馬寶澤，李國軍，向翠玲，徐陽

（1.重慶郵電大學(xué)光電工程學(xué)院，重慶 400065；2.重慶郵電大學(xué)超視距可信信息傳輸研究所，重慶 400065；3.重慶郵電大學(xué)光電信息感測與傳輸技術(shù)重慶市重點實驗室博士后科研工作站，重慶 400065）

0 引言

盲源分離（BSS,blind source separation）是指在僅以觀測混合信號為先驗信息的情況下，實現(xiàn)信道混合矩陣辨識和期望信源恢復(fù)的信號處理技術(shù)[1-4]。其中，信道混合矩陣估計是盲源分離問題研究的關(guān)鍵，直接影響著估計信源的分離精度[5-6]。傳統(tǒng)的獨立分量分析（ICA,independent component analysis）方法、獨立矢量分析（IVA,independent vector analysis）方法能夠處理超定和正定情況下的混合信道矩陣估計問題[2]，但不能用于欠定混合信道矩陣盲辨識。由于欠定線性混合系統(tǒng)中方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)，即觀測信號數(shù)少于源信號數(shù)，這將導(dǎo)致估計混合矩陣不存在偽逆，給解決欠定混合矩陣估計問題帶來挑戰(zhàn)[7-9]。因此，欠定混合信道矩陣的盲辨識問題具有重要的研究價值，對實現(xiàn)欠定情況的源信號恢復(fù)至關(guān)重要。

目前，解決欠定混合矩陣估計的方法主要集中在觀測信號的特定屬性，如稀疏變換[6,10]、四階累計量[11]、二階統(tǒng)計量[12]、特征函數(shù)[13]、張量分析[14-16]等。其中，利用信號在變換域的稀疏性解決欠定盲辨識問題是常用的方案之一，代表算法包括TIFROM（time-frequency ratio of mixtures）[10]以及基于稀疏分量分析的欠定盲源分離（UBSS-SCA,underdetermined blind source separation-sparse component analysis）算法[6]。稀疏變換類方法利用信號在稀疏域的散點數(shù)據(jù)線性聚類特性依次估計混合信道矩陣的方向向量，然而觀測信號個數(shù)以及數(shù)據(jù)的稀疏程度均會限制該類方法的應(yīng)用范圍。當(dāng)源信號在變換域非稀疏但是滿足統(tǒng)計獨立性且具有時間結(jié)構(gòu)特征時，可以根據(jù)觀測信號的高階統(tǒng)計特性完成欠定混合矩陣估計任務(wù)。文獻(xiàn)[11]利用信號在不同時延下計算的四階累積量提出了FOBIUM（fourth-order cumulant-based blind identification of underdetermined mixtures）算法，但是估計四階累積量是比較復(fù)雜的工作且需要較大的數(shù)據(jù)量才能獲取有效的累積量統(tǒng)計信息。為了提升欠定混合矩陣盲辨識的性能并降低算法計算復(fù)雜度，文獻(xiàn)[12]通過觀測信號時延數(shù)據(jù)得到的空間協(xié)方差矩陣提出了SOBIUM（second-order covariance based blind identification of underdetermined mixtures）方法。FOBIUM 和SOBIUM 適用于時域信息豐富的信號，可利用信號的時延統(tǒng)計信息實現(xiàn)欠定盲辨識。隨后，文獻(xiàn)[13]針對復(fù)值數(shù)據(jù)提出了基于觀測信號特征函數(shù)構(gòu)造張量模型的欠定盲辨識方法，為構(gòu)造高階張量數(shù)據(jù)提供了研究思路。此外，文獻(xiàn)[14]利用信號分割策略提出了基于張量分析的大規(guī)模系統(tǒng)盲辨識方法，文獻(xiàn)[15]將張量分析理論應(yīng)用到欠定模態(tài)識別領(lǐng)域，文獻(xiàn)[16]則提出在線稀疏張量重構(gòu)方法可以作為多維信號處理的潛在技術(shù)。綜上所述，欠定混合矩陣估計問題大致可分為基于稀疏變換[6,10]和高階統(tǒng)計量[11,12,14-16]2 個解決思路。

本文從理論上闡述了信道盲辨識和張量分析的關(guān)系，將欠定混合矩陣估計問題轉(zhuǎn)化為張量分解問題，并分析了由自協(xié)方差矩陣構(gòu)成的三階張量的對稱性。為了提取觀測信號的有效統(tǒng)計信息構(gòu)造張量模型，同時降低計算復(fù)雜度并提高收斂速度，本文提出了一種新的欠定混合矩陣估計算法。首先，根據(jù)信號分割[1,14]策略計算觀測信號每個子段的自協(xié)方差矩陣構(gòu)造對稱的三階張量；其次，通過截斷多線性奇異值分解（MLSVD,multi-linear singular value decomposition）方法將原張量降維壓縮成一個低維的核張量；再次，引入增強(qiáng)的線性搜索（ELS,enhanced line search）技術(shù)[17]來加速交替最小二乘（ALS,alternating least square）算法[18]的收斂；最后，利用對稱核張量分解得到的因子矩陣作為估計混合矩陣測度，從而實現(xiàn)信道盲辨識。實驗表明，本文算法在處理欠定混合矩陣估計問題時的估計誤差均小于稀疏變換方法和傳統(tǒng)的高階統(tǒng)計量方法。

1 問題描述

信道矩陣的盲辨識研究是源信號恢復(fù)的關(guān)鍵，特別是在欠定混合的條件下。假設(shè)n個源信號表示為，m個觀測信號表示為，其中，k表示離散時間，N表示信號長度，(·)T表示轉(zhuǎn)置運算。由于瞬時混合過程中傳輸信道僅考慮了源信號在傳輸過程中幅度衰減的影響，因此混合系統(tǒng)可以用隨機(jī)生成的矩陣A∈?m×n表示。則第i個傳感器接收到的觀測信號可以表示為

其中，aij表示第j個源信號到達(dá)第i個傳感器的衰減系數(shù)，即混合矩陣A的第(i,j)個元素，s j(k)表示第j個源信號，ni(k)表示第i個觀測信號對應(yīng)的加性噪聲。

線性瞬時混合過程的矩陣形式可以表示為

2 張量分解和混合矩陣估計的關(guān)系

瞬時混合信道盲辨識中的矩陣估計問題可以轉(zhuǎn)化為對稱張量的分解問題，為了闡釋混合矩陣估計和張量分解的關(guān)系，需要先介紹有關(guān)張量分解的基本概念。應(yīng)用廣泛的張量分解技術(shù)主要包括CP（CANDECOMP/PARAFAC）分解和Tucker 分解，兩者都是張量奇異值分解（SVD,singular value decomposition）的擴(kuò)展版本。CP 分解的計算復(fù)雜度為僅與張量階數(shù)有關(guān)的線性形式，而Tucker 分解則存在“維數(shù)災(zāi)難”的問題，即計算復(fù)雜度隨著張量階數(shù)以指數(shù)的形式增加[19]。因此，本文選擇CP 分解估計欠定混合矩陣，建立欠定信道盲辨識與張量分解的關(guān)系。

CP 分解能夠?qū)⒁粋€高階張量分解為一系列秩一分量之和的形式，不失一般性，給定一個三階張量 X ∈?I×J×K，經(jīng)CP 分解后可以表示為

3 構(gòu)造對稱三階張量

利用分割策略[1,14]構(gòu)造三階對稱張量實現(xiàn)欠定混合矩陣估計的流程如圖1 所示，首先，將觀測信號分割為不重疊的若干個子塊；然后，計算每個子塊的自協(xié)方差矩陣并堆疊成張量的形式；最后，根據(jù)對稱張量的分解唯一性理論實現(xiàn)混合矩陣的估計。通過圖1 可以看出，張量分解后由vi和bi構(gòu)成的因子矩陣中包含信道矩陣信息，因此可以將因子矩陣V或者B作為估計混合矩陣，圖1 中以V為例，即。此外，ci構(gòu)成的因子矩陣包含信號的分塊信息。分割策略計算自協(xié)方差矩陣構(gòu)造張量的方式可以實現(xiàn)將混合矩陣估計問題轉(zhuǎn)化為張量分解。同時，張量分解的唯一性能夠保障混合矩陣估計的可行性和有效性。

圖1 分割策略應(yīng)用于欠定混合矩陣估計的流程

由上述分析可知，Cx中存在2 個相等的模態(tài)，故稱Cx為對稱張量。如果存在m=P，則認(rèn)為三階張量Cx具有超對稱性。不失一般性，對稱張量可以通過CP 分解獲得2 個維度相同的因子矩陣，即

其中，2 個矩陣A可以視為不同的因子矩陣，分別記為AL和AR。AL和AR獨立更新且不存在強(qiáng)制相等的顯式約束，自協(xié)方差矩陣的固有對稱性將使這2 個因子矩陣最終收斂，并且按照某個對角矩陣縮放。研究表明，只要CP 分解具有唯一性，就能夠得到對稱張量分解的解決方案。

4 核張量分解

通過MLSVD 對構(gòu)造的三階對稱張量Cx降維，將原始張量壓縮為維度較小的核張量。由三階張量CP 分解唯一性的充要條件可知n≤P，不妨設(shè)定核張量的最大維度不超過n+1，即觀測信號分割構(gòu)造的自協(xié)方差張量第三個維度需要由P降到n+1，得到m×m× (n+1)的核張量。其中，P的選取是個開放性問題，需要根據(jù)具體的應(yīng)用場景、信號屬性以及張量分解的唯一性約束等確定。首先，三階張量按照Mode-k形式展開的矩陣分別記為。然后，分別計算矩陣C1、C2和C3的SVD，即

傳統(tǒng)的CP 分解問題通常采用ALS 算法[18]解決，每次迭代時每個步驟都包含將未知參數(shù)子集固定到當(dāng)前估計中，然后對剩余的未知參數(shù)集進(jìn)行修正，最后對互補(bǔ)參數(shù)集進(jìn)行優(yōu)化。因此，張量分解的代價函數(shù)可以表示為

令矩陣X∈?KJ×I表示張量X 的矩陣展開形式，記為XKJ×I，在給定因子矩陣V、B、C在第t-1和t-2次迭代的估計值情況下，第t次迭代中的最優(yōu)松弛因子μ可以通過最小化代價函數(shù)得到，則式(11)可以改寫為

其中，⊙表示Khatri-Rao 乘積。則式(13)可簡化為

為了方便符號標(biāo)記，將式(13)中的上標(biāo)t和t-2省略。在式(14)中，T3、T2、T1、T0分別定義為

算法1本文算法流程

步驟1計算觀測信號分割后每個子段的自協(xié)方差矩陣，利用式(8)構(gòu)造三階對稱張量 Cx∈?m×m×P。

步驟2通過截斷MLSVD 方法對張量Cx進(jìn)行降維，利用式(10)得到左奇異矩陣計算三階對稱的核張量 G∈Km×m×（n+1）。

步驟3將核張量G 作為ELS+ALS 優(yōu)化張量分解方法的輸入，對因子矩陣進(jìn)行初始化并更新。

①采取強(qiáng)制隨機(jī)初始化的方式實現(xiàn)因子矩陣的初始化，即初始化

② 根據(jù)式(13)～式(15)將代價函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項式并求偏導(dǎo)計算最優(yōu)的松弛因子μ，使式(14)取得極小值。

步驟4將步驟3 得到的初始化因子矩陣和原始對稱張量Cx作為ALS 算法的輸入，重復(fù)步驟3直到達(dá)到迭代終止條件，最終實現(xiàn)欠定瞬時混合信道矩陣的盲辨識，即不妨將因子矩陣V作為估計混合矩陣。

本文算法的計算復(fù)雜度分析從3 個方面展開，其一，所提算法和SOBIUM 算法構(gòu)造的張量切片矩陣都屬于二維代數(shù)結(jié)構(gòu)，具有比FOBIUM 算法中的四階累積量更低的復(fù)雜度。其二，對于三階對稱張量 Cx∈?m×m×P直接執(zhí)行CP 標(biāo)準(zhǔn)分解時，令張量的秩為信源數(shù)n，則ALS 單次迭代的計算復(fù)雜度為[18]；而壓縮后的核張量G 經(jīng)過ELS+ALS 分解的總復(fù)雜度可以表示為其三，與傳統(tǒng)ALS 迭代算法相比，ELS+ALS 組合方法的復(fù)雜度相對較低，有效提高張量分解的收斂速度，降低算法的運算時間。

綜上所述，本文算法在構(gòu)造對稱張量、張量壓縮和增強(qiáng)線性搜索等方面能夠降低復(fù)雜度，證明了所提算法的有效性和可行性。此外，本文的張量分析概念包含張量分解與估計混合矩陣的關(guān)系、構(gòu)造對稱三階張量、張量壓縮以及核張量分解4 個環(huán)節(jié)，構(gòu)建了以因子矩陣作為欠定混合矩陣估計測度的信道矩陣盲辨識方法。

5 仿真實驗

為了驗證本文算法在實數(shù)域欠定混合矩陣估計中的可行性和有效性，分別采用LI-TIFROM[10]、UBSS-SCA[6]、SOBIUM[12]作為對比算法。源信號來自文獻(xiàn)[2]的語音信號和音樂信號，其中，采樣頻率為16 kHz，語音時長為10 s。由于時域語音和音樂信號都是由實數(shù)組成的，因此該實驗中的瞬時混合矩陣為隨機(jī)生成的m×n維實數(shù)矩陣。從語音信號集中任意選取n個作為源信號，通過混合信道矩陣后得到m個觀測信號，直接對時域觀測信號進(jìn)行張量化處理并借助ELS+ALS 實現(xiàn)混合信道矩陣的盲辨識。此外，為了驗證本文算法對通信信號的有效性，本文采用多維正交調(diào)幅（QAM,quadrature amplitude modulation）信號作為信源估計混合矩陣。實驗采取的性能指標(biāo)為信道矩陣的平均相對誤差，可以表示為error=[12,15]。其中，表示混合矩陣A最佳的排序和尺度估計。此外，平均相對誤差越小表明估計混合矩陣越接近真實的混合矩陣，說明本文算法在信道矩陣盲辨識方面性能越優(yōu)異。

5.1 實測語音信號的欠定混合矩陣估計

針對瞬時混合的實數(shù)域非平穩(wěn)語音信號，分別在混合矩陣為3×4、4×5和5×6這3 種應(yīng)用場景下驗證各個算法在處理不同混合矩陣時的估計能力。由于分割子段長度大于或等于40 ms 時才能保證語音信號的非平穩(wěn)性[3]，則P應(yīng)小于或等于250。不妨令P=250，在每個混合信道場景下隨機(jī)生成50 個實數(shù)域混合矩陣，每個混合矩陣中包含m×n個未知元素，不同信道矩陣下的估計誤差（語音）如圖2 所示。從圖2 中可以看出，相較于對比算法，本文算法在3 種場景下均取得了最小的信道矩陣估計誤差，說明本文算法在不同混合信道下取得的欠定混合矩陣估計性能優(yōu)于其余對比算法。此外，隨著信號個數(shù)的增加，LI-TIFROM 和本文算法的估計誤差隨之下降，而UBSS-SCA 和SOBIUM 算法的估計誤差基本不變。

圖2 不同信道矩陣下的估計誤差（語音）

不失一般性，在混合矩陣為5×6的情況下分別驗證步長為1、步長為1.25、步長為的3 種ALS算法以及ELS 優(yōu)化的ALS 算法在最小化代價函數(shù)方面的迭代收斂快慢。圖3 表示4 種算法計算代價函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化情況。從圖3 可以看出，變步長的ALS 比傳統(tǒng)的ALS 具有更快的收斂速度，且ELS+ALS 率先達(dá)到收斂狀態(tài)，說明ELS 能夠加快ALS 的收斂速度。

圖3 代價函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化情況（語音）

為了驗證本文算法在不同信噪比（SNR,signal to noise ratio）下的抗噪性能，在混合信道為3×4的情況下利用隨機(jī)生成的高斯白噪聲使SNR 取值范圍為-5～50 dB 且間隔為5 dB。在不同SNR 條件下，4 種算法得到的欠定混合矩陣估計誤差（語音）如圖4 所示。從圖4 可以看出，隨著SNR 的增加，所有算法的估計誤差都隨之降低，當(dāng)SNR>20 dB時，算法估計誤差基本趨于穩(wěn)定。本文算法在選取的SNR 區(qū)間內(nèi)得到的矩陣估計誤差最小，其次是SOBIUM 算法和LI-TIFROM 算法。

圖4 不同SNR 下的估計誤差（語音）

5.2 實測音樂信號的欠定混合矩陣估計

鑒于音樂信號通常包含重復(fù)的音色信息，故從由語音和音樂信號組成的數(shù)據(jù)庫中選取對應(yīng)的信源驗證算法的欠定混合矩陣估計能力。為保證語音子段序列的非平穩(wěn)性，選取P=250，分別在混合矩陣為3×4、4×5和5×6這3 種混合信道情況下隨機(jī)生成50 個對應(yīng)的混合矩陣，4 種算法在不同混合矩陣條件下的估計誤差（音樂）如圖5 所示。從圖5 可以看出，本文算法取得了比其余算法更低的欠定矩陣估計誤差，且可以取得與圖2 基本一致的結(jié)論，即隨著信號個數(shù)的增加，LI-TIFROM 和本文算法的估計誤差逐漸降低。

圖5 不同混合矩陣下的估計誤差（音樂）

圖6 代價函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化情況（音樂）

在不同SNR 情況下，4 種算法得到的欠定矩陣估計誤差（音樂）如圖7 所示。與圖4 對比可知，本文算法取得的估計誤差基本不變，說明音樂信號的引入沒有改變本文算法的估計性能。此外，LI-TIFROM 和SOBIUM 的辨識性能受音樂信號的影響相對較大。

圖7 不同SNR 下的估計誤差（音樂）

5.3 QAM 信號的欠定混合矩陣估計

為了驗證本文算法對以QAM 信號為代表的通信信號混合矩陣估計的可行性和有效性，分別在混合矩陣為3×4、4×5和5×6這3 種場景下隨機(jī)生成相應(yīng)的實數(shù)矩陣，模擬信號在傳輸過程中的幅度衰減情況。其中，QAM 信號的長度為1 000，采樣頻率為8 000 Hz，信道帶寬為20 MHz，不妨令分割子段數(shù)P=200。由于源信號和觀測信號均為復(fù)數(shù)序列，故得到的估計混合矩陣為復(fù)數(shù)矩陣。因此，提取估計混合矩陣的實部計算信道矩陣的平均相對誤差，經(jīng)過50 次仿真后的平均結(jié)果如表1所示。

表1 QAM 信號的混合矩陣平均相對誤差

由表1 可知，隨著混合矩陣形狀增大，各算法的估計誤差也隨之增大。LI-TIFROM 和UBSS-SCA依賴信號的稀疏變換屬性，在處理QAM 信號的復(fù)值觀測數(shù)據(jù)時估計誤差較大。本文算法估計性能優(yōu)于對比算法，說明分割策略下的自協(xié)方差矩陣相較于SOBIUM 的時延協(xié)方差矩陣具有更明顯的信號特征表達(dá)能力。

6 結(jié)束語

針對欠定信道矩陣盲辨識問題，提出了一種基于張量分析的欠定矩陣盲估計算法。首先，利用分割策略將觀測信號分割為不重疊的子段，計算每個子段的自協(xié)方差矩陣構(gòu)造對稱的三階張量；然后，通過MLSVD 將原張量壓縮為低維的核張量并進(jìn)行張量分解；最后，引入ELS 技術(shù)加速ALS 算法的收斂，得到的因子矩陣作為估計的欠定混合矩陣，但分割子段數(shù)的選取則受到信號屬性和應(yīng)用場景的約束。實驗表明，本文算法在處理欠定混合矩陣估計問題時，相較于稀疏變換方法和傳統(tǒng)的高階統(tǒng)計量方法在估計誤差方面具有優(yōu)勢。此外，從理論上研究復(fù)值信號的欠定混合矩陣估計問題將是未來工作的重點。