劉 瑩， 孫建強(qiáng)， 孔嘉萌

(海南大學(xué) 理學(xué)院，海南 海口 570228)

著名的Zakharov方程是等離子體物理中Langmuir波傳播研究中的偏微分方程模型[1]。Zakharov指出，任意足夠強(qiáng)的Langmuir湍流是不穩(wěn)定的，這種不穩(wěn)定導(dǎo)致等離子體中低密度區(qū)域的發(fā)展，并在有限時(shí)間內(nèi)崩塌。這些區(qū)域被稱(chēng)為洞穴，是長(zhǎng)Langmuir振蕩的能量耗散機(jī)制[2]。Zakharov系統(tǒng)推動(dòng)了模型的進(jìn)一步發(fā)展，為類(lèi)似物理現(xiàn)象提供了更真實(shí)的描述，其中就包括Klein-Gordon-Zakharov系統(tǒng)[3-5]。直到今天，經(jīng)典的Zakharov系統(tǒng)仍然被認(rèn)為是描述高頻Langmuir波和低頻離子聲波耦合的最佳系統(tǒng)之一，已經(jīng)應(yīng)用于描述淺水波和非線性光學(xué)中[6-7]。本研究考慮分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程[8-13]

(1)

許多學(xué)者從理論或數(shù)值分析的角度研究分?jǐn)?shù)階偏微分方程，提出一些重要的解析方法來(lái)求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程。同時(shí)，許多有效的數(shù)值方法，包括有限差分法、有限元法、有限體積法、譜方法等也被用來(lái)求解空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程，并證明了它們的一致性、穩(wěn)定性和收斂性[14-17]。Wang等[14]構(gòu)造了一維Klein-Gordon-Zakharov系統(tǒng)的隱式保守有限差分格式和多對(duì)稱(chēng)擬譜方法。Bao等[11]提出Klein-Gordon-Zakharov系統(tǒng)的指數(shù)波積分傅里葉擬譜方法和一致精確的有限差分方法。本研究利用平均向量場(chǎng)方法構(gòu)造了方程(1)的保能量格式。

1 傅里葉擬譜方法對(duì)Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散

定義1當(dāng)n-1<α

(2)

引理1在無(wú)限區(qū)間(-∞

(3)

式中：n-1<α

(4)

式中，F(xiàn)和F-1分別表示u(x,t)的傅里葉變換和傅里葉逆變換。因此，有：

(5)

另外，在具有周期邊界條件的有界區(qū)間Ω=(a,b)上，由傅里葉級(jí)數(shù)定義為：

(6)

傅里葉系數(shù)為：

(7)

由式(6)和式(7)可得：

(8)

(9)

(10)

2 分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程的保能量格式

令w(x,t)=ut(x,t)，-2qxx(x,t)=mt(x,t)，則方程(1)等價(jià)于：

(11)

方程組(11)可以被寫(xiě)成無(wú)限維哈密爾頓系統(tǒng)：

(12)

式中：z=(u,m,w,q)T，I為2×2單位矩陣，哈密爾頓函數(shù)

(13)

用傅里葉擬譜方法對(duì)方程(12)在空間方向上進(jìn)行離散。傅里葉擬譜方法的關(guān)鍵是對(duì)偏微分方程導(dǎo)數(shù)的離散。對(duì)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)譜矩陣為方程(10)，對(duì)于二階偏導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)的譜微分矩陣D2為：

從而得到方程(11)的半離散系統(tǒng)為：

(14)

式中：j=0,…,N-1；Q=(q0,q1,…,qN-1)T。式(14)可表示為半離散哈密爾頓系統(tǒng)形式：

(15)

式中：Z=(UT,MT,WT,QT)T，M=(m0,m1,…,mN-1)T，W=(w0,w1,…,wN-1)T，0和IN分別為N×N階零矩陣和單位矩陣，相應(yīng)的哈密爾頓函數(shù)為：

(16)

在時(shí)間方向上利用二階平均向量場(chǎng)方法離散哈密爾頓系統(tǒng)得[17]:

(17)

式(17)等價(jià)于：

(18)

(19)

(20)

(21)

消去輔助變量w和q后，可得方程(1)的平均向量場(chǎng)格式：

(22)

(23)

分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程的新格式(22)和(23)具有良好的穩(wěn)定性和二階收斂精度[20-21]。

3 數(shù)值模擬

為驗(yàn)證理論分析，利用得到的新格式(22)和(23)對(duì)Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性Klein-Gordon-Zakharov方程(1)進(jìn)行數(shù)值模擬。定義相對(duì)能量誤差為：

(24)

考慮Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性Klein-Gordon-Zakharov方程在I=[-10,10]和長(zhǎng)度T=6的時(shí)間周期上。取初始條件：

(25)

圖1是方程(1)孤立波在α=2.0和t∈[0,6]內(nèi)的相互作用圖，分別對(duì)應(yīng)于孤立波|u(x,t)|和m(x,t)。 從圖1可以發(fā)現(xiàn)，方程數(shù)值解的波形非常光滑，且運(yùn)算結(jié)果與文獻(xiàn)[8]一致，驗(yàn)證了所構(gòu)造的新格式可以正確地?cái)?shù)值模擬方程的解。圖2是方程(1)孤立波在α=1.6和t∈[0,6]內(nèi)的相互作用圖。從圖2可知，分?jǐn)?shù)階微分方程的孤立波振幅和波形在傳輸中發(fā)生了變形彎曲，表明分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov微分方程中的孤立波很難穩(wěn)定傳播。圖3是方程(1)在不同α?xí)r的能量圖，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，α取不同值時(shí)方程能量都是一條直線，不隨時(shí)間的變化而變化，運(yùn)算結(jié)果與文獻(xiàn)[8]一致，證明新格式能夠精確地保持系統(tǒng)能量守恒。

圖1 方程(1)孤立波在α=2.0和t∈[0,6]內(nèi)的相互作用圖

圖2 方程(1)孤立波在α=1.6和t∈[0,6]內(nèi)的相互作用圖

圖3 方程(1)在α取不同值時(shí)的能量圖

4 結(jié)論

本研究利用分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子與Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及傅里葉擬譜方法，對(duì)分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的空間離散近似，從而得到傅里葉擬譜方法對(duì)Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散格式。在時(shí)間方向上利用平均向量場(chǎng)方法對(duì)哈密爾頓系統(tǒng)進(jìn)行離散，構(gòu)造出分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程新的保能量格式，并利用得到的平均向量場(chǎng)格式對(duì)分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程進(jìn)行數(shù)值模擬。結(jié)果表明，新格式可以正確地模擬孤立波的演化行為，分?jǐn)?shù)階微分方程中的孤立波在傳輸中會(huì)發(fā)生彎曲和變形，同時(shí)方程取不同α值時(shí)的能量隨時(shí)間的變化保持不變，驗(yàn)證了所構(gòu)造的新格式能夠精確地保持系統(tǒng)能量守恒。