顧恩國，倪俊，何昭輝

（中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074）

自文獻［1］運用牛市熊市市場模型解釋金融市場中的復雜動力學，已有許多論文研究市場參與者的交易行為與不可預測的價格動態(tài)之間的關系［2-6］，旨在尋求金融市場內(nèi)部的影響因素.在他們的模型中，圖表分析師、基本面分析師和造市商，這3種市場參與者對價格趨勢的變化起著重要作用，本文分析的模型屬于此類.

作為非光滑映射所特有的邊界碰撞分叉（BCB），與傳統(tǒng)光滑映射分叉不同，其分叉與特征值無關并且導致吸引子結(jié)構(gòu)的急劇轉(zhuǎn)換.例如從不動點到混沌的突然切換，這是光滑映射分叉不可能出現(xiàn)的現(xiàn)象.BCB屬于接觸分叉的一種，例如，周期吸引子的某一周期點與非光滑點（也稱為關鍵點）發(fā)生接觸，將會發(fā)生BCB，這會導致周期軌的出現(xiàn)和消失.文獻［7-9］介紹了復雜度和周期疊加（period adding）結(jié)構(gòu).在一維情況下，有一個非光滑點映射的兩個線性函數(shù)的斜率為正且小于1，則在兩個不動點均為虛擬的參數(shù)范圍內(nèi)填充以周期疊加分叉結(jié)構(gòu)組織的周期性區(qū)域.即只有周期吸引子存在，且分叉結(jié)構(gòu)中所有吸引周期環(huán)的周期和旋轉(zhuǎn)數(shù)遵循Farey求和規(guī)則.此外，當n≥1時，從所謂的基本周期的符號序列（RLn，LRn）開始，通過序列的并置得到了分叉結(jié)構(gòu)中周期的符號序列.文獻［6］和文獻［10］將首次返回映射分別用于周期疊加和周期共存的分析.文獻［11-12］研究了左邊為線性、右邊為冪函數(shù)的映射族的邊界碰撞，以上研究主要集中在只有一個非光滑點的映射.應該指出基于經(jīng)濟學背景的有兩個非光滑點的BCB結(jié)構(gòu)也有相關研究［2-4］，但是多個不連續(xù)點映射的BCB結(jié)構(gòu)理論遠遠沒有完善.本文將研究文獻［13］得到的具有兩個不連續(xù)點的分段線性映射，討論其為壓縮映射情況下的周期區(qū)域結(jié)構(gòu).

1 動力學模型

文獻［13］基于文獻［4］模型的簡化，即對圖表分析師和基本面分析師的行為進行簡化假設，進而得到如下有3個線性子系統(tǒng)的模型：

該模型的主要特征是3個線性子系統(tǒng)的斜率均相同.文獻［13］主要研究的是遞增擴張映射(s＞0)模型的混沌吸引子的邊界碰撞分叉.本文繼續(xù)研究該映射，在假設條件：

下研究參數(shù)平面(s，m)上的周期區(qū)域結(jié)構(gòu).圖1是參數(shù)平面(s，m)的二維分叉圖，本文將揭示此圖的3塊周期區(qū)域結(jié)構(gòu)規(guī)律.

圖1 全局二維分叉圖Fig.1 Global diagramof two-dimensional bifurcation

下面針對3種情況，尋找周期區(qū)域中的周期環(huán)對應的符號序列，進而分別求解在參數(shù)平面(s，m)中界定這些周期區(qū)域的邊界碰撞分叉曲線.

2 第一復雜度周期環(huán)的分叉曲線

本節(jié)將在參數(shù)平面(s，m)上確定周期吸引子存在區(qū)域、周期解邊界碰撞分叉曲線.由（1）式可以計算出3個分支的不動點，分別為，只有當不動點在其定義域范圍內(nèi)，才稱得上真實不動點，否則為虛擬不動點.在（2）式的假設條件下可知，xR始終是真實不動點，x L始終是虛擬不動點，對于中間分支不動點xC而言，當-1＜xC＜1時，xC是一個真實不動點，記為；否則為虛擬不動點記為特別的，若即不動點同不連續(xù)點發(fā)生接觸，邊界碰撞發(fā)生，因此m=±s是兩條BCB曲線.

下面求解BCB曲線，首先必須尋找穩(wěn)定的周期環(huán)，究其本質(zhì)是研究迭代映射f n的不動點.顯然，迭代映射f n依舊是分段線性映射，由對應的函數(shù)分支f L，f C和f R復合而成.本文將研究最簡單的被稱為第一復雜度的周期環(huán)，這種環(huán)的最大特點就是在一個分支上僅有一個周期點，而其他周期點在另外的分支上.本文將根據(jù)下面3種情況分析周期解和周期存在的區(qū)域：

情況1：-1＜s＜0，m＜0；

情況2：-2＜s＜-1，m＜0；

情況3：-2＜s＜-1，m＞0.

在情況1中，考慮到-1＜s＜0這一條件，所有線性函數(shù)的斜率都為正且小于1，可以斷定此時所有的周期環(huán)（無論是否存在）都是吸引子.此時，由于，所以虛擬不動點位于右側(cè).由于m＜s＜0（事實上圖1中情況1的部分位于過原點的直線m=s的右下方-1，虛擬不動點位于左側(cè).此時，位于左側(cè)的點經(jīng)過中間將被吸引到右側(cè)，但是進入中間后又被吸引到左側(cè)，最終在這時左側(cè)和中間分支可能會形成穩(wěn)定的周期.這類似于有一個非光滑點映射（不連續(xù)點為x=-1）的動力學行為.由于兩個不動點均是虛擬的，且斜率為1+s＞0，如前所述，在左側(cè)和中間分支形成符號序列為CLn的周期環(huán)，其周期區(qū)域的結(jié)構(gòu)滿足周期疊加結(jié)構(gòu).由于真實不動點是吸引子，從R側(cè)出發(fā)的點經(jīng)過有限次數(shù)的迭代，最終必將收斂到，因此，符號序列為CLn的周期與R側(cè)的真實不動點共存于吸收區(qū)間中.

令符號序列為CLn的環(huán)的周期點為x0，當周期點x0與不連續(xù)點x=±1重合，計算出第一復雜度符號序列為CLn的周期環(huán)的邊界碰撞曲線和，再求解：

得到x0的表達式如下：

令x0=±1，可以求得參數(shù)空間(s，mL，m，mR)中的邊界碰撞曲面：

情況2中，由假設條件知3個分支均遞減，同時斜率都在-1和0之間，因此，所有的周期環(huán)（無論是否存在）都是吸引子.此時，會出現(xiàn)符號序列為C(LR)n的穩(wěn)定的周期環(huán).由假設m＜0＜1＜-s，當s＜m時，中間分支的不動點也是真實不動點.因此，s=m是不動點與關鍵點-1碰撞的BCB曲線.下面計算符號序列為C(LR)n的周期的邊界碰撞曲線.類似于情況1的邊界碰撞曲線的求解，只需要將（3）式中的f nL用(f R°f L)n替換可得：

求解（5）式，得到中間分支的周期點：

中間分支周期點x0分別與1、-1以及-1的二階像f R°f L(-1)=(1+s)[-(1+s)+mL]+mR發(fā)生接觸，進而得到以下3條分叉曲線和

在情況3中，周期環(huán)以符號序列CR(LR)n為主.類似情況1和情況2中分叉曲線的計算，本文假設中間分支的周期點為x0，求解(f R°f L)n°f R°f C(x)=x，得 到由中間分支分別與-1和-1的二階像f R°f L(-1)=-(1+s)2+(1+s)mL+mR發(fā)生接觸，從而分別得到兩條分叉曲線和

下文根據(jù)本節(jié)求解的邊界碰撞分叉曲面，在（2）式的假設條件下，繪制參數(shù)平面(s，m)中的分叉曲線圖，并結(jié)合對應的分叉圖去分析其周期結(jié)構(gòu)以及周期共存問題.

3 周期區(qū)域結(jié)構(gòu)

對于本文模型的情況1，右側(cè)分支不動點x*R始終是真實吸引子，由于周期環(huán)的構(gòu)成只有中間和左邊兩個分支參與，因此，周期區(qū)域的結(jié)構(gòu)與一個不連續(xù)點的情況沒有本質(zhì)區(qū)別.在一個不連續(xù)點的映射中，周期疊加結(jié)構(gòu)的表示通常依賴于符號序列，例如，若p1和p2是不連續(xù)映射的兩個不同的周期環(huán)，與之對應的符號序列分別為σ和ρ，假設它們的周期存在區(qū)域為∏(σ)和∏(ρ)，那么在σ和ρ兩個環(huán)的存在區(qū)域之間存在著符號序列為σρ的周期區(qū)域∏(σρ)，在∏(σ)和∏(σρ)之間存在周期區(qū)域∏(σ2ρ)，一直重復下去，可以推斷在任意兩個周期區(qū)域之間存在無數(shù)個周期區(qū)域，相鄰兩個周期區(qū)域之間的周期為相鄰兩個周期的疊加，其符號序列是相鄰兩個周期符號序列的并置，并且滿足Farey求和規(guī)則（Farey Composition Rule）.在情況1的條件下，符號序列分別為CLn和CLn+1的兩個基本周期的周期區(qū)域之間一定有符號序列為CLn CLn+1的周期（第二復雜度的周期）區(qū)域.

圖2（a）是圖1中情況1部分的放大圖，圖2（b）是圖2（a）的BCB分叉曲線和周期區(qū)域.從圖2（a）可以觀察到周期疊加的Farey求和規(guī)則.例如，在符號序列分別為CL2和CL3的周期存在區(qū)域中間，存在著符號序列為(CL2)m(CL3)n的周期區(qū)域.圖2（b）中的周期區(qū)域中，以符號序列為CLn為例，其周期區(qū)域的上邊界是中間分支周期點與不連續(xù)點1發(fā)生接觸產(chǎn)生的邊界碰撞分叉曲線其下邊界對應的是中間分支周期點與不連續(xù)點-1發(fā)生接觸產(chǎn)生的分叉曲線

圖2 圖1中情況1的局部放大圖和BCB曲線圖Fig.2 A partial enlargement and BCBcurves of case1 in Fig.1

圖3為圖1中情況2部分的放大，而圖4參數(shù)空間(s，m)中的區(qū)域?qū)环N新的周期增加機制，對應區(qū)域周期符號序列分別為C(LR)n和C(LR)n+1，其中n≥1.因為涉及到3個分支，所有區(qū)域的周期均是奇數(shù)并且相鄰兩個區(qū)域的周期遞增2，因此，所有周期環(huán)均為Flip環(huán)（即特征值均在-1和0之間）.進一 步 可 以 觀 察 到，Π(CLR)由和三條BCB曲線界定，Π(C(LR)2)由和三條BCB曲線界定，∏(C(LR)3)由和兩條BCB曲線界定.由（2）式的假設條件，不動點始終為實的吸引子.∏(C(LR)2)和∏(C(LR)3)重疊區(qū)域（圖4中藍色區(qū)域）為五周期、七周期和實不動點共存區(qū)域，圖4中紅色區(qū)域是不動點、三周期和五周期共存區(qū)域，黃色區(qū)域是兩實不動點、和三周期共存區(qū)域.

圖3 圖1中情況2的局部放大圖Fig.3 A partial enlargement of case2 in Fig.1

圖4 圖1中情況2的BCB曲線圖Fig.4 Diagram of BCBcurves of case2 in Fig.1

在藍色區(qū)域中，選取P點，即參數(shù)m=-8，s=-1.8.此時五周期C(LR)2、七周期C(LR)3和不動點三個吸引子共存于吸收區(qū)間I=[f C(1)，f L°f C(1)]中.I=IR?IC，其中：

七周期和五周期共存于IC（位于圖5中的黃色區(qū)域和淺藍色區(qū)域），真實不動點x*R在區(qū)間IR（位于圖5中的綠色區(qū)域）里.在區(qū)間I（圖5中的黃色、綠色和淺藍色區(qū)域）里，映射f是可逆的（嚴格單調(diào)遞減），因此，映射f在區(qū)間I中并不會出現(xiàn)復雜的動力學行為，并且不變集只是穩(wěn)定的周期環(huán).基于f可逆這一性質(zhì)，本文引入首次返回映射對模型的動力學行為進行解釋.選取區(qū)間Jr=(-1，1)∈IC，其中不連續(xù)點記為是-1的前像，圖4中P點的首次返回映射表達式如下：

圖5 吸收區(qū)間圖Fig.5 Diagram of absorbinginterval

因為映射f從區(qū)間IR出發(fā)的軌線最終收斂到吸引不動點，從其它地方出發(fā)的軌線經(jīng)過有限次的迭代后必然經(jīng)過區(qū)間Jr（圖5中的黃色區(qū)域），首次返回映射Fr可以完全決定映射f在區(qū)間Jr中的動力學行為.圖6是在參數(shù)m=-8，s=-1.8的時候，首次返回映射Fr（紅色線段表示）和映射f（藍色線段表示）的圖像，結(jié)合公式（10），可知首次返回映射Fr與主對角線y=x的交點分別記為P1和P2，它們均是映射Fr的兩個真實不動點，同時也分別是映射f的五周期和七周期位于中間分支的周期點.由公式（10）并且結(jié)合首次返回映射的定義，選取映射f初值在區(qū)間(-1，d)中，其路徑必然為S1=CLRLR，而當初值選取在區(qū)間(d，1)中，其路徑必然為S2=CLRLRLR，從中間分支（即區(qū)間Jr）出發(fā)以路徑S1或S2回到中間分支，最終分別收斂到五周期和七周期.

圖6 首次返回映射圖Fig.6 Diagramof thefirst return map

圖7（a）為圖1情況3部分的放大圖，從中觀察到，情況3以符號序列CL(LR)n的周期環(huán)為主.根據(jù)情況3的條件，所有的分支具有負斜率且所有的周期環(huán)都是穩(wěn)定的.其周期增量為2，具有周期疊加性質(zhì)，也就意味著，在符號序列分別為CR(LR)n和CR(LR)n+1的周期區(qū)域之間存在符號序列為(CR)2(LR)2n+1的周期區(qū)域.這是有兩個非光滑點映射的特有性質(zhì)，正如前所說，在只有一個非光滑點的映射中，兩個分支不動點為虛擬時，只有在它們均為正則吸引不動點時（即兩個分支斜率為正且小于1）才可能出現(xiàn)滿足Farey規(guī)則的周期疊加現(xiàn)象.而對于有兩個非光滑點的分段線性映射來說，由于涉及3個分支，雖然某個分支斜率為負，但是任意兩分支的復合映射的斜率卻為正，例如符號序列為CR和LR的二周期點分別為復合映射f R°f C和f R°f L的正則不動點，因此，符號序列分別為CR(LR)n和CR(LR)n+1的周期區(qū)域之間存在無限多個周期區(qū)域，其符號序列為兩個相鄰符號序列的并置，即滿足Farey規(guī)則的周期疊加律.

圖7 圖1中情況3的局部放大圖和BCB曲線圖Fig.7 A partial enlargement and BCBcurves of case 3 in Fig.1

4 結(jié)語

本文對由資產(chǎn)價格模型簡化假設得到的映射系統(tǒng)進行動力分析，固定兩個參數(shù)mL=2，mR=3，在參數(shù)平面(s，m)中研究模型的周期區(qū)域結(jié)構(gòu).確定了邊界碰撞分叉曲線，討論了吸引周期區(qū)域的3種性質(zhì)和不同結(jié)構(gòu).發(fā)現(xiàn)了多個不連續(xù)點映射的周期疊加結(jié)構(gòu)的新情況.對于周期吸引子共存的問題，本文運用首次返回映射進行了解釋.