黎楊，程莉

FDTD算法與Matlab仿真在電磁場(chǎng)與電磁波教學(xué)中的應(yīng)用

黎楊，程莉

（武漢工程大學(xué) 電氣信息學(xué)院，湖北 武漢 430205）

麥克斯韋方程組是電磁場(chǎng)與電磁波課程中最核心的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，物理量的抽象性、數(shù)學(xué)運(yùn)算的復(fù)雜程度和預(yù)言產(chǎn)生電磁波等這些方程組的性質(zhì)學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)特別困難．從麥克斯韋方程組的微分形式出發(fā)，使用時(shí)域有限差分法（FDTD）推演時(shí)變電場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)在Yee胞中的空間和時(shí)間維度更新過(guò)程，借助于Matlab編程實(shí)現(xiàn)，可視化演示了電磁波的產(chǎn)生和傳播過(guò)程，使學(xué)生更深入、更直觀地理解“由麥克斯韋方程組預(yù)言電磁波的產(chǎn)生”這一重要性質(zhì)．

電磁場(chǎng)與電磁波；麥克斯韋方程組；時(shí)域有限差分法

電磁場(chǎng)與電磁波是電子信息類本科專業(yè)學(xué)生的一門必修專業(yè)基礎(chǔ)課．這門課的理論性比較強(qiáng)，要求學(xué)生具備扎實(shí)的微積分、矩陣分析、矢量場(chǎng)等數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，繼而具備推導(dǎo)、理解復(fù)雜公式的能力[1]．麥克斯韋方程組是電磁場(chǎng)與電磁波課程中最核心的知識(shí)點(diǎn)，如何讓學(xué)生通過(guò)前期的電場(chǎng)、磁場(chǎng)基本理論積累，理解掌握麥克斯韋方程組的物理意義和數(shù)學(xué)表達(dá)形式，并最終導(dǎo)出電磁波的產(chǎn)生和傳播，是貫穿課程教學(xué)的核心知識(shí)脈絡(luò)．

考慮到抽象而復(fù)雜的麥克斯韋方程組公式，給學(xué)生的學(xué)習(xí)增加了不少困難．在單純的微積分和矢量運(yùn)算公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，借助于計(jì)算機(jī)仿真軟件，能夠讓學(xué)生更直觀地看到麥克斯韋方程組的解確實(shí)產(chǎn)生了電磁波．現(xiàn)有的電磁波可視化教學(xué)多是基于Matlab，HFSS等仿真軟件平臺(tái)[2-5]．從學(xué)習(xí)的角度而言，相比于工程應(yīng)用的HFSS，Matlab仿真在公式的編程實(shí)現(xiàn)、參數(shù)的自定義設(shè)置、靈活的可視化觀察等方面有優(yōu)勢(shì)．然而，現(xiàn)有的基于Matlab的電磁波可視化教學(xué)，多是直接對(duì)麥克斯韋方程組的平面波解進(jìn)行仿真[3]53，因而編程方面只是一個(gè)正弦（或余弦）函數(shù)的可視化展現(xiàn)，很難讓學(xué)生從本質(zhì)上理解“時(shí)變的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)”“時(shí)變的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)”這一電磁波產(chǎn)生的物理過(guò)程．

理論公式、數(shù)值算法、編程實(shí)現(xiàn)這是大多數(shù)工科學(xué)生在高年級(jí)及研究生學(xué)習(xí)或工程實(shí)踐中需要熟悉的項(xiàng)目流程．在電磁場(chǎng)與電磁波課程教學(xué)過(guò)程中，針對(duì)麥克斯韋方程組這一核心知識(shí)點(diǎn)，引入了理論、算法、實(shí)現(xiàn)，再加上結(jié)果的可視化觀察這一貫序性的教學(xué)模式，讓學(xué)生在理論推導(dǎo)的同時(shí)，鍛煉了算法設(shè)計(jì)和編程實(shí)現(xiàn)能力，從而使學(xué)生更好地掌握麥克斯韋方程組中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)和物理知識(shí)．

本文從麥克斯韋方程組的微分形式開始，依靠時(shí)域有限差分法（FDTD），借助于Matlab軟件工具，沿著“公式釋義、求解方法、算法原理、數(shù)值編程、仿真實(shí)現(xiàn)、結(jié)果可視化”這一知識(shí)脈絡(luò)，給學(xué)生講解麥克斯韋方程組產(chǎn)生電磁波這一過(guò)程，有助于學(xué)生深刻理解麥克斯韋方程組的內(nèi)涵，以及提高數(shù)值計(jì)算方法和軟件編程實(shí)現(xiàn)的能力．

1 麥克斯韋方程組

推導(dǎo)出4個(gè)麥克斯韋方程后，從4個(gè)方面給學(xué)生科普，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣[6-7]：（1）從科學(xué)歷史的角度給學(xué)生總結(jié)4個(gè)方程的演變，讓學(xué)生感受重要科學(xué)成果的艱難歷史，激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)問(wèn)題的長(zhǎng)期探索信心；（2）強(qiáng)調(diào)安培定律中麥克斯韋提出的位移電流的重要性，使學(xué)生明白站在巨人肩膀上創(chuàng)新的價(jià)值；（3）從數(shù)學(xué)的角度講授奧利弗·亥維賽通過(guò)向量數(shù)學(xué)對(duì)最初20個(gè)方程簡(jiǎn)化為4個(gè)方程，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)工具在科學(xué)研究中的重要性；（4）從微積分的角度講授方程組的積分形式、微分形式和時(shí)諧形式，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到能夠從不同的方面看待同一個(gè)問(wèn)題．

麥克斯韋方程組的微分形式

從物理意義上理解了每一個(gè)方程的本質(zhì)后，講解方程組研究的歷史時(shí)間跨度：麥克斯韋從這4個(gè)方程預(yù)言了電磁波的存在，雖然在1888年已經(jīng)由赫茲通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的存在，然而對(duì)這4個(gè)方程在理論上的電磁波解的研究依然經(jīng)歷了近一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間跨度．

然后，給學(xué)生講述麥克斯韋方程組的求解歷史[7-8]，這里面包含亥姆霍茲方程、波動(dòng)方程解、有限元法以及引出一個(gè)重要的求解方法：FDTD，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)求解方法，以及觀察方程解的物理現(xiàn)象（即電磁波）的求知欲．

2 電磁波可視化仿真

2.1 時(shí)域有限差分法

給學(xué)生介紹時(shí)域有限差分法的歷史和研究背景[8-9]：FDTD是電磁場(chǎng)計(jì)算領(lǐng)域的一種常用方法，由美籍香港人K.S.Yee在1966年提出，其模型基礎(chǔ)就是最基本的麥克斯韋方程組．隨著計(jì)算技術(shù)，特別是電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，F(xiàn)DTD方法在提出后得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，在電磁學(xué)、電子學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用．

建立Yee胞和麥克斯韋方程組中電場(chǎng)、磁場(chǎng)變量之間的關(guān)系（見(jiàn)圖1）．

a 三維Yee胞b 二維Yee胞c 一維Yee胞

考慮到本科生初學(xué)電磁場(chǎng)與電磁波，課程中僅講解一維電磁波時(shí)域有限差分法．因而課堂的重點(diǎn)放在一維情況下從TEM波的角度重點(diǎn)描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)在Yee胞中的位置關(guān)系．

2.2 一維電磁波時(shí)域有限差分法數(shù)值解

講解一維電磁波時(shí)域有限差分法數(shù)值解：

2.2.2 穩(wěn)定差分方程形式 介紹使用差分表示微分方程的思路，并進(jìn)一步釋義穩(wěn)定差分方程形式：在有限差分方程中，每一項(xiàng)必須在同一時(shí)間和空間點(diǎn)

圖2 和在一維Yee胞中的時(shí)間和空間位置

以Yee胞中的兩點(diǎn)為例，寫出一維方程的穩(wěn)定差分形式

2.2.4 更新迭代與算法流程圖 由差分方程（2）變形得到迭代更新方程

2.3 Matlab編程仿真實(shí)現(xiàn)

FDTD編程實(shí)現(xiàn)的流程見(jiàn)圖3．

圖3 編程實(shí)現(xiàn)流程

Matlab主體程序：

%%固定常數(shù)及設(shè)定參數(shù)

c=3e8；%光速m/s

f=1e9；%頻率Hz

eps=8.85e-12；%真空介電常數(shù)

mu=4*pi*1e-7；%真空磁導(dǎo)率

dt=1/f/100；%時(shí)間間隔

dz=c*dt；%距離間隔

Nt=500；%仿真時(shí)間

ke=200；%電場(chǎng)源位置

m1=1/mu*dt/dz；%常系數(shù)m1

m2=1/eps*dt/dz；%常系數(shù)m2

%%迭代更新

for t=1：Nt%時(shí)間t序列

for k=1：Nt-1%磁場(chǎng)Hy迭代更新循環(huán)

Hy（k）=Hy（k）-m1*（Ex（k+1）-Ex（k））；

end

for k=2：Nt-1%電場(chǎng)Ex迭代更新循環(huán)

Ex（k）=Ex（k）-m2*（Hy（k）-Hy（k-1））；

end

Ex（ke）=sin（2*pi*f*t*dt）；%電場(chǎng)源更新

end

2.4 結(jié)果可視化演示

圖4 電磁波傳播可視化演示結(jié)果（=200）

2.5 問(wèn)題思考

對(duì)照理論、編程和仿真結(jié)果，可提出問(wèn)題供學(xué)生思考解決：

（1）調(diào)整部分預(yù)設(shè)參數(shù)和電場(chǎng)源，學(xué)生可觀察到不同的結(jié)果，并解釋參數(shù)變化與可視化波形變化對(duì)應(yīng)的原理解釋．

（3）在完全理解一維FDTD的原理和實(shí)現(xiàn)之后，學(xué)生可根據(jù)興趣自主進(jìn)一步學(xué)習(xí)二維和三維FDTD的原理和實(shí)現(xiàn)．

3 結(jié)語(yǔ)

本文從麥克斯韋方程組開始，為加深學(xué)生對(duì)方程物理意義的理解以及麥克斯韋方程組預(yù)言產(chǎn)生電磁波這一重要性質(zhì)，使用FDTD解釋并演示這一過(guò)程．在學(xué)習(xí)電磁波一維FDTD算法的過(guò)程中，學(xué)生同時(shí)學(xué)習(xí)了穩(wěn)定差分形式、更新迭代等多領(lǐng)域的通用算法，不僅有效地理解了麥克斯韋方程組在空間和時(shí)間維度上的物理意義、電磁波產(chǎn)生的可視化觀察，也有利于學(xué)生在算法和編程知識(shí)面的擴(kuò)展．

[1] 謝處方，饒克謹(jǐn)．電磁場(chǎng)與電磁波[M]．4版．北京：高等教育出版社，2006．

[2] 侯周國(guó)，劉湛．“電磁場(chǎng)與電磁波”的可視化教學(xué)研究與實(shí)踐[J]．新教育時(shí)代（電子雜志），2016（5）：22-22.

[3] 凌濱，郭也，劉文川．應(yīng)用MATLAB設(shè)計(jì)電磁場(chǎng)與電磁波模擬仿真實(shí)驗(yàn)[J]．高師理科學(xué)刊，2019，39（9）：52-55．

[4] 衛(wèi)延，鄭晶晶．用Matlab實(shí)現(xiàn)電磁波的可視化[J]．電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2020，42（5）：100-104．

[5] 劉興鵬，嚴(yán)丹丹．理論仿真在電磁場(chǎng)可視化中的應(yīng)用[J]．信息通信，2019（4）：22-23．

[6] Fleisch D，Lemons D S．A Student′s Guide to Maxwell′ s Equations[M]．New York：Cambridge University Press，2008．

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[9] Sullivan，Dennis M．Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method[M]．Hoboken：IEEE Press，2013．

[10] Allen Taflove，Susan C，Hagness．Computational Electrodynamics，the finite difference time-domain method[M]．Boston：Artech House，1995．Lecture Notes：https://empossible.net/academics/emp5304/．

Application of FDTD algorithm and Matlab visual simulation in the teaching of electromagnetic fields and electromagnetic wave

LI Yang，CHENG Li

（School of Electrical and Information Engineering，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430205，China）

Maxwell′s equations is one of the core knowledge points in the course of the electromagnetic field and electromagnetic waves．The abstract nature of the physical quantity，the complexity of mathematical operations， and the prediction of electromagnetic wave are particularly difficult for students to study．Proceeds from the differential form of Maxwell′s equations，develops the update process in space and time dimensions of time-varying electric and time-varying magnetic fields with the finite-difference time-domain method in Yee cells．Visualizing present the generation and propagation of electromagnetic waves with Matlab，which makes students understand the property the Maxwell′s equations predicts the generation of electromagnetic waves better and more intuitive．

electromagnetic fields and electromagnetic wave；Maxwell′s equations；finite-difference time-domain

1007-9831（2022）11-0086-05

O441∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.11.017

2022-05- 23

電子信息類專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)教改項(xiàng)目（2020-YB-34）；湖北省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（2020CFB650）

黎楊（1983-），男，湖北荊州人，講師，博士，從事微波技術(shù)與天線研究．E-mail：liyangwhut@126.com

程莉（1979-），女，陜西安康人，教授，博士，從事電磁場(chǎng)與電磁波研究．E-mail：48128253@qq.com