曾寧燁

(中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川成都 610031)

由于結(jié)構(gòu)局部參數(shù)(如質(zhì)量、剛度)的改變導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的局部損傷，進(jìn)而引起結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)(如頻率、阻尼、振型)的改變，最后體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的改變上[1-3]。結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別就是通過(guò)實(shí)際測(cè)量反映結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的數(shù)據(jù)，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)是否有損傷、損傷位置、損傷程度等作出準(zhǔn)確合理的判斷。

鑒于頻率是目前測(cè)試技術(shù)所能達(dá)到的最準(zhǔn)確也是最易測(cè)的模態(tài)參數(shù)[4]，幾乎可在結(jié)構(gòu)的任何一點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，國(guó)內(nèi)外在利用頻率進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方面也作了大量研究[5]。這些研究方法按有無(wú)反演可分為2類：

(1)有反演的損傷識(shí)別方法(反面方法)，是將待識(shí)別的未知量(結(jié)構(gòu)參數(shù)、剛度矩陣、損傷指標(biāo)等)看成優(yōu)化變量，并組成目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)不斷地修正有限元模型，得到結(jié)構(gòu)的優(yōu)化參數(shù)，使正向計(jì)算結(jié)果能夠最大限度地與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合，如Stubbs等[6]提出的整體損傷估計(jì)法，建立了頻率變化量、廣義剛度對(duì)單元?jiǎng)偠葏?shù)的靈敏度矩陣和損傷定位參數(shù)之間的線性方程組，由于所得的方程組高度欠定，迭代過(guò)程需要反復(fù)計(jì)算靈敏度矩陣，計(jì)算量很大，而且迭代沒(méi)有終止的可靠判據(jù)，很難得出準(zhǔn)確的結(jié)果。

杜思義等[7]在結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算模型中定義了單元的損傷識(shí)別參數(shù)，基于攝動(dòng)理論和振動(dòng)理論，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征值的一階和二階攝動(dòng)方程，建立了結(jié)構(gòu)的一階和二階損傷識(shí)別方程，給出了兩方程欠定條件下?lián)p傷識(shí)別參數(shù)的優(yōu)化求解算法。在這種方法中，結(jié)構(gòu)的損傷位置、損傷程度和老化程度的結(jié)構(gòu)只需通過(guò)在役結(jié)構(gòu)的固有頻率的測(cè)量值就可以識(shí)別，這樣就避免了使用模態(tài)振型識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷因測(cè)量精度不高或自由度不足帶來(lái)的誤差。

(2)無(wú)反演的損傷識(shí)別方法(正面方法)，如固有頻率向量法，特征值曲線交點(diǎn)法等。王樂(lè)等[8]引入固有頻率向量及固有頻率向量置信準(zhǔn)則的概念，形成固有頻率向量損傷特征數(shù)據(jù)庫(kù)，從而提出基于固有頻率向量的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方法。該方法可以在較強(qiáng)的測(cè)量噪音的干擾下，準(zhǔn)確地識(shí)別出結(jié)構(gòu)損傷的位置并能較準(zhǔn)確的測(cè)出其損傷程度。特征值曲線交點(diǎn)法其原理最早是基于Cawley和Adams[9]提出的利用“頻率變化比(頻變比)”檢測(cè)結(jié)構(gòu)損傷的原理和方法。Hearn等[10]在此基礎(chǔ)上又提出了“頻率平方變化比”方法，指出當(dāng)結(jié)構(gòu)只有一個(gè)單元發(fā)生損傷時(shí)，任意兩階頻率平方變化比只是損傷位置的函數(shù)，和損傷的程度大小沒(méi)有關(guān)系。故以各單元發(fā)生不同損傷程度時(shí)“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1的平均值作為縱坐標(biāo)，以單元編號(hào)為橫坐標(biāo)，作出Δλi/Δλ1對(duì)應(yīng)的曲線圖。根據(jù)實(shí)際工況損傷對(duì)應(yīng)的“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1的值，在上述曲線圖中作一條直線，直線與曲線的交點(diǎn)即為可能的損傷單元，此交點(diǎn)法即為“特征值曲線交點(diǎn)法”。

鑒于反面識(shí)別方法需要利用優(yōu)化算法求解欠定方程組，其識(shí)別是個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的過(guò)程，本文僅從正面進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷診斷，闡述固有頻率向量法與特征值曲線交點(diǎn)法的基本原理，以一簡(jiǎn)支梁數(shù)值模擬為例，比較2種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并指出了有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

1 結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別算法

1.1 固有頻率向量法

1.1.1 固有頻率向量及其組成的損傷特征數(shù)據(jù)庫(kù)

采用有限元法將具有一定健康狀態(tài)(完好或損傷)的結(jié)構(gòu)離散后，會(huì)具有N個(gè)自由度，再用振動(dòng)特征方程求解出其N階固有頻率，記為f1,f2,f3…fN，定義向量[F]={f1,f2,f3…fN}T為結(jié)構(gòu)在該狀態(tài)下的固有頻率向量。顯然，完整或損壞結(jié)構(gòu)其各自的固有頻率向量是唯一的和固有的。

假定完好結(jié)構(gòu)狀態(tài)及不同損傷位置、不同損傷程度對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)狀態(tài)—記為Di,j(i表示損傷位置，j表示損傷程度)，各自對(duì)應(yīng)的固有頻率向量{F}、{FDij}可以組成一個(gè)廣義向量庫(kù)，即為該結(jié)構(gòu)的損傷特征數(shù)據(jù)庫(kù)。通常{F}、{FDij}是在基準(zhǔn)模型(通常是經(jīng)過(guò)實(shí)測(cè)模態(tài)數(shù)據(jù)修正的有限元模型)的基礎(chǔ)上計(jì)算出來(lái)的，通過(guò)數(shù)值模擬求解各狀態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率向量，從而建立損傷特征數(shù)據(jù)庫(kù)。結(jié)構(gòu)損傷特征庫(kù)中進(jìn)行基于固有頻率向量的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)。

1.1.2 固有頻率向量置信準(zhǔn)則

根據(jù)模態(tài)置信準(zhǔn)則定義固有頻率向量置信準(zhǔn)則(natural frequencies vector assurance criterion，NFVAC)公式見(jiàn)式(1)。

(1)

1.1.3 損傷判據(jù)

從理論上講，如果結(jié)構(gòu)的固有頻率向量在未知的損傷狀態(tài)下與損傷特征數(shù)據(jù)庫(kù)中某個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)相同或非常接近，那么兩向量的INFVAC值應(yīng)等于1或非常接近1。然而，在數(shù)值模擬中，用窮舉法計(jì)算結(jié)構(gòu)在所有可能損傷狀態(tài)下的固有頻率向量是不可能的。因此，用這種方法進(jìn)行識(shí)別時(shí)，得到的INFVAC值不可能精確等于1。故用IDNFVAC=1/(1-INFVAC)先對(duì)損傷指標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，由公式(1)知，INFVAC∈ [0,1]，顯然IDNFVAC在[0,1]上單調(diào)遞增，且IDNFVAC越接近于1，其值越大。

但由INFVAC的數(shù)學(xué)意義可知，其本質(zhì)是求2個(gè)向量的相關(guān)性，只要2個(gè)向量互成比例，其相關(guān)性就等于1，但此時(shí)2個(gè)向量的模的偏差卻可能很大，即相關(guān)性只能表征2個(gè)向量的方向或者比例；因而在考察向量的一致性時(shí)，不但要考慮向量的方向，同時(shí)也要考慮向量模的變化，顯然，如果只考慮向量的相關(guān)性有可能造成損傷的誤檢。

損傷判據(jù)[11]定義為IDNFVAC值與平均偏差值ERR之比，顯然同時(shí)考慮2個(gè)固有頻率向量的相關(guān)性及這2個(gè)向量間的平均偏差，來(lái)衡量2個(gè)向量之間的一致性，公式見(jiàn)式(2)。

IDR=IDNFVAC/ERR

(2)

由于損傷數(shù)據(jù)庫(kù)中的數(shù)據(jù)信息較大，在進(jìn)行向量計(jì)算時(shí)，利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)。具體步驟為：

(1)計(jì)算完好結(jié)構(gòu)及每個(gè)單元損傷不同程度后的頻率形成損傷特征數(shù)據(jù)庫(kù)。

(2)數(shù)值模擬指定工況的損傷，得一組頻率列向量。

(3)利用式(1)，將各工況所得的頻率列向量與損傷特征庫(kù)中的各個(gè)列向量相乘，將INFVAC值較大的對(duì)應(yīng)的所有模式記為{Echange}。

(4)在{Echange}中，利用式(2)求IDR。

(5)結(jié)論：在{Echange}中IDR越大，則待檢測(cè)結(jié)構(gòu)的損傷模式就是對(duì)應(yīng)的特征庫(kù)中損傷模式。

1.2 特征值曲線交點(diǎn)法

具有N自由度的自由振動(dòng)系統(tǒng)，其振動(dòng)方程為式(3)。

(3)

若忽略阻尼的影響，其特征值由式(3)的特征方程求解得到式(4)。

([K]-λ[M])[φ]={0}

(4)

式中:[K]、[M]、λ、[φ]分別為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、特征值、特征向量(振型向量)，其中λ=ω2，ω為結(jié)構(gòu)的固有頻率。

當(dāng)結(jié)構(gòu)遭到破壞時(shí)，結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量等會(huì)發(fā)生變化，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的頻率發(fā)生變化。因此，損傷識(shí)別可以根據(jù)自然結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率的變化進(jìn)行。設(shè)結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量矩陣[K]、[M]發(fā)生輕微變化[ΔK]、[ΔM]，則結(jié)構(gòu)的特征值λ和特征向量[φ]也會(huì)有微小的變化，另此變化為Δλ、[Δφ]，則式(4)可以寫(xiě)作式(5)。

(([K]+[ΔK])-(λ+Δλ)([M]+

[ΔM]))([φ]+[Δφ])={0}

(5)

對(duì)于橋梁工程問(wèn)題，結(jié)構(gòu)損傷往往會(huì)影響構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的剛度，但是對(duì)其質(zhì)量沒(méi)有明顯的影響，因此可以忽略[ΔM]的影響，所以式(5)可以轉(zhuǎn)換為式(6)。

(([K]+[ΔK])-(λ+Δλ)[M])([φ]+[Δφ])={0}

(6)

將式(6)化簡(jiǎn)，忽略二次項(xiàng)，可得式(7)。

(7)

對(duì)于其中某一個(gè)振型[φi] (i=1，2，……，N)來(lái)說(shuō)，給出式(8)。

(8)

以[ΔKn]表示第n個(gè)單元?jiǎng)偠鹊淖兓敲词?8)變?yōu)槭?9)。

(9)

式(9)建立了結(jié)構(gòu)剛度變化與結(jié)構(gòu)特征值之間的關(guān)系。當(dāng)僅第n個(gè)單元損傷時(shí)(即單個(gè)單元損傷時(shí))為式(10)。

(10)

將結(jié)構(gòu)特征值的變化定義為結(jié)構(gòu)損傷位置與單元損傷程度的函數(shù)，有式(11)。

Δλ=Δλ(αn,n)

(11)

式中：αn為一標(biāo)量，表示n單元的損傷程度，又[ΔKn]=αn[Kn]，式(11)變?yōu)槭?12)。

(12)

式(12)表示特征值的變化不僅依賴于結(jié)構(gòu)損傷的位置，而且還依賴于結(jié)構(gòu)損傷的程度。取兩階振型對(duì)應(yīng)的特征值為Δλi及Δλj，兩階模態(tài)對(duì)應(yīng)的頻率變化比為式(13)。

(13)

式(13)表明：當(dāng)結(jié)構(gòu)只有一個(gè)單元發(fā)生損傷時(shí)，任意兩階頻率平方變化比只是損傷位置的函數(shù)，和損傷的程度大小沒(méi)有關(guān)系。

不同位置單元的損傷對(duì)應(yīng)一組特定的“頻率平方變化比”集合，根據(jù)結(jié)構(gòu)損傷前后各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的“頻率平方變化比”，就可以識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷位置。

基于以上理論，總結(jié)出用特征值曲線交點(diǎn)法進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的步驟：

(1)計(jì)算出結(jié)構(gòu)各單元損傷時(shí)對(duì)應(yīng)的特征值，構(gòu)建“頻率平方變化比”指標(biāo)，以作為損傷檢測(cè)的理論值。根據(jù)式(13)，以各單元不同損傷程度對(duì)應(yīng)的“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1的平均值作為縱坐標(biāo)，以單元編號(hào)為橫坐標(biāo)，作出Δλi/Δλ1(i=2,3)對(duì)應(yīng)的曲線圖。由于不同單元對(duì)應(yīng)的“頻率平方變化比”差異較大，這里采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)來(lái)表示。

(2)數(shù)值模擬指定工況的損傷，求出對(duì)應(yīng)的“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1(i=2,3)，并在步驟(1)的曲線圖中作一條直線，直線與曲線的交點(diǎn)即為可能的損傷單元。

2 仿真算例

選擇簡(jiǎn)支梁作為損傷識(shí)別研究的對(duì)象。該簡(jiǎn)支模型梁全長(zhǎng)L=1000 mm，寬b=30 mm，高h(yuǎn)=30 mm，彈性模量E=2.058×1011Pa，容重γ=7.86×107N/m3。

把梁劃分為20個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算，編號(hào)為1～20，21個(gè)節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)支梁模型如圖1所示。

圖1 簡(jiǎn)支梁有限元模型(單位：mm)

2.1 前期工作

以剛度的下降模擬結(jié)構(gòu)單元的損傷程度，對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)通常的損傷而言，結(jié)構(gòu)剛度損傷超過(guò)50%時(shí)已失去其意義。

對(duì)于固有頻率向量法，計(jì)算完好結(jié)構(gòu)與各單元發(fā)生5%、10%、15%、20%、25%、30%、35%、40%、45%、50%損傷時(shí)的固有頻率，從而形成損傷特征數(shù)據(jù)庫(kù)。

對(duì)于特征值曲線交點(diǎn)法，在上述求得固有頻率的基礎(chǔ)上，求出每個(gè)單元在不同損傷程度下Δλi/Δλ1的均值。

2.2 損傷識(shí)別仿真

設(shè)置3個(gè)損傷單元，3種仿真工況如表1所示。仿真計(jì)算的目的為:①研究各方法損傷識(shí)別的能力；②比較各方法的優(yōu)劣。

表1 損傷工況

3種仿真工況對(duì)應(yīng)的前10階頻率值見(jiàn)表2。

表2 各工況對(duì)應(yīng)的頻率值

各工況對(duì)應(yīng)的Δλi/Δλ1(i=2,3)的值見(jiàn)表3。

表3 各工況對(duì)應(yīng)的頻率平方變化比值

2.3 損傷識(shí)別結(jié)果

2.3.1 固有頻率向量法

根據(jù)上述原理及計(jì)算步驟，MATLAB程序計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖2～圖4。

圖2 工況1損傷識(shí)別結(jié)果

圖3 工況2損傷識(shí)別結(jié)果

圖4 工況3損傷識(shí)別結(jié)果

由圖2～圖4可知，各工況損傷位置能夠精確識(shí)別，但由于損傷特征庫(kù)中沒(méi)有把所有可能損傷狀態(tài)下的固有頻率向量列出，對(duì)于本算例每隔5%才計(jì)算其固有頻率向量，故兩損傷狀態(tài)中間的量不能精確表達(dá)，所以從各圖中只能大致判斷出損傷程度。圖中判斷出的損傷程度與實(shí)際模擬的工況的損傷程度還是很接近的，如工況1，損傷程度為6.4%，很接近損傷程度為5%的情況；工況3，損傷程度為32.6%，很顯然其值介于30%～35%之間，且與兩者的均值相差很小，故圖4中30%與35%處柱狀比較突出，這種情況可由兩柱狀的均值反推出大致?lián)p傷程度。

2.3.2 特征值曲線交點(diǎn)法

特征值曲線交點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果如圖5～圖7所示；直線與曲線的交點(diǎn)處即為損傷位置，各工況損傷位置能夠精確識(shí)別，但無(wú)法區(qū)分對(duì)稱位置的損傷。且僅從圖5～圖7中無(wú)法直觀估計(jì)出損傷程度，需另覓方法探測(cè)損傷程度。

圖5 工況1損傷識(shí)別結(jié)果

圖6 工況2損傷識(shí)別結(jié)果

圖7 工況3損傷識(shí)別結(jié)果

2.4 2種識(shí)別方法的比較

(1)損傷定位與程度識(shí)別方面：2種方法均可以精確識(shí)別損傷位置(對(duì)稱位置除外，鑒于實(shí)際結(jié)構(gòu)由于各種原因一般不會(huì)完全對(duì)稱，故此方面不做重點(diǎn)考慮)。固有頻率向量法可較準(zhǔn)確的識(shí)別損傷程度，特征值曲線交點(diǎn)法無(wú)法識(shí)別損傷程度，這主要可從兩者的基本原理上即可看出。

(2)計(jì)算量方面：固有頻率向量法計(jì)算工作量大，需形成損傷特征數(shù)據(jù)庫(kù)(損傷程度劃分得越精細(xì)越好)，且組成向量所需頻率階次較多，本文計(jì)算到了前10階；特征值曲線交點(diǎn)法中，由于任意兩階頻率平方變化比只是損傷位置的函數(shù)，和損傷的程度大小沒(méi)有關(guān)系，故不需計(jì)算各損傷程度的值，只需要前2階頻率就可以進(jìn)行評(píng)估，計(jì)算量相對(duì)較少。

3 結(jié)束語(yǔ)

(1)對(duì)于像橋梁這種具有分布參數(shù)的體系，由于自由度較多，利用固有頻率向量法建立損傷特征庫(kù)則是一個(gè)龐大的工程。該方法在單位置損傷識(shí)別時(shí)尚且不能把所有可能損傷狀態(tài)下的固有頻率向量列出，對(duì)于多位置損傷識(shí)別(多個(gè)損傷程度一致、多個(gè)損傷程度不一致) 其普遍適用性更有待后續(xù)工作的進(jìn)一步研究。且如何使用較少的固有頻率得到較優(yōu)的識(shí)別結(jié)果也是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

(2)特征值曲線交點(diǎn)法計(jì)算量相對(duì)較小，但在利用交點(diǎn)定出損傷程度方面較欠缺。