kuò)散作用會(huì)追隨活塞往外運(yùn)動(dòng)，因而發(fā)生的碰撞為“追尾碰”，這時(shí)氣體分子的動(dòng)能會(huì)減少，因而溫度會(huì)降低[9].

5 總結(jié)與拓展

本教學(xué)設(shè)計(jì)從竹排問(wèn)題出發(fā)，引出相對(duì)速度的概念，應(yīng)用歸納思維，得出了研究對(duì)象在不同參考系中的速度變換公式(實(shí)際上就是伽利略變換).在此基礎(chǔ)上應(yīng)用形象思維可以較為簡(jiǎn)易地解釋小球的彈弓效應(yīng)，隨后以彈弓效應(yīng)為核心，運(yùn)用發(fā)散思維對(duì)幾個(gè)有趣的問(wèn)題展開(kāi)了分析討論.我們發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)單的物理原理，只要教師積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種有效的思維方式，就可以使得課堂的深度、廣度和趣味性得到保證.對(duì)于有一定基礎(chǔ)的大學(xué)物理學(xué)習(xí)者，文中提到的幾種思維方法仍有用武之地，可以用上面的原理來(lái)解釋沖浪中的加速機(jī)制、光和聲波的多普勒效應(yīng)、磁力彈弓、宇宙射線的加速機(jī)制等等[9].而彈弓效應(yīng)的加速原理，除了用到本文中所提的伽利略變換以外，也可以用洛倫茲變換矩陣作用于四維動(dòng)量而得到[10]，其法簡(jiǎn)潔而優(yōu)美.另外還可以用經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓量與能量之間的關(guān)系得到[11].