徐 鵬，李 正，曾俊杰，但遠(yuǎn)宏

(1.重慶理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 重慶 400054；2.重慶理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院， 重慶 400054)

0 引言

DC-DC變換器的控制策略是國內(nèi)外學(xué)者的重要研究內(nèi)容。其中PID[1-2]、模糊[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]、滑模變結(jié)構(gòu)[5-9]等控制技術(shù)常被應(yīng)用到DC-DC變換器的控制當(dāng)中。Buck變換器作為DC-DC變換器的一種，在實(shí)際控制中存在著對(duì)變換器參數(shù)變化敏感的問題，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，需要考慮到系統(tǒng)的魯棒性。20世紀(jì)50年代，滑模變結(jié)構(gòu)[10]控制正式提出，其控制方式具有對(duì)系統(tǒng)內(nèi)外部參數(shù)變化不敏感的特性，具備良好的魯棒性，這一非線性控制策略非常契合Buck變換器的工作模式。文獻(xiàn)[11]將滑模變結(jié)構(gòu)控制策略運(yùn)用在降壓變換器中，實(shí)現(xiàn)了Buck變換器的滑?？刂?，但存在著不能在有界時(shí)間內(nèi)收斂且抖振較大的問題。文獻(xiàn)[12]與文獻(xiàn)[13]提出了新型趨近律，使得降壓變換器電壓輸出紋波明顯減少。針對(duì)收斂時(shí)間不定，文獻(xiàn)[14]采用全局終端滑模的控制方式，取得了良好的控制效果。文獻(xiàn)[15]對(duì)整個(gè)滑模面附加修正滑動(dòng)函數(shù)，有效解決了Buck變換器的收斂精度問題，但其設(shè)計(jì)復(fù)雜且輸出電壓存在明顯抖振。

不同于文獻(xiàn)[15]，本文針對(duì)Buck變換器的魯棒性和收斂精度，提出了一種基于修正滑動(dòng)函數(shù)改進(jìn)趨近律的控制方法,并設(shè)計(jì)了一種快速終端模糊滑模控制策略。首先定義了一種PD控制的滑模面函數(shù)，結(jié)合改進(jìn)后的趨近律以及模糊控制對(duì)切換增益進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)了Buck變換器改進(jìn)型快速終端模糊滑模控制器，并給出了相同控制思想的2種改進(jìn)型控制器?；诶顏喥章宸蚍€(wěn)定性理論，對(duì)所設(shè)計(jì)的改進(jìn)型趨近律函數(shù)和控制器進(jìn)行了穩(wěn)定性證明，確保系統(tǒng)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂。通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析，基于PD型滑模面函數(shù)以及改進(jìn)趨近律的滑?？刂破骶軐?shí)現(xiàn)電壓的零靜差輸出，且削抖現(xiàn)象明顯。其中，改進(jìn)型快速終端模糊滑?？刂频腂uck變換器實(shí)現(xiàn)了電壓的高精度輸出，表現(xiàn)出良好的魯棒性。

1 數(shù)學(xué)模型建立

直流降壓變換器結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中Vi為輸入電壓、Q為開關(guān)管、D為續(xù)流二極管、C為儲(chǔ)能電容、L為儲(chǔ)能電感、R為電阻負(fù)載，Vo為輸出電壓。

圖1 Buck變換器結(jié)構(gòu)

當(dāng)開關(guān)管Q開通時(shí)，負(fù)載由直流電源Vi進(jìn)行供電，在電感L中儲(chǔ)存能量。當(dāng)開關(guān)管關(guān)斷時(shí)，電感L釋放能量，通過控制開關(guān)管在1個(gè)周期中開通時(shí)間與關(guān)斷時(shí)間的比例系數(shù)Du即可實(shí)現(xiàn)變換器的降壓功能。

根據(jù)Buck在電感電流連續(xù)模式(continuous conduction mode，CCM)下的工作特性并結(jié)合狀態(tài)空間平均法，可以得到直流降壓變換器的狀態(tài)空間方程為：

(1)

根據(jù)式(1)，可以得到關(guān)于輸出電壓誤差x1以及電壓誤差微分x2的狀態(tài)空間方程，其中Vr為電壓參考輸出。設(shè)：

(2)

則關(guān)于輸出電壓誤差的狀態(tài)空間方程可表示為：

(3)

直流降壓變換器具有快速性，但穩(wěn)定性不足，需設(shè)計(jì)合適的控制器。

2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明

2.1 滑動(dòng)函數(shù)分析

直流降壓變換器在傳統(tǒng)滑?？刂葡麓嬖诙墩翊?、收斂精度差以及魯棒性不足的問題。針對(duì)這一現(xiàn)象，提出采用滑動(dòng)函數(shù)對(duì)趨近率進(jìn)行優(yōu)化，以提高變換器的收斂精度和魯棒性。

定義PD控制的滑模面為：

(4)

其中Kp、Kd為比例及微分系數(shù)。

將式(4)進(jìn)行拉普拉斯變換可得：

(5)

此時(shí)，將滑動(dòng)函數(shù)設(shè)計(jì)為：

(6)

由拉普拉斯變換可得：

(7)

將式(5)與式(7)求解可以得到式(8)：

(8)

(9)

由式(6)可知，該控制器的階次比傳統(tǒng)控制器高，控制效果更好，且當(dāng)M(s)=0時(shí)，滑模函數(shù)S也將為0，保證了系統(tǒng)收斂。式(9)表示引入滑動(dòng)函數(shù)后，控制器將具備積分器的效果，有利于輸出靜差的減少。

證明：

2S2(t0)exp(-2Ki(t-t0))

(10)

式(10)中，t0是時(shí)間的初始時(shí)刻，且Ki> 0。當(dāng)滑動(dòng)函數(shù)M為正值時(shí)，S2在任何時(shí)刻均減小。同理，當(dāng)滑動(dòng)函數(shù)M為負(fù)值時(shí)，S2在任何時(shí)刻均增加，此時(shí)滿足：

(11)

據(jù)文獻(xiàn)[15]可知，該滑動(dòng)函數(shù)設(shè)計(jì)合理且穩(wěn)定。

2.2 趨近率設(shè)計(jì)與分析

采用指數(shù)趨近率對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，一般指數(shù)趨近率設(shè)計(jì)見式(12)，且ε> 0，K> 0。

(12)

對(duì)趨近率進(jìn)行改造，使趨近率具有積分器的作用，可迫使系統(tǒng)收斂零并趨于穩(wěn)定，設(shè)計(jì)形式為：

(13)

對(duì)改進(jìn)趨近率穩(wěn)定性證明，由李亞普洛夫穩(wěn)定條件：

(14)

當(dāng)S<0時(shí)，B<0，A>0；當(dāng)S>0時(shí)，B>0，A<0。綜上所述，V的導(dǎo)數(shù)小于0恒成立，該系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.3 基于滑動(dòng)函數(shù)的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

將指數(shù)趨近律進(jìn)行滑動(dòng)函數(shù)改造，并針對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行控制器的優(yōu)化，共設(shè)計(jì)出3種滑?？刂破?。

2.3.1改進(jìn)型滑?？刂破髟O(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明

在控制器設(shè)計(jì)中，選取e=Vr-Vo，則PD型滑模面函數(shù)可以設(shè)計(jì)為：

(15)

選取式(12)為趨近函數(shù)，將指數(shù)趨近率進(jìn)行滑模函數(shù)改造可得：

(16)

控制器設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)不附加修正滑動(dòng)函數(shù)的設(shè)計(jì)方式相同。因?yàn)榛瑒?dòng)函數(shù)具有積分器的作用，故可使M收斂至0，從而使收斂至0，整個(gè)系統(tǒng)收斂。這樣可使得控制器的設(shè)計(jì)難度大大降低，故控制量μ改進(jìn)前與改進(jìn)后分別為：

(17)

K·sgn(M(s))+εM(s)]

(18)

改進(jìn)前控制量μ穩(wěn)定性證明如下：

選擇李亞普洛夫函數(shù)：

(19)

對(duì)等式求一階導(dǎo)數(shù)得：

(20)

若系統(tǒng)穩(wěn)定，那么必須使得：

(21)

結(jié)合式(3)與式(17)可得：

-k|s|-εs2<0

(22)

改進(jìn)后控制量μ穩(wěn)定性分析如下：

在滑模面函數(shù)S設(shè)計(jì)合理情況下，結(jié)合式(14)同理可得：

(23)

系統(tǒng)可以在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面且收斂。

2.3.2改進(jìn)型快速終端模糊滑模控制器設(shè)計(jì)

1) 模糊控制器設(shè)計(jì)

由式(17)可知，切換增益K是抖振造成的主要原因。在Buck變換器進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，切換增益K應(yīng)減少，從而減少系統(tǒng)輸出抖振；在負(fù)載突變時(shí)會(huì)造成一定的系統(tǒng)干擾，此時(shí)應(yīng)使得切換增益K增大以提升其魯棒性。模糊控制器針對(duì)滑模控制的趨近函數(shù)中切換增益K進(jìn)行估計(jì)，實(shí)現(xiàn)降低抖振、提升魯棒性的目的。取：

K(t)=max|E(t)|+η

(24)

其中η>0，E(t)為系統(tǒng)中不確定項(xiàng)。

進(jìn)行穩(wěn)定性分析如下：

(25)

將控制率代入式(25)得：

-K(t)|s|-εs-E(t)s≤-η|s|

(26)

輸出為ΔK(t)，定義為：

ΔK={NB,NM,ZO,PM,PB}

輸入輸出的隸屬度函數(shù)曲線如圖2、3所示。

圖2 模糊輸入隸屬度

圖3 模糊輸出隸屬度

設(shè)計(jì)以下5條模糊規(guī)則：

采用積分的方式對(duì)K(t)的上界進(jìn)行估計(jì)，模糊滑?？刂破飨到y(tǒng)結(jié)構(gòu)見圖4。

圖4 模糊滑?？刂破飨到y(tǒng)結(jié)構(gòu)

2) 改進(jìn)型快速終端模糊滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

為了提升電壓響應(yīng)時(shí)間，提高系統(tǒng)魯棒性，采用快速終端滑模控制(fast terminal sliding mode control，F(xiàn)TSMC)對(duì)控制器進(jìn)行優(yōu)化?？焖俳K端滑模在terminal吸引子的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)可以在較短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行收斂，且在負(fù)載擾動(dòng)的情況下，能以較快的速度恢復(fù)至穩(wěn)態(tài)，從而提升控制器的性能?？焖俳K端滑模函數(shù)設(shè)計(jì)如下：

(27)

其中：Kp>0；p和q為正奇數(shù)且p>q；x1、x2分別為電壓誤差與電壓誤差的導(dǎo)數(shù)。

同樣，選擇由滑模面改進(jìn)后的趨近率：

(28)

結(jié)合模糊算法，可以得到最終的控制量μ：

(29)

控制量μ的穩(wěn)定性分析與2.3.1節(jié)類似，此處不再贅述。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了展示所設(shè)計(jì)算法的優(yōu)越性，使用表1參數(shù)在Matlab/Simulink環(huán)境下對(duì)直流降壓變換器進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并采取以上3種不同控制算法進(jìn)行對(duì)比分析。為使參數(shù)合理，控制效果達(dá)到最優(yōu)，普通滑模變結(jié)構(gòu)控制(sliding mode control，SMC)與改進(jìn)型SMC算法均采用改粒子群算法去參數(shù)進(jìn)行在線的整定。

為保證變換器的快速性和優(yōu)秀的穩(wěn)態(tài)性能，粒子群粒子的適應(yīng)度函數(shù)?。?/p>

(30)

當(dāng)Fitness值取最小時(shí)，變換器的性能達(dá)到最優(yōu)，實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)

SMC參數(shù)見表2。經(jīng)過改進(jìn)粒子群優(yōu)化后的控制器參數(shù)如表3所示。

表2 SMC參數(shù)

表3 改進(jìn)型SMC參數(shù)

改進(jìn)型模糊FTSMC控制器的參數(shù)繼承改進(jìn)型SMC控制器參數(shù)，并取p=3,q=1。

3.1 啟動(dòng)與穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)

在仿真實(shí)驗(yàn)中，算法1、算法2和算法3分別代指SMC控制器、改進(jìn)型SMC以及改進(jìn)型模糊FTSMC控制器。3種算法在Buck變換器啟動(dòng)時(shí)的性能曲線見圖5。Buck變換器穩(wěn)態(tài)性能見圖6。

圖6 Buck變換器穩(wěn)態(tài)性能

據(jù)圖5、6可知，算法1控制的Buck變換器在啟動(dòng)時(shí)存在明顯的電壓超調(diào)，在穩(wěn)態(tài)時(shí)存在電壓靜差且紋波較大。算法2和算法3控制的Buck變換器穩(wěn)態(tài)性能良好，在改進(jìn)趨近律的積分作用下可以穩(wěn)定輸出12 V電壓，其中算法3控制的Buck變換器在啟動(dòng)時(shí)電壓無超調(diào)并明顯削弱了抖振現(xiàn)象。

圖5 Buck變換器啟動(dòng)性能

3.2 變負(fù)載魯棒實(shí)驗(yàn)

Buck變換器進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，在0.01 s時(shí)刻對(duì)變換器進(jìn)行變負(fù)載實(shí)驗(yàn)，負(fù)載電阻從12 Ω突降至6 Ω，變負(fù)載實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

圖7 變負(fù)載實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.3 數(shù)據(jù)總結(jié)與分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，在附加積分型改進(jìn)趨近率的PD型滑模降壓變換器的2種控制算法中，變換器均能實(shí)現(xiàn)電壓的無靜差輸出，其中改進(jìn)型SMC控制趨近率引入了積分，在負(fù)載突變時(shí)產(chǎn)生了過積分現(xiàn)象，使得電壓恢復(fù)時(shí)產(chǎn)生超調(diào)，且恢復(fù)時(shí)間長。

通過數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)型模糊快速終端滑?？刂菩Ч顑?yōu)，輸出電壓紋波比其他3種控制算法減少了數(shù)個(gè)量級(jí)；在保證變換器啟動(dòng)時(shí)間短的條件下，良好實(shí)現(xiàn)了電壓無超調(diào)到達(dá)穩(wěn)態(tài)，且用時(shí)最少；在吸引子和模糊控制的共同作用下，有效削弱了過積分現(xiàn)象，提升了變換器的魯棒性。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證算法可行性和優(yōu)越性，在Buck變換器樣機(jī)中進(jìn)行了SMC(算法1)、改進(jìn)型SMC(算法2)以及改進(jìn)型模糊FTSMC(算法3)3種算法控制下啟動(dòng)實(shí)驗(yàn)、穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)以及12 Ω到6 Ω的變負(fù)載實(shí)驗(yàn)。

啟動(dòng)實(shí)驗(yàn)、穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)和變負(fù)載實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分別如圖8—10、圖11—13和圖14—16所示。

圖9 改進(jìn)型SMC啟動(dòng)波形(755 μs)

圖10 改進(jìn)型模糊FTSMC啟動(dòng)波形(595 μs)

圖11 SMC穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)曲線(11.8 V/P-P 320 mV)

圖12 改進(jìn)型SMC穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)曲線(12 V/P-P 160 mV)

圖13 改進(jìn)型模糊FTSMC穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)曲線(12 V/P-P 80 mV)

圖14 SMC變負(fù)載實(shí)驗(yàn)曲線(P-P 640 mV/280 μs)

圖15 改進(jìn)型SMC變負(fù)載實(shí)驗(yàn)曲線(P-P 640 mV/168 μs)

圖16 改進(jìn)型模糊FTSMC負(fù)載實(shí)驗(yàn)曲線(P-P 400 mV/152 μs)

可以看出，相比于SMC控制方法和改進(jìn)型SMC控制方法，改進(jìn)型模糊FTSMC控制的Buck變換器性能最優(yōu)。在該方法下，變換器啟動(dòng)時(shí)輸出電壓到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)間更短，超調(diào)量更少；穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出穩(wěn)態(tài)電壓峰峰值為80 mV，精度更高；在電阻負(fù)載切換的情況下魯棒性更好，電壓動(dòng)態(tài)調(diào)整率低且調(diào)整時(shí)間少，與仿真結(jié)果一致。

5 結(jié)論

針對(duì)普通滑?？刂频闹绷鹘祲鹤儞Q器收斂精度低、魯棒性不足的特點(diǎn)，提出一種修正滑動(dòng)函數(shù)優(yōu)化趨近率的控制方式，并進(jìn)行了控制特性和穩(wěn)定性的論證。通過仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)物驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，相對(duì)普通滑?？刂疲瑑?yōu)化后的控制器的控制性能均有較大提升。其中，所設(shè)計(jì)的改進(jìn)型模糊快速終端滑?？刂破髟谥绷鹘祲鹤儞Q器控制中表現(xiàn)優(yōu)異，實(shí)現(xiàn)了輸出電壓的高精度與高魯棒。基于修正滑動(dòng)函數(shù)的趨近律改進(jìn)策略為直流降壓變換器的趨近律控制提供了新方法，可推廣至其他領(lǐng)域的滑?？刂飘?dāng)中。