文／張俊

二次函數(shù)這一章要求我們能從二次函數(shù)的常見(jiàn)表達(dá)式中看出頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸等信息，能依據(jù)二次函數(shù)圖像認(rèn)識(shí)函數(shù)的特征與性質(zhì)，能利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。其中，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、增減性及含參型函數(shù)等更是每年中考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。不過(guò)，在實(shí)際運(yùn)用中，我們總會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。本文列舉一些典型錯(cuò)誤并分析出錯(cuò)的原因，希望同學(xué)們能明確錯(cuò)誤之處，做到舉一反三。

一、正確把握拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性特征

例1二次函數(shù)y=x2+bx+c中，當(dāng)x＜-2時(shí)，y隨著x的增大而減小，則b的范圍為_(kāi)__。

【錯(cuò)解】由題意可知，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，解得b=4。

【錯(cuò)因分析】由于a=1＞0，根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小。這里直線(xiàn)x=-2不一定是對(duì)稱(chēng)軸，例如直線(xiàn)x=-1、x=0、x=1都可以作為對(duì)稱(chēng)軸，所以只需即可。

【正解】∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，且a=1＞0，

∴當(dāng)時(shí)，y隨 著x的 增 大 而減小。

∵當(dāng)x＜-2時(shí)，y隨著x的增大而減小，

二、充分理解銷(xiāo)售問(wèn)題中的二次函數(shù)問(wèn)題

【總結(jié)】對(duì)稱(chēng)性是二次函數(shù)圖像拋物線(xiàn)的重要特征，當(dāng)圖像的開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸確定時(shí)，便可得出函數(shù)值隨自變量變化的情況。反之，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸不確定時(shí)，則需要逆向思考，此時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸可能不唯一，所在位置可能是一個(gè)范圍。分析過(guò)程中，我們可以舉幾個(gè)符合條件的特值驗(yàn)證，再確定范圍。

例2某超市經(jīng)銷(xiāo)一種商品，每件進(jìn)價(jià)為60元。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件售價(jià)為80元時(shí)，月銷(xiāo)售量為1200件，售價(jià)每提高1元，銷(xiāo)量將減少20件。規(guī)定每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且利潤(rùn)不允許超過(guò)每件進(jìn)價(jià)的50%。那么售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【錯(cuò)解1】設(shè)售價(jià)定為x元，每月最大利潤(rùn)為y元……

【錯(cuò)因分析】由于每月利潤(rùn)不是一個(gè)定值，所以函數(shù)表達(dá)式中的y是一個(gè)變量，而最大利潤(rùn)只是其中的一個(gè)值，所以不能設(shè)成最大利潤(rùn)為y元。

【錯(cuò)解2】設(shè)售價(jià)定為x元，每月利潤(rùn)y元，得y=（x-60）（1200-20x）……

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)將售價(jià)定為x元理解成售價(jià)提高x元。

【錯(cuò)解3】設(shè)售價(jià)定為x元，每月利潤(rùn)y元，得y=（x-60）［1200-20（x-80）］=-20（x-100）2+32000，所以當(dāng)售價(jià)定為100元時(shí)，每月利潤(rùn)最大，為32000元。

【錯(cuò)因分析】沒(méi)有考慮題中“規(guī)定每件利潤(rùn)不允許超過(guò)每件進(jìn)價(jià)的50%”的要求。

【正解】設(shè)售價(jià)定為x元，每月利潤(rùn)y元，得y=（x-60）［1200-20（x-80）］=-20（x-100）2+32000。

∵規(guī)定每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且利潤(rùn)不允許超過(guò)每件進(jìn)價(jià)的50%，

∴0≤x-60≤60×50%，得60≤x≤90。

∵-20＜0，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=100，

∴當(dāng)60≤x≤90時(shí)，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=90時(shí)，y有最大值，y最大值=-20×（90-100）2+32000=30000。

答：當(dāng)售價(jià)定為90元時(shí)，每月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為30000元。

【總結(jié)】二次函數(shù)可以揭示實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系，如銷(xiāo)售問(wèn)題。在此類(lèi)問(wèn)題中，常常需要根據(jù)自變量的取值范圍確定函數(shù)的最值，此時(shí)一定要注意函數(shù)的頂點(diǎn)是否在此范圍內(nèi)。若在，則可根據(jù)頂點(diǎn)得出最值；若不在，則需要根據(jù)函數(shù)增減性確定何時(shí)有最值。另外，根據(jù)不同的取值范圍，可能會(huì)得到不同的函數(shù)表達(dá)式，我們可以根據(jù)實(shí)際需要選擇合適的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行分析。

三、全面考慮二次函數(shù)中的含參問(wèn)題

例3已知二次函數(shù)y=x2-2mx-1（m為常數(shù)）。

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。

【錯(cuò)解】由該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)可知b2-4ac＞0……

【錯(cuò)因分析】將“該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)”看成條件，造成錯(cuò)誤。

【正解】當(dāng)y=0時(shí)，得x2-2mx-1=0，b2-4ac=4m2-4×1×（-1）=4m2+4。

∵4m2≥0，∴4m2+4＞0。

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

因此，不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。

（2）當(dāng)-1≤m≤2時(shí)，求該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)z的取值范圍。

【錯(cuò)解】-5≤z≤-2。

【錯(cuò)因分析】忽略了z=-m2-1是一個(gè)二次函數(shù)，沒(méi)有考慮頂點(diǎn)的情況，只計(jì)算了當(dāng)m=-1和m=2時(shí)z的值。

【正解】∵y=x2-2mx-1=（x-m）2-m2-1，

∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)z=-m2-1，畫(huà)出函數(shù)示意圖，如圖1。

由圖1可知，在-1≤m≤2范圍內(nèi)，圖像最高點(diǎn)為頂點(diǎn)（0，-1），最低點(diǎn)為（2，-5），

圖1

∴-5≤z≤-1。

（3）當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，該函數(shù)y的最小值為-2，求m的值。

【錯(cuò)解】當(dāng)x=-1時(shí)，y=2m=-2，得m=-1；當(dāng)x=2時(shí)，y=3-4m=-2，得

【錯(cuò)因分析】沒(méi)有分類(lèi)討論的意識(shí)。因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸不確定，所以要判斷函數(shù)y的最小值，需要根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=m的不同情況進(jìn)行分類(lèi)討論。

【正解】當(dāng)x=-1時(shí)，y=2m；當(dāng)x=2時(shí)，y=3-4m。函數(shù)頂點(diǎn)為（m，-m2-1）。

當(dāng)m＜-1時(shí)，函數(shù)y的最小值為2m，即2m=-2，則m=-1（舍去）；

當(dāng)-1≤m≤2時(shí)，函數(shù)y的最小值為-m2-1，即-m2-1=-2，則m=±1；

當(dāng)m＞2時(shí)，函數(shù)y的最小值為3-4m，即3-4m=-2，則（舍去）。

綜上所述，m的值為±1。

【總結(jié)】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）中的含參問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)。拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及函數(shù)的最值都會(huì)隨著a、b、c的相應(yīng)變化而變化。我們?cè)谒伎紩r(shí)，可以畫(huà)出草圖進(jìn)行分析，同時(shí)還需有分類(lèi)討論的意識(shí)，只有這樣，才能完整得解。