■ 蘇明強(qiáng)

幾何直觀(guān)是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界的重要基礎(chǔ)，幾何直觀(guān)不僅有助于把握問(wèn)題的本質(zhì)、明晰思維的路徑，而且有助于形成數(shù)學(xué)抽象能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：幾何直觀(guān)主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣。幾何直觀(guān)的形成基礎(chǔ)在于“意識(shí)”，關(guān)鍵在于“習(xí)慣”，主要包含以下四個(gè)方面：一是能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類(lèi)；二是根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；三是建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀(guān)模型；四是利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路。下面，我們從“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，討論發(fā)展幾何直觀(guān)的三個(gè)基本途徑。

一、在數(shù)與代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中發(fā)展幾何直觀(guān)

數(shù)與代數(shù)主要包括數(shù)與運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系、代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)等。數(shù)與運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系和代數(shù)式是代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，方程、不等式和函數(shù)是代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)數(shù)與運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系兩個(gè)主題的內(nèi)容，為后續(xù)方程、不等式和函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定重要基礎(chǔ)。

在小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，我們可以通過(guò)建立“數(shù)”與“形”的緊密聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題中“量”的直觀(guān)模型，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀(guān)的形成與發(fā)展。這里的“量”從常量向變量進(jìn)階，從離散量向連續(xù)量過(guò)渡，主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面。

一是在數(shù)的認(rèn)識(shí)中，數(shù)是量的一種抽象，這里的“量”通常是常量、離散量。教學(xué)時(shí)，我們可以通過(guò)畫(huà)“圈圈圖”或制作圖形卡片的方式，建立離散量的直觀(guān)模型，理解數(shù)的意義，在這里幾何直觀(guān)主要表現(xiàn)為利用圖形描述和分析離散量的問(wèn)題。

二是在數(shù)的運(yùn)算中，運(yùn)算是關(guān)系的一種抽象，這里的“關(guān)系”通常是離散量的關(guān)系。教學(xué)時(shí)，我們可以通過(guò)畫(huà)圖的方式，建立離散量的直觀(guān)模型，理解數(shù)量關(guān)系，比如3×5，我們可以畫(huà)“圈圈圖”，每行畫(huà)5個(gè)圈圈，畫(huà)3 行，橫著看是3 個(gè)5，豎著看是5 個(gè)3，觀(guān)察的角度和算式變了，總數(shù)和結(jié)果不變，理解乘法的意義，在這里幾何直觀(guān)主要表現(xiàn)為利用圖形描述和分析離散量關(guān)系的問(wèn)題。

三是在數(shù)量關(guān)系中，關(guān)系是規(guī)律的一種抽象，“路程、速度與時(shí)間”“周長(zhǎng)公式”“面積公式”“體積公式”等數(shù)量關(guān)系，是變量、連續(xù)量之間變化規(guī)律的一種抽象。教學(xué)時(shí)，我們可以通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖和幾何圖的方式，建立數(shù)量關(guān)系的直觀(guān)模型，在這里幾何直觀(guān)主要表現(xiàn)為利用圖形描述和分析連續(xù)量變化規(guī)律的問(wèn)題。

二、在圖形與幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中發(fā)展幾何直觀(guān)

圖形與幾何主要包括圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量、圖形的位置與運(yùn)動(dòng)、圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形的坐標(biāo)等。小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量、圖形的位置與運(yùn)動(dòng)兩個(gè)主題的內(nèi)容，圖形認(rèn)識(shí)是圖形測(cè)量的基礎(chǔ)，圖形位置是圖形運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。

在小學(xué)階段圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，我們可以通過(guò)感知平面圖形和立體圖形及其構(gòu)成要素，依據(jù)要素的特征對(duì)圖形進(jìn)行分類(lèi)，以及根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形，深入分析圖形的性質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀(guān)的形成與發(fā)展。這里從圖形特征的感知到圖形性質(zhì)的進(jìn)階，由感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是在圖形的認(rèn)識(shí)中，圖是形的一種抽象，這里的“形”有一維的線(xiàn)段、射線(xiàn)和直線(xiàn)，有二維的角、三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓，還有三維的長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐等。

教學(xué)時(shí)，我們可以讓學(xué)生從整體的角度感知這些圖形的形狀和從局部的角度感知圖形的基本構(gòu)成要素，在此基礎(chǔ)上根據(jù)要素的特征對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀(guān)。二是在圖形的測(cè)量中，測(cè)量是圖形大小量化的結(jié)果，一維量化的結(jié)果是長(zhǎng)度或周長(zhǎng)，二維量化的結(jié)果是面積，三維量化的結(jié)果是容積或體積。教學(xué)時(shí)，我們可以讓學(xué)生依據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形，在此基礎(chǔ)上根據(jù)圖形的特征深入分析圖形要素的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀(guān)。

三、在統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)學(xué)習(xí)中發(fā)展幾何直觀(guān)

統(tǒng)計(jì)與概率主要包括數(shù)據(jù)的分類(lèi)、數(shù)據(jù)的收集整理與表達(dá)、抽樣與數(shù)據(jù)分析、隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性、隨機(jī)事件的概率等。小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)“數(shù)據(jù)的分類(lèi)”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”三個(gè)主題的內(nèi)容。

在小學(xué)階段統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)習(xí)中，我們可以通過(guò)利用統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的路徑，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀(guān)的形成與發(fā)展。這里從數(shù)據(jù)信息直觀(guān)感知到數(shù)據(jù)規(guī)律直觀(guān)刻畫(huà)的進(jìn)階，由感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

一是在統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，統(tǒng)計(jì)是數(shù)據(jù)蘊(yùn)含規(guī)律的一種抽象，統(tǒng)計(jì)表是數(shù)據(jù)分類(lèi)與整理的有效手段，統(tǒng)計(jì)圖是數(shù)據(jù)蘊(yùn)含規(guī)律的一種直觀(guān)刻畫(huà)。教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際情境和數(shù)學(xué)問(wèn)題，用統(tǒng)計(jì)表直觀(guān)表達(dá)數(shù)據(jù)，學(xué)會(huì)根據(jù)真實(shí)情境和真實(shí)問(wèn)題，用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖直觀(guān)表達(dá)數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)出來(lái)的變化規(guī)律進(jìn)行推斷與預(yù)測(cè)，一般地，條形統(tǒng)計(jì)圖適用于表達(dá)離散型的數(shù)據(jù)，折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖適用于表達(dá)連續(xù)型的數(shù)據(jù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖適用于表達(dá)部分與整體關(guān)系的數(shù)據(jù)。

二是在概率知識(shí)的學(xué)習(xí)中，概率是隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性大小的一種抽象，本質(zhì)上是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小量化的一種結(jié)果。教學(xué)時(shí)，為了準(zhǔn)確把握隨機(jī)現(xiàn)象的變化規(guī)律，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式收集相關(guān)的數(shù)據(jù)，學(xué)會(huì)用統(tǒng)計(jì)表整理數(shù)據(jù)，在觀(guān)察數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象的變化規(guī)律。