?浙江省象山縣大目灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王 偉

1 問(wèn)題的提出

有些數(shù)學(xué)概念是抽象邏輯思維的產(chǎn)物，沒(méi)有客觀實(shí)在與之對(duì)應(yīng)，往往由于教學(xué)手段的限制而令學(xué)生“望而卻步”.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)指出：利用信息技術(shù)豐富教學(xué)場(chǎng)景，利用數(shù)學(xué)軟件開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而改進(jìn)教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變[1].如何將信息技術(shù)融入教學(xué)，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)？筆者對(duì)此進(jìn)行了積極的探索.下面以浙教版八年級(jí)上冊(cè)“5.2函數(shù)(1)”為例，談?wù)劰P者的實(shí)踐與思考.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 情境創(chuàng)設(shè)，經(jīng)歷概念的產(chǎn)生過(guò)程

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了常量和變量，知道可以取不同數(shù)值的量叫做變量.那么，現(xiàn)實(shí)生活中的這些變量在變化過(guò)程中有什么關(guān)系呢？下面來(lái)探究一些實(shí)例.

實(shí)例1小慧的姐姐是一名大學(xué)生，暑假去某餐飲店打工，報(bào)酬是15元/h，設(shè)小慧的姐姐這個(gè)月工作的間為th，應(yīng)得報(bào)酬為m元，填寫表1：

表1 報(bào)酬與工作時(shí)間關(guān)系

(1)在這個(gè)變化過(guò)程中，有幾個(gè)變量？分別是什么？誰(shuí)隨著誰(shuí)的變化而變化？

(2)給定一個(gè)t的值，我們可以得到幾個(gè)對(duì)應(yīng)的m的值？t與m的數(shù)量關(guān)系是什么？

(1)在這個(gè)變化過(guò)程中，有幾個(gè)變量？分別是什么？誰(shuí)隨著誰(shuí)的變化而變化？

(2)給定一個(gè)v的值，可以算出幾個(gè)相應(yīng)的s的值？

實(shí)例3按照如圖1的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，試任意輸入一個(gè)x的值，根據(jù)y與x的數(shù)量關(guān)系求出相應(yīng)y的值.

教師出示VB編程的數(shù)值轉(zhuǎn)換器,如圖2.

圖1

圖2

(1)在這個(gè)變化過(guò)程中，有幾個(gè)變量？分別是什么？誰(shuí)隨著誰(shuí)的變化而變化？

(2)任給一個(gè)x的值，可以得出幾個(gè)相應(yīng)的y的值？

總結(jié)歸納：當(dāng)變量t，v，x確定時(shí)，m，s，y分別隨之唯一確定.

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)本質(zhì)屬性的揭示，應(yīng)建立在大量的函數(shù)原型分析的基礎(chǔ)上.此環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了三個(gè)圍繞函數(shù)概念構(gòu)成因素的代表性問(wèn)題情境.學(xué)生通過(guò)觀察、識(shí)別、比較等認(rèn)知行為提取出與概念相關(guān)的關(guān)鍵信息，再進(jìn)行計(jì)算、分析、比較等思考后確定抽象的對(duì)象是變量之間的關(guān)系，對(duì)函數(shù)的本質(zhì)屬性有了初步理解.信息技術(shù)亮點(diǎn)是在VB編程的數(shù)值轉(zhuǎn)換器的計(jì)算活動(dòng)中，使學(xué)生直觀地感知到函數(shù)的本質(zhì)屬性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望.教師適時(shí)給出VB編程的數(shù)值轉(zhuǎn)換器的代碼，并揭示其本質(zhì)是關(guān)系式y(tǒng)=2x-1，讓學(xué)生接觸到信息的核心內(nèi)容“編程語(yǔ)言”，以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)信息技術(shù)的興趣，反過(guò)來(lái)學(xué)生也會(huì)體會(huì)到信息技術(shù)的發(fā)展離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí).

2.2 問(wèn)題引導(dǎo)，經(jīng)歷概念的抽象過(guò)程

根據(jù)上述分析，進(jìn)行歸納概括.

問(wèn)題1拋開(kāi)實(shí)際背景，上述三個(gè)情境中的變量和變量關(guān)系都有哪些共同特征？

問(wèn)題2這些特征是否適用于一般的同類型的變量關(guān)系？

教師在聆聽(tīng)學(xué)生觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上對(duì)它們的共同特征進(jìn)行總結(jié)性講解：每組關(guān)系都涉及兩個(gè)變量；對(duì)于其中一個(gè)變量的每一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).這樣的變量關(guān)系在數(shù)學(xué)上稱為函數(shù)(揭示課題).

問(wèn)題3嘗試用文字語(yǔ)言給函數(shù)下定義.

定義精致化后得到：一般地，在某個(gè)變化過(guò)程中，設(shè)有兩個(gè)變量x，y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫做自變量.

設(shè)計(jì)意圖：在明確研究的對(duì)象是變量關(guān)系時(shí)，學(xué)生通過(guò)比較、歸納、概括等復(fù)雜思考提取共性(變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系)后建立清晰的函數(shù)概念表象，感受到了更高層次的數(shù)學(xué)抽象，積累了抽象概括的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)函數(shù)概念加以表征時(shí)，八年級(jí)的學(xué)生還缺乏相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)和能力，此時(shí)需教師加以引導(dǎo).

2.3 交流辨析，內(nèi)化理解概念

活動(dòng)1：下列關(guān)系式中，y是不是x的函數(shù)？為什么？①y=x；②y=x2；③y2=x.

活動(dòng)2：再舉一個(gè)函數(shù)的實(shí)例.(小組合作)

教師舉例：如圖3所示是某城市12個(gè)月平均最高氣溫變化圖.

圖3

(1)T是關(guān)于m的函數(shù)嗎？為什么？

(2)該城市4月的平均最高氣溫大約是多少？12月呢？

圖4

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)1借助希沃白板的課堂活動(dòng)分組競(jìng)爭(zhēng)的比賽(如圖4)，學(xué)生完成了對(duì)關(guān)系式是不是函數(shù)的辨別.用游戲的方式調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和參與的主動(dòng)性.①②是正例，③是反例，讓學(xué)生明確概念的外延.追問(wèn)為什么，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解.活動(dòng)2則是通過(guò)學(xué)生舉例，體會(huì)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變量關(guān)系的重要的工具，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念外延的進(jìn)一步理解.教師舉例，某城市12個(gè)月平均最高氣溫變化圖讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突(學(xué)生之前一般只具有表格、等式表示函數(shù)的經(jīng)驗(yàn))，進(jìn)一步拓展了概念的外延，并為學(xué)生了解圖象法做好鋪墊.

2.4 合作探究，感悟概念的衍生過(guò)程

問(wèn)題探究：觀察前面的例子，你認(rèn)為函數(shù)可以用哪些形式來(lái)表示？

歸納總結(jié)得到：列表法、解析法、圖象法.

我們把自變量x取一個(gè)確定的值，對(duì)應(yīng)的y的值稱為函數(shù)值.從上面的分析，你能告訴大家，對(duì)于用不同方法表示的函數(shù)，如何求函數(shù)值？

歸納總結(jié)得到：查表、代入、作圖.

設(shè)計(jì)意圖：回顧實(shí)例，學(xué)生在探究活動(dòng)中感悟到歸納思想，提煉出函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析法、圖象法.學(xué)生參與從一般的函數(shù)值定義到三種不同表示方法的函數(shù)值求法的活動(dòng)，再次體會(huì)函數(shù)自變量與因變量“單值對(duì)應(yīng)”的關(guān)系，突出函數(shù)的本質(zhì)屬性.

2.5 典例分析，掌握概念的應(yīng)用方法

研究函數(shù)中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，掌握它們的變化規(guī)律，有利于人們解決日常生活中的實(shí)際問(wèn)題.

例1國(guó)內(nèi)投遞快遞需收取快遞費(fèi)，快遞費(fèi)價(jià)格包括首重價(jià)格和續(xù)重價(jià)格，其中續(xù)重價(jià)格和質(zhì)量關(guān)系如表2.

表2 快遞續(xù)重價(jià)格與質(zhì)量關(guān)系

(1)y是x的函數(shù)嗎？為什么？

(2)分別求當(dāng)x=400，1 200，1 500，2 300時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值.

(3)若續(xù)重價(jià)格為4元，能確定此快遞續(xù)重質(zhì)量嗎？

例2如圖5所示是小明放學(xué)回家的折線圖，其中t表示時(shí)間(單位：min)，s表示離開(kāi)學(xué)校的路程(單位：m).請(qǐng)根據(jù)圖象回答下面的問(wèn)題：

(1)這個(gè)函數(shù)反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？

(2)求當(dāng)t=2時(shí)的函數(shù)值，并說(shuō)明它的實(shí)際意義.

(3)小明回家途中有沒(méi)有停留？停留了多長(zhǎng)時(shí)間？

圖5

圖6

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在快遞運(yùn)費(fèi)、路程兩個(gè)具有代表性問(wèn)題的解決中，經(jīng)歷概念的“具體—一般—具體”的過(guò)程，形成利用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)，體會(huì)蘊(yùn)含在應(yīng)用過(guò)程中的函數(shù)思想和方法.快遞運(yùn)費(fèi)問(wèn)題改編自課本平信郵資問(wèn)題，更符合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn).信息技術(shù)的亮點(diǎn)是借助希沃白板的功能，手機(jī)拍攝學(xué)生解題過(guò)程并將其迅速上傳到屏幕，便于學(xué)生觀看、互評(píng)，起到及時(shí)反饋的作用.計(jì)時(shí)器(圖6)提高學(xué)生的注意力，培養(yǎng)學(xué)生時(shí)間管理能力，增強(qiáng)解題效果.

2.6 梳理提煉，歸納概念的學(xué)習(xí)套路

本節(jié)課大家學(xué)到了函數(shù)的哪些知識(shí)？

師生交流后梳理出本節(jié)課的知識(shí)框圖(圖7).

圖7

設(shè)計(jì)意圖：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)梳理、交流，重組相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，厘清函數(shù)的來(lái)龍去脈，將函數(shù)扎實(shí)地納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，完善了知識(shí)體系.知識(shí)框圖揭示了概念學(xué)習(xí)的基本套路，即概念抽象、概念辨析、概念應(yīng)用、下位概念.掌握概念學(xué)習(xí)的基本套路，有助于學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和研究，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3 教學(xué)思考

3.1 遵循規(guī)律，形成函數(shù)概念

概念教學(xué)的一般思路：?jiǎn)栴}引入—抽象概念—概念辨析—概念應(yīng)用—概念梳理[2].從教學(xué)過(guò)程看，筆者緊緊圍繞函數(shù)概念展開(kāi)建構(gòu)，從變量關(guān)系的視角出發(fā)探究實(shí)例，注重啟發(fā)學(xué)生歸納提煉其中蘊(yùn)含的共同特征，再逐步抽象出概念，形成初步的抽象能力；通過(guò)正反例、學(xué)生舉例、教師舉例進(jìn)行概念辨析；通過(guò)概念衍生，獲得函數(shù)的三種表示方式及函數(shù)值的意義；通過(guò)概念應(yīng)用，初步形成模型觀念；通過(guò)概念梳理，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系；學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中自然積累概念學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn).

3.2 技術(shù)助力，改善學(xué)習(xí)方式

《課標(biāo)》指出：注重信息技術(shù)與教學(xué)的融合，改進(jìn)教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變[1].在教學(xué)活動(dòng)中，創(chuàng)設(shè)多個(gè)融入信息技術(shù)的學(xué)習(xí)活動(dòng).如數(shù)值轉(zhuǎn)換器問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)程序，直觀地感受到任意輸入一個(gè)數(shù)，由關(guān)系式得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)；借助希沃白板的拖動(dòng)功能得到函數(shù)的完整定義；以游戲PK賽的形式完成關(guān)系式是不是函數(shù)的辨別；學(xué)生在操作中理解函數(shù)的定義.在知識(shí)應(yīng)用環(huán)節(jié)，借助手機(jī)拍照，將學(xué)生解題過(guò)程迅速上傳到屏幕，為學(xué)生自主學(xué)習(xí)提供更快捷的平臺(tái).上述活動(dòng)，使學(xué)生感受到多媒體技術(shù)的創(chuàng)新，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高了學(xué)生參與的主動(dòng)性，最終為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形式帶來(lái)新的氣象和新的內(nèi)涵.

3.3 設(shè)置問(wèn)題鏈，培養(yǎng)抽象思維

史寧中教授認(rèn)為抽象有兩個(gè)層次，一是從感性具體到理性具體，二是符號(hào)化，這既要求學(xué)生能將現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題數(shù)學(xué)化，又要求學(xué)生能從提取到的數(shù)學(xué)要素中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系、概念、命題等.筆者首先創(chuàng)設(shè)了三個(gè)圍繞函數(shù)概念構(gòu)成因素的代表性問(wèn)題情境并設(shè)置類似的問(wèn)題鏈，(1)在這個(gè)變化的過(guò)程中，有幾個(gè)變量？分別是什么？誰(shuí)隨著誰(shuí)的變化而變化？(2)給定一個(gè)變量的值，我們可以得到幾個(gè)對(duì)應(yīng)的變量的值？(3)一個(gè)變量確定，另一變量是否隨之唯一確定？接著在此基礎(chǔ)上再提問(wèn)，(4)拋開(kāi)實(shí)際背景，上述三個(gè)情境中的變量和變量關(guān)系都有哪些共同特征？這些特征是否適用于一般的同類的變量關(guān)系？問(wèn)題(1)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題“變量及變量之間的變化規(guī)律”.問(wèn)題(2)和問(wèn)題(3)通過(guò)對(duì)變量的分析建立了兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系.問(wèn)題(4)通過(guò)對(duì)不同背景之間的變量關(guān)系進(jìn)行比較、抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性.在這一過(guò)程中學(xué)生經(jīng)歷了函數(shù)概念螺旋式上升的抽象過(guò)程，不僅促進(jìn)其思維由直覺(jué)思維向抽象思維轉(zhuǎn)變，而且提升了其數(shù)學(xué)抽象思維的層次.