朱佳威 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

張 雪 (杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院 311121)

1 引言

反證法是證明數(shù)學(xué)命題的一種間接方法，其基本證明過程分三步：首先對所證命題進(jìn)行否定，再運用邏輯推理得出否定命題不成立，最后斷定原命題正確.該方法極為巧妙且對特定問題行之有效，反證法對學(xué)生逆向思維、創(chuàng)新思維、批判性思維的形成有極大的教育價值，被牛頓譽為“數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?陳穎[1]稱反證法為“反其道而思之”，有助于人們對事物本質(zhì)進(jìn)行全新認(rèn)識，也是對自身思維的一種拓展.Lazar[2]指出：在《幾何原本》第三卷31個命題中的16個均是運用反證法來間接證明的，反證法具有如此高的使用頻率，而在中學(xué)教學(xué)中卻缺乏對其應(yīng)有的關(guān)注，這是極為不正常的.本研究通過對大陸現(xiàn)行各版本初、高中數(shù)學(xué)教材中反證法內(nèi)容進(jìn)行探究，以期幫助教師更精準(zhǔn)地把握教學(xué)重難點，使學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)得到進(jìn)一步落實.

2 獨立成節(jié)的反證法比較

在現(xiàn)行的初高中數(shù)學(xué)教材中，有四個版本的教科書將反證法獨立成節(jié)編制，如表1所示.我們將這四個版本教科書的反證法內(nèi)容按表2框架進(jìn)行比較.

表1 獨立成節(jié)的反證法

表2 反證法比較框架

2.1 編寫明線

在概念引入方式上，滬教版、華師大版、冀教版三個版本直接給出反證法的使用目的，即當(dāng)問題從正面證明有困難時，轉(zhuǎn)而考慮從反面間接證明問題來引出反證法；浙教版則以“路旁苦李”這一古代故事并配合插圖的方式引入反證法.前者從數(shù)學(xué)內(nèi)部來解釋反證這一方法的必要性，后者從日常生活中的反證邏輯來說明反證法的廣泛適用性.教師可將兩者結(jié)合起來，讓學(xué)生對反證法的必要性和適用性有更深刻的理解.

在概念表征方式上，滬教版沒有明確給出反證法證明的三個步驟，也未對可能出現(xiàn)的矛盾類型進(jìn)行補充說明，而將側(cè)重點放在了常見的否定上.有學(xué)者[3]表示“反證法”作為相對獨立的內(nèi)容安排在一單元中，由于沒有對命題中結(jié)論否定的教學(xué)，使得現(xiàn)在“反證法”這節(jié)課的教學(xué)所承擔(dān)的任務(wù)非常重.這需要教師合理整合教材內(nèi)容，使本節(jié)課關(guān)注方法本身，而不是因為對“否定”的過多關(guān)注偏離主線.在初中，鑒于反設(shè)一步中的否定要求不高，三個版本的初中教材均未對其進(jìn)行補充說明，且僅有冀教版清晰完整地呈現(xiàn)了反證法證明的三個步驟.在矛盾類型的說明上，華師大版沒有作出任何說明，其余兩個版本作了簡要的介紹，教材對于矛盾類型的說明能幫助學(xué)生正確理解反證法，由于例題中的矛盾大多是與條件的矛盾，可能會使學(xué)生對反證法產(chǎn)生錯誤的認(rèn)識，不少學(xué)生認(rèn)為反證法就是利用逆否命題來進(jìn)行證明.

2.2 編寫暗線

在反證法的應(yīng)用領(lǐng)域上，滬教版在例題和習(xí)題中都將其應(yīng)用于代數(shù)領(lǐng)域，而初中的三個版本絕大多數(shù)都應(yīng)用于幾何領(lǐng)域，可見在應(yīng)用領(lǐng)域的選取上初高中有明顯的差異.特殊的是，在浙教版的習(xí)題中加入了一例反證法在日常生活中的使用(見例1).該版本非常重視反證法在數(shù)學(xué)以外的應(yīng)用，最新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》[4]的總目標(biāo)中指出：“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.”在新一輪的教材修訂中，可以借鑒這一做法，將其編寫入教材.

例1反證法的思想也時常體現(xiàn)在人們的日常交流中，下面是一個相關(guān)例子：

媽媽：小華，聽說鄰居小芳全家這幾天正在外地旅游.

小華：媽媽，不可能，我昨天和今天上午都還在學(xué)校碰到了她和她媽媽呢！

上述對話中，小華要告訴媽媽的命題是什么？他是如何推斷該命題的正確性的？在你的日常生活中也有類似的例子嗎？請舉一至兩個例子.

3 初高中教材中利用反證法證明的定理與命題

除了上述單獨成節(jié)、系統(tǒng)介紹反證法的例子，初高中教材中還零散分布著一些運用反證法來證明的定理或命題，具體如表3所示.部分初中教材雖未系統(tǒng)地介紹什么是反證法，但依托于某個問題的解決，也會引入“反證法”的概念，但并不深入，僅告訴學(xué)生這樣證明問題的方法叫反證法及其證明步驟，缺乏知識系統(tǒng)性，初中學(xué)生很難通過教材中零星分散的反證法來掌握這一方法，這需要教師結(jié)合教材加以整理.高中教材中的反證法主要集中于立體幾何板塊，這些反證法的使用一方面能加深學(xué)生對方法本身的認(rèn)識，另一方面對落實邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)有重要意義,可以看出立體幾何是發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重要載體.在統(tǒng)計模塊的獨立性檢驗內(nèi)容也用到了反法證的思想方法.總的來說，教材中的反證法多被應(yīng)用于證明幾何領(lǐng)域的定理或命題，而在代數(shù)和其他領(lǐng)域中使用反證法，需要教師進(jìn)一步挖掘教材中定理的多種證明方法，如“糖水不等式”就可利用反證法來證明.

表3 教材中利用反證法來證明的定理與命題

學(xué)者Dawkins和Karunakaran[5]強調(diào)：“我們擔(dān)心將數(shù)學(xué)證明框架作為單一的、內(nèi)容通用的實踐可能會不恰當(dāng)?shù)氐凸捞囟〝?shù)學(xué)內(nèi)容在其中發(fā)揮的作用.在一項任務(wù)中，學(xué)生把對立命題視為等價命題，而在其他任務(wù)中，他們看不到等價命題，也沒有表現(xiàn)出對一般邏輯關(guān)系的有意識知識.”由此可見，學(xué)生學(xué)習(xí)反證法也要放在不同的知識領(lǐng)域中去，逐步加深對反證法的理解.

4 結(jié)論與啟示

4.1 結(jié)論

通過對各版本教材反證法內(nèi)容的探析，得到如下結(jié)論：

(1)教科書中單獨成節(jié)的反證法僅有四個版本，其余版本大多依托于某問題解決來引出反證法，且零散地分布在各初高中教材中.

(2)在單獨成節(jié)的反證法內(nèi)容中，三個版本初中教科書多從正難則反的角度來引出反證法，僅浙教版以典故引出反證法；各版本對于概念表征的側(cè)重點不同，高中階段對反設(shè)步驟中的否定有詳細(xì)的補充說明，而初中階段三本教材主要是對矛盾類型以及反證法步驟進(jìn)行詳細(xì)的解釋.除冀教版外的各版本教科書都注意到了數(shù)學(xué)史的應(yīng)用，浙教版還特別加入了反證法在實際生活中的應(yīng)用.

(3)初中階段利用反證法來證明的定理多分布于幾何領(lǐng)域，尤其在三角形、平行線與相交線章節(jié)；高中階段則多在立體幾何領(lǐng)域.

4.2 啟示

(1)重視反證法的系統(tǒng)教學(xué)

同樣是數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)歸納法在以往都是單獨成節(jié)系統(tǒng)介紹，但是反證法卻截然不同，其零散分布的特點導(dǎo)致學(xué)生對于反證法的理解不深刻、不到位.Antonini[6]認(rèn)為間接證明在學(xué)校教育中沒有得到足夠的重視，不論是在中學(xué)還是大學(xué).王滟林[7]指出，在進(jìn)入21世紀(jì)后，隨著課程改革的推進(jìn)，對反證法的教學(xué)要求有降低趨勢，最近10多年來涉及反證法的高考考題越來越少，有時甚至干脆不考，并且在新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)中，“反證法”這三個字甚至沒有直接出現(xiàn)在“必修課程”“選擇性必修課程”之中，這是不太正常的事.Thompson[8]認(rèn)為中學(xué)課程對這種證明技術(shù)的重視程度較低，難怪學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這種技術(shù)難以理解和使用.由此可見，新滬教版教材將反證法列入必修內(nèi)容，系統(tǒng)地給學(xué)生介紹反證法是十分必要的.

(2)關(guān)注反證法的多元應(yīng)用價值

通過前述的研究結(jié)果我們可以發(fā)現(xiàn)，反證法與初高中數(shù)學(xué)課程體系中的其他內(nèi)容有很廣泛的聯(lián)系.這就要求教師在教授其他章節(jié)時，多次呈現(xiàn)，螺旋上升，在具體應(yīng)用過程中讓學(xué)生感悟反證法的價值，建立整體的教學(xué)觀.

事實上，反證法也廣泛地應(yīng)用在其他學(xué)科中，如政治、物理，教師可借其他學(xué)科中的“反證法”來開展項目式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從不同學(xué)科角度來看待反證法，收獲對反證法的全新認(rèn)識.

(3)用好反證法，落實邏輯推理核心素養(yǎng)

Antonini[9]、Brown[10]、Taee與Yevdokimov[11]等學(xué)者認(rèn)為反證法證明困難是因為反證法沒有證明的一般模板.舉例來說，在證明兩集合相等時，學(xué)生會被要求去證明兩個集合互為子集；在證明線面平行時，學(xué)生會被要求去尋找平面上與已知直線平行的直線，并說明已知直線不在面上.與直接證明相比，反證法中常見的推理方法數(shù)量較少，方法更加靈活多變，學(xué)生更難以掌握，這對學(xué)生的邏輯推理能力提出了很高的要求.但正因如此，反證法對學(xué)生推理能力的訓(xùn)練價值很高，教師要創(chuàng)造性地運用教材，創(chuàng)造性地施教，讓反證法不再是學(xué)生學(xué)習(xí)的痛點與難點.