吉洋瑩，潘雨辰，黃 磊

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 成都 611756)

0 引言

統(tǒng)計(jì)研究時，數(shù)據(jù)往往存在多個變量。近幾十年，關(guān)于變量選擇方法的研究非常多。Akaike[1]提出AIC準(zhǔn)則，有助于減少模型過擬合的風(fēng)險。Schwarz[2]考慮了樣本數(shù)量，提出了懲罰因子為log(n)的BIC準(zhǔn)則。另外，在自變量越來越多的大數(shù)據(jù)時代下，其維度p甚至大于樣本量n。在這種高維情況下，基于AIC、BIC及其擴(kuò)展的子集選擇方法將導(dǎo)致計(jì)算的負(fù)擔(dān)和不可靠的結(jié)果。因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家又提出了許多針對高維環(huán)境下有用的變量選擇方法。例如，F(xiàn)an等[3]提出了SCAD(smoothly clipped absolute deviation)懲罰，SCAD既能連續(xù)地壓縮系數(shù)，也能在系數(shù)較大時取得漸近無偏估計(jì)。Tibshirani[4]提出了最小絕對收縮選擇算子(least absolute shrinkage and selection operator，LASSO)，在最小二乘基礎(chǔ)上添加l1懲罰得到稀疏模型。由于LASSO對回歸系數(shù)使用相同程度的壓縮，可能會造成估計(jì)不完全有效，模型選擇結(jié)果不一致的現(xiàn)象。因此，Zou[5]改進(jìn)LASSO并提出自適應(yīng)LASSO方法，使回歸系數(shù)有不同程度的壓縮。自適應(yīng)LASSO能夠一致地識別真實(shí)模型且所得估計(jì)具有oracle性質(zhì)。 除此以外，對于LASSO統(tǒng)計(jì)學(xué)家還做了不少拓展，針對具有組特征的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，Yuan等[6]提出可從組角度進(jìn)行變量選擇的group-LASSO方法。Group-LASSO對一組系數(shù)向量添加約束，克服了LASSO無法從組水平進(jìn)行變量選擇的缺點(diǎn)。 Wang等[7]將Zou[5]和Yuan等[6]的思想加以結(jié)合修訂，又提出了針對不同組系數(shù)施加不同懲罰的自適應(yīng)group-LASSO方法。

統(tǒng)計(jì)建模中，回歸用來量化因變量和自變量之間的關(guān)系。其中，最常見的參數(shù)估計(jì)方法是普通最小二乘法(ordinary least square，OLS)。最小二乘估計(jì)是一種基于均值回歸的估計(jì)方法，在滿足正態(tài)誤差假設(shè)時具有良好的性質(zhì)，如估計(jì)量具有無偏性和相合性。然而，當(dāng)誤差不滿足高斯-馬爾科夫假設(shè)條件，就有可能產(chǎn)生有偏的估計(jì)結(jié)果。若樣本數(shù)據(jù)中存在異常值，模型估計(jì)值可能存在較大偏差[8]。另外，有時候不僅希望研究因變量的期望均值，還希望能探索因變量的全局分布。于是，Koenker和Bassett[9]提出分位數(shù)回歸(quantile regression，QR)。分位數(shù)回歸應(yīng)用條件相對寬松，可以描述因變量的全局特征，也可以挖掘更為豐富的信息，另外分位數(shù)回歸估計(jì)采用最小化加權(quán)誤差絕對值和進(jìn)行估計(jì)，通常不受異常值的影響，結(jié)果更為穩(wěn)健。Yu等[10]總結(jié)了一些分位數(shù)回歸典型的應(yīng)用領(lǐng)域，分位數(shù)回歸在醫(yī)藥與生存分析、金融與經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)、環(huán)境分析等諸多領(lǐng)域得到應(yīng)用。 Engle等[11]在經(jīng)濟(jì)中對于計(jì)算VaR，提出了一種類似廣義自回歸條件異方差形式的計(jì)算分位數(shù)的方法。劉軍躍等[12]利用分位數(shù)回歸法，從碳減排角度實(shí)證分析了長江經(jīng)濟(jì)帶在不同碳排放水平下產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)升級與碳排放的關(guān)系。此外，分位數(shù)回歸還拓展到各種類型的數(shù)據(jù)中。例如，具有異方差誤差項(xiàng)的數(shù)據(jù)、時間序列數(shù)據(jù)、刪失數(shù)據(jù)等。

近年來，建立分位數(shù)回歸和LASSO類型相結(jié)合的分位數(shù)懲罰回歸的研究越來越廣泛。Ciuperca[13]提出了含有組特征變量的分位數(shù)自適應(yīng)group-LASSO。Wang等[14]結(jié)合中位數(shù)(least absolute deviation，LAD)回歸和LASSO構(gòu)建了LAD-LASSO。 LAD是分位數(shù)回歸中τ=0.5的回歸，LAD不受異常值的影響，結(jié)合正則化估計(jì)方法對高維數(shù)據(jù)進(jìn)行變量選擇，可以得到穩(wěn)健的結(jié)果。最近，許多分位數(shù)回歸方法的相關(guān)研究大多都集中在維數(shù)超過觀測值的高維數(shù)據(jù)中，如Wu等[15]，Wang等[16]研究了l1懲罰分位數(shù)回歸模型，證明了LASSO懲罰分位數(shù)回歸估計(jì)量的oracle性質(zhì)。

旨在提出一種含有順序類別自變量的高維回歸方法。教育研究中，受教育水平可以分為小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)、研究生教育[17]。患者的身體情況表現(xiàn)為嚴(yán)重?fù)p傷、輕微損傷、正常、非常好[18]。 這種具有順序類別的自變量，通常按照被觀測對象特征高低或大小依次賦值，將順序類別自變量轉(zhuǎn)換為啞變量形式。針對這類含有順序類別自變量的模型，利用前面提到的分位數(shù)懲罰回歸模型中的LAD-LASSO對模型進(jìn)行選擇，之后若直接對模型進(jìn)行擬合，不可保證能消除掉組變量中的偽分類，即組內(nèi)相鄰變量系數(shù)相等。 直接進(jìn)行模型擬合可能會造成過擬合的現(xiàn)象。為了避免發(fā)生過擬合， Walter等[19]提出順序類別變量的編碼方案，能夠很好地解釋系數(shù)估計(jì)，但依然存在過擬合和估計(jì)值不存在等問題。Gertheiss等[20]運(yùn)用嶺回歸能夠得到穩(wěn)健的參數(shù)估計(jì)，但過擬合現(xiàn)象還是沒有解決。之后，Tian等[21]提出啞變量線性變換方法(transformed dummies，TD)，將TD與BIC方法結(jié)合提出TD-BIC方法檢測偽分類。 Huang等[22]提出TD-LASSO方法，高維環(huán)境下采用LASSO較BIC更為容易。周曉霞等[23]將TD與機(jī)器學(xué)習(xí)相結(jié)合識別偽分類。晁越等[24]則是提出一種漸近相合的探測logistic回歸模型中順序多分類解釋變量的LTD-BIC偽分類識別方法。又由于LASSO的無差別懲罰，采用自適應(yīng)LASSO進(jìn)行改進(jìn)。因此，將TD與自適應(yīng)LASSO相結(jié)合提出TD-ADLASSO，再與LAD回歸相結(jié)合提出LAD-TD-ADLASSO識別偽分類。LAD-TD-ADLASSO既可以做參數(shù)估計(jì)還能識別偽分類，可以有效避免模型的過擬合風(fēng)險，提高預(yù)測精度。

剩余部分安排如下：第1節(jié)詳細(xì)介紹了TD和LAD-TD-ADLASSO偽分類識別與融合技術(shù)，并整理出一個系統(tǒng)性的可行算法；第2節(jié)通過2個實(shí)例，根據(jù)所提出的LAD-TD-ADLASSO偽分類識別與融合技術(shù)算法展示該方法的實(shí)用性和有效性；第3節(jié)進(jìn)行總結(jié)和展望。

1 模型與方法

在本節(jié)中，介紹了具有順序類別自變量的高維模型，并提出LAD-TD-ADLASSO算法。為了描述簡便，在以下模型推導(dǎo)中僅考慮包含一個順序類別自變量的回歸模型，而實(shí)際問題中的模型可能包含多個順序類別的自變量?？紤]含有一個m分類的順序類別自變量的線性模型：

Yi=α+β2X2,i+…+βmXm,i+

α1Z1,i+…+αkZk,i+εi,

i=1,2,…,N

(1)

式中：εi,i=1,…,N為隨機(jī)誤差。實(shí)際研究中，不光有順序類別自變量，還有連續(xù)型變量，用{Z1,…,Zk}表示k個連續(xù)型變量。{X2,…,Xm}為相應(yīng)的啞變量，m類別的順序類別自變量將生成m-1個啞變量，啞變量定義如下：

(2)

將模型(1)改寫成矩陣形式：

Y=Xβ+ε

(3)

式中：X為設(shè)計(jì)矩陣，X=(1,X2,…,Xm,Z1,…,Zk)，并假定列是滿秩的，Xj=(Xj,1,…,Xj,N)T,j=2,…,m。 連續(xù)型變量Zj=(Zj,1,…,Zj,N)T,j=1,…,k，因變量Y=(Y1,…,YN)T，回歸系數(shù)β=(α,β2,…,βm,α1,…,αk)T。誤差向量ε滿足高斯-馬爾科夫條件：

(ⅰ)E(ε)=0；

(ⅱ) Var(ε)=δ2I， Var(·)表示一個隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣。

使用最小二乘來估計(jì)回歸參數(shù)向量β，使得誤差向量ε=Y-Xβ的平方和達(dá)到最小，得到參數(shù)向量β的無偏估計(jì)：

(4)

當(dāng)誤差項(xiàng)不滿足高斯-馬爾科夫條件時，使用最小二乘估計(jì)可能造成估計(jì)有偏。同時，最小二乘極易受異常值的影響，當(dāng)樣本中存在異常值，使用最小二乘的誤差平方和可能產(chǎn)生較大偏差。而且，最小二乘確定的是自變量X取值x時，因變量Y的E(y|x)，無法給出因變量的一個全局分布。因此，Koenker等[9]提出分位數(shù)回歸，引入分位數(shù)回歸替換最小二乘估計(jì)，分位數(shù)回歸不對誤差分布做任何假定，可以得到一種穩(wěn)健性的參數(shù)估計(jì)方法。分位數(shù)回歸使用最小化加權(quán)誤差絕對值和進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，對異常值的影響較小。同時，分位數(shù)回歸可以給出自變量X取值x時，因變量Y取值的各種τ分位數(shù)Qτ(y|x)下的回歸擬合結(jié)果，即相應(yīng)Y取值的各種分位點(diǎn)的估計(jì)。

給定X=x，因變量Y的累積條件分布函數(shù)為FY(y|X=x)=P(Y≤y|X=x)。因變量Y的τth分位數(shù)的分位數(shù)回歸模型為：

Qτ(Y|X=x)=g(X,β)=xTβ(τ)

(5)

(6)

分位數(shù)回歸不能像最小二乘估計(jì)(4)一樣得到顯式解，通常基于損失函數(shù)ρτ(μ)，用數(shù)值算法對式(6)進(jìn)行求解：

(7)

主要研究當(dāng)τ=0.5時的LAD，LAD與分位數(shù)回歸一樣都具有對異常值不敏感，不對誤差分布做假設(shè)等特點(diǎn)，并且能得到穩(wěn)健的估計(jì)結(jié)果，其他τ分位點(diǎn)同理。

主要研究對含有順序類別自變量的樣本進(jìn)行建模，對于這類樣本建模時需要考慮偽分類的情況，避免模型因?yàn)榇嬖趥畏诸惏l(fā)生過擬合現(xiàn)象。對于解決過擬合現(xiàn)象，可以通過正則化進(jìn)行處理。Gertheiss等[20]曾提出對不含有連續(xù)型變量的模型，運(yùn)用嶺回歸方法進(jìn)行偽分類的識別：

(8)

順序類別自變量為有序類別，設(shè)置第一個類別為基準(zhǔn)類，定義β1=0，這樣可以方便懲罰相鄰類別之間的系數(shù)差異。 將相鄰2類系數(shù)之差定義為Δβj=βj-βj-1。該方法實(shí)際上是使用l2懲罰的嶺回歸方法，但嶺回歸無法消除偏差，不能有效識別出偽分類，且沒有考慮連續(xù)型變量，因此模型不具有可解釋性。

之后，Huang等[22]提出TD-LASSO方法識別順序類別自變量中的偽分類，主要思想是運(yùn)用TD對系數(shù)進(jìn)行懲罰。由于TD-LASSO是基于最小二乘基礎(chǔ)上進(jìn)行的，可知最小二乘對異常值敏感，且對模型誤差有正態(tài)假設(shè)條件。因此，根據(jù)LAD的不受異常值影響，不對模型誤差做假設(shè)還能得到穩(wěn)健性估計(jì)結(jié)果的特點(diǎn)。用LAD替換最小二乘提出LAD-TD-LASSO。又由于LASSO采用無差別的懲罰系數(shù)，會導(dǎo)致部分自變量系數(shù)被過度壓縮降低估計(jì)效率，并影響選擇的一致性。因此，采用自適應(yīng)LASSO對LAD-TD-LASSO方法加以改進(jìn)提出LAD-TD-ADLASSO方法對偽分類進(jìn)行識別，具體步驟如算法1所示。

算法1LAD-TD-ADLASSO算法

α1Z1,i+…+αkZk,i+εi

(9)

步驟2將步驟1中的參數(shù)進(jìn)行合并整理：

ΔβmXm,i+α1Z1,i+…+αkZk,i+εi

(10)

α1Z1,i+…+αkZk,i+εi

(11)

步驟4使用分位數(shù)懲罰回歸識別偽分類，令φ=(α,Δβ2,…,Δβm,α1,…,αk)T，則

(12)

2 真實(shí)數(shù)據(jù)

在本節(jié)中，使用提出的LAD-TD-ADLASSO方法對2個實(shí)際數(shù)據(jù)例子進(jìn)行分析研究，比較模型結(jié)果，觀察并分析該方法是否具有實(shí)用性和有效性。

2.1 實(shí)證分析1

分析一個來自醫(yī)學(xué)研究的真實(shí)數(shù)據(jù)集。數(shù)據(jù)來自新加坡眼科研究所眼科流行病學(xué)研究小組，見網(wǎng)站blog.uus.edu.sg/SEED。重點(diǎn)研究眼病、糖尿病、視網(wǎng)膜病變、青光眼、屈光不正和白內(nèi)障等。選擇其中一個糖尿病數(shù)據(jù)集來展示所提出的LAD-TD-ADLASSO方法對具有順序類別自變量的模型的性能。一共3 280個數(shù)據(jù)，7個變量。數(shù)據(jù)存在缺失值，利用刪除法對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，剩余3 242個數(shù)據(jù)。其中因變量為血壓，有4個順序類別自變量，分別是性別、受教育水平、家庭經(jīng)濟(jì)狀況、糖尿病診斷。連續(xù)變量為年齡和BMI指標(biāo)(身高與體重平方的比值)，根據(jù)以往的醫(yī)學(xué)研究可將年齡和BMI進(jìn)行分類。年齡以10年為一分段將其劃分為一個5分類的順序類別自變量。BMI根據(jù)世界衛(wèi)生組織(WHO)的劃分標(biāo)準(zhǔn)將其劃分成偏瘦、正常、肥胖前狀態(tài)、一級肥胖、二級肥胖、三級肥胖。整個糖尿病數(shù)據(jù)集有6個順序類別自變量。醫(yī)學(xué)研究中通常繪制table one向讀者展示研究人群的基本特征變量，見表1。特征變量中用(*)表示順序類別自變量。對順序類別自變量的分類情況做相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)描述，得到相應(yīng)的頻數(shù)和頻率。連續(xù)型變量描述其均值、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)和最大最小值。

表1 糖尿病數(shù)據(jù)集的統(tǒng)計(jì)描述

判斷順序類別自變量中是否存在偽分類，以受教育水平為例。繪制受教育水平影響血壓的階梯圖，如圖1所示。受教育水平中2、3分類對于血壓影響相似， 猜測受教育水平中2、3分類之間沒有顯著差異，可能存在偽分類。同樣，受教育水平中4、5分類對于血壓影響非常接近，猜測受教育水平中4、5分類可能存在偽分類。但不能單憑圖1就猜測哪些類別存在偽分類，需要通過提出的LAD-TD-ADLASSO方法進(jìn)行偽分類的識別。

圖1 受教育水平影響血壓的階梯圖

首先，構(gòu)造線性模型(模型1)為：

然后，通過LAD-TD-ADLASSO方法識別出順序類別自變量中隱藏的偽分類，檢測出受教育水平中3、4分類為偽分類，5、6分類為偽分類，將6分類的受教育水平進(jìn)行偽分類識別與融合得到一個4分類的順序類別自變量。 家庭經(jīng)濟(jì)狀況中2、3、4分類為偽分類，將其合并為一個2分類順序類別的自變量。BMI分類中4、5、6分類為偽分類，融合成一個4分類變量。建立模型2：

為了評價未做TD-ADLASSO偽分類識別的模型1和做過TD-ADLASSO偽分類識別的模型2的差異性。 同時，檢驗(yàn)做LAD與做最小二乘下的模型的性能。 采用交叉驗(yàn)證進(jìn)行評價，交叉驗(yàn)證可以用于評估模型的預(yù)測性能。比較平均絕對誤差(mean absolute error，MAE)和均方誤差(mean square error，MSE)指標(biāo)，MAE和MSE越小，則表示模型效果越好：

表2 添加干擾后交叉驗(yàn)證的MAE和MSE結(jié)果

將未做TD-ADLASSO偽分類識別的模型1基于最小二乘得到的結(jié)果記做OLS，模型1基于LAD得到的結(jié)果記做LAD。 將做過TD-ADLASSO偽分類識別的模型2基于最小二乘得到的結(jié)果記做TD+OLS，模型2基于LAD得到的結(jié)果記做TD+LAD。

根據(jù)表2可知，TD+OLS得到的MAE和MSE均小于OLS的MAE和MSE，TD+LAD下的MAE和MSE結(jié)果也均小于LAD的結(jié)果。說明經(jīng)過TD-ADLASSO偽分類識別下的模型較未經(jīng)過TD-ADLASSO偽分類識別的模型更具穩(wěn)健性。同時，比較模型1和模型2內(nèi)部的OLS和LAD結(jié)果，經(jīng)過偽分類識別的模型2中，基于LAD得到的MAE和MSE均小于基于OLS得到的MAE和MSE。同樣，未經(jīng)過TD-ADLASSO偽分類識別的模型1中，基于LAD得到的MAE和MSE均小于基于OLS得到的MAE和MSE。表明LAD較最小二乘更具穩(wěn)健性。通過TD+LAD得到的MAE和MSE結(jié)果發(fā)現(xiàn)，使用了TD的模型MAE、MSE不僅更小，而且啞變量個數(shù)變少，模型更精簡，這符合解釋型建模的要求。而且使用了LAD的模型，在隨機(jī)干擾下表現(xiàn)更穩(wěn)健。因此，提出的LAD-TD-ADLASSO方法在實(shí)際數(shù)據(jù)處理上具有可行性。

2.2 實(shí)證分析2

數(shù)據(jù)來自于成都市某中學(xué)不同年級學(xué)生的若干項(xiàng)目指標(biāo)，該組數(shù)據(jù)包含了2 550位同學(xué)的大樣本數(shù)據(jù)，主要統(tǒng)計(jì)了2類指標(biāo)：一類是身體素質(zhì)，包括性別、身高、體重；另一類是體測成績，此類指標(biāo)包括肺活量、50米跑、坐位體前屈、一分鐘跳繩。將50米跑作為因變量，考慮其他因素的影響，其中有6個順序類別的自變量，分別是年級、性別、體重、肺活量、坐位體前屈、一分鐘跳繩。 性別變量是二分類變量，1代表男性，2代表女性; 體重中的類別分為4個等級，等級1～4分別代表“正?！?，“低體重”，“超重”，“肥胖”; 肺活量中的類別分為4個等級，等級1～4分別代表“不及格”，“及格”，“良好”，“優(yōu)秀”; 坐位體前屈和一分鐘跳繩中的類別也分為4個等級，等級1～4代表的分類情況同上。變量及其變量解釋具體見表3。特征變量中用(*)表示順序類別自變量，其余的為連續(xù)型變量。對順序類別自變量的分類情況做相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)描述，連續(xù)型變量描述其均值、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)和最大最小值。

表3 成都市某中學(xué)不同年級學(xué)生的若干項(xiàng)目指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)描述

判別順序類別自變量中是否存在偽分類，以體重水平為例，繪制體重的核密度估計(jì)圖，如圖2所示。由圖2可知，體重的第2、3、4分類非常近似，猜測體重的2、3、4分類存在偽分類。為了判斷是否確實(shí)存在偽分類，通過提出的LAD-TD-ADLASSO判別偽分類。

圖2 體重的核密度估計(jì)圖

首先，構(gòu)造線性模型(模型3)為：

然后，通過LAD-TD-ADLASSO方法識別出順序類別自變量中隱藏的偽分類，如體重水平中的2、3、4分類為偽分類，將其合并為同一類，建立模型4：

為了評價未做TD-ADLASSO偽分類識別的模型3和做過TD-ADLASSO偽分類識別的模型4的差異性，以及檢驗(yàn)做最小二乘和做LAD的模型的性能。同樣，在交叉驗(yàn)證過程中，選擇訓(xùn)練集殘差最大的前5%的數(shù)據(jù)，將其因變量Y添加總體因變量的2倍標(biāo)準(zhǔn)誤差得到其MAE和MSE結(jié)果，見表4。

表4 添加干擾后交叉驗(yàn)證的MAE和MSE結(jié)果

根據(jù)表4可知，TD+LAD的MAE和MSE小于LAD的結(jié)果，且TD+OLS的MAE和MSE小于OLS的結(jié)果，表明通過TD-ADLASSO偽分類識別后的模型較未經(jīng)過TD-ADLASSO偽分類識別模型更具穩(wěn)健性，模型效果更好。比較模型3和模型4內(nèi)部的OLS和LAD結(jié)果，經(jīng)過TD-ADLASSO偽分類識別的模型4中，基于LAD得到的MAE和MSE均小于基于OLS得到的MAE和MSE。同樣，未經(jīng)過TD-ADLASSO偽分類識別的模型3中，基于LAD得到的MAE和MSE均小于基于OLS得到的MAE和MSE，表明LAD較最小二乘更具穩(wěn)健性。通過TD+LAD得到的MAE和MSE結(jié)果發(fā)現(xiàn)，使用了TD的模型MAE、MSE不僅更小，而且啞變量個數(shù)變少，模型更精簡，這符合解釋型建模的要求。而且使用了LAD的模型，在隨機(jī)干擾下表現(xiàn)更穩(wěn)健。因此，提出的LAD-TD-ADLASSO方法在實(shí)際數(shù)據(jù)處理上具有可行性。

3 結(jié)論

針對含順序類別自變量的線性回歸模型，研究LAD和一種新型的順序類別自變量的偽分類識別及融合技術(shù)。對提出的偽分類識別技術(shù)TD-LASSO加以改進(jìn)，利用自適應(yīng)LASSO代替LASSO對不同參數(shù)進(jìn)行不同壓縮提出TD-ADLASSO方法。之后，介紹了LAD的性質(zhì)并與最小二乘作比較得出LAD的優(yōu)勢，用LAD替換最小二乘做參數(shù)估計(jì)。對TD-ADLASSO偽分類識別技術(shù)加以改進(jìn)得到LAD-TD-ADLASSO方法，該方法能有效地進(jìn)行變量選擇與參數(shù)估計(jì)，得到穩(wěn)健性結(jié)果。最后通過糖尿病數(shù)據(jù)集和成都市某中學(xué)不同年級學(xué)生的若干項(xiàng)目指標(biāo)2個真實(shí)數(shù)據(jù)集，分別展示所提出的LAD-TD-ADLASSO方法識別偽分類的實(shí)用性，通過模型比較、交叉驗(yàn)證得到的結(jié)果證實(shí)提出的LAD-TD-ADLASSO方法具有可行性。 然而，本文中僅考慮τ=0.5的LAD，當(dāng)τ取任意分位數(shù)時，也是值得研究的內(nèi)容。