江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (330022)

陳德富 龔雙波

圖1

題目如圖1，設(shè)橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,兩準(zhǔn)線為l1,l2,過(guò)橢圓上的一點(diǎn)P,作平行于F1F2的直線,分別交l1,l2于M1,M2,直線M1F1與M2F2交于點(diǎn)Q.證明:P,F1,Q,F2四點(diǎn)共圓.(2019年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽第10題)

四點(diǎn)共圓由解析幾何的代數(shù)計(jì)算來(lái)判定，思路有些單調(diào).借助圖形結(jié)構(gòu)的幾何性質(zhì)和四點(diǎn)共圓的純幾何判定定理，我們可以從邊長(zhǎng)度的計(jì)算去得到結(jié)論.

上面的證法充分發(fā)掘橢圓中線段比例關(guān)系的特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)使得我們?cè)谔幚硗欣彰芏ɡ砗退固赝郀柖ɡ碇羞呴L(zhǎng)運(yùn)算時(shí)更加靈活便利,這表明借助幾何定理，在解析幾何中也能提高推理和計(jì)算的效率.

通過(guò)以上多種思路探究和推理論證,既豐富了我們的解題方法,也拓展了我們對(duì)問(wèn)題的理解,這種基于基礎(chǔ)知識(shí)的探究往往能很好提升知識(shí)靈活應(yīng)用的能力,從而增強(qiáng)考場(chǎng)上的應(yīng)變能力.另一方面,雙曲線和橢圓都有雙對(duì)稱軸和兩個(gè)焦點(diǎn),通過(guò)計(jì)算,我們得到如下類(lèi)似結(jié)論.

命題設(shè)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,兩準(zhǔn)線為l1,l2,過(guò)雙曲線上的一點(diǎn)P,作平行于F1F2的直線,分別交l1,l2于M1,M2,直線M1F1與M2F2交于點(diǎn)Q.證明:P,F1,Q,F2四點(diǎn)共圓.

圖2