郝文欣，宋 斌，王鵬宇，朱東方，李傳江

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201108；3.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109）

隨著反導(dǎo)技術(shù)的飛速發(fā)展，世界各國(guó)逐漸形成一體化的防御體系。日益復(fù)雜的戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境對(duì)導(dǎo)彈的殺傷能力和突防能力都提出了更高要求，使得僅考慮零脫靶量約束的制導(dǎo)律難以滿足現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的需要。研究滿足多約束條件的末段制導(dǎo)方法對(duì)于在復(fù)雜戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中提高導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能具有重要意義。

現(xiàn)代制導(dǎo)任務(wù)通常要求導(dǎo)彈以特定的角度打擊目標(biāo)的薄弱環(huán)節(jié)，從而獲得最佳打擊效果。因此，具有打擊角度約束的制導(dǎo)律受到廣泛的關(guān)注。Kim 等［1］在傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加時(shí)變偏置項(xiàng)，使導(dǎo)彈以期望角度擊中目標(biāo)。文獻(xiàn)［2］基于線性二次型最優(yōu)控制提出了導(dǎo)彈任意階動(dòng)態(tài)模型的最優(yōu)制導(dǎo)律，通過(guò)對(duì)剩余飛行時(shí)間進(jìn)行估計(jì)，實(shí)現(xiàn)了打擊角度的約束。文獻(xiàn)［3］提出了一種滿足打擊角度和加速度約束的滑模制導(dǎo)律，通過(guò)在滑模面函數(shù)中引入阻尼項(xiàng)和設(shè)計(jì)多冪次自適應(yīng)趨近律，解決了制導(dǎo)初期產(chǎn)生的指令極值問(wèn)題。此外，為了突破現(xiàn)代艦船的近程防御武器系統(tǒng)（Close?in?weapon system，CIWS），制導(dǎo)任務(wù)通常需要多枚導(dǎo)彈采用協(xié)同制導(dǎo)的方式對(duì)目標(biāo)實(shí)施飽和攻擊，這對(duì)導(dǎo)彈打擊時(shí)間的控制提出了要求。Jeon 等［4］首先將打擊時(shí)間反饋誤差與比例制導(dǎo)律相結(jié)合，通過(guò)合理選取比例制導(dǎo)系數(shù)使制導(dǎo)律滿足打擊時(shí)間的約束。考慮導(dǎo)引頭探測(cè)盲區(qū)的問(wèn)題，文獻(xiàn)［5］利用虛擬目標(biāo)將制導(dǎo)過(guò)程分為2 個(gè)階段，第1階段采用圓弧跟蹤制導(dǎo)律使加速度指令收斂于零，第2 階段在無(wú)控制輸入的前提下以期望打擊時(shí)間擊中目標(biāo)。Hu 等［6］將導(dǎo)彈的視線角速率設(shè)計(jì)成含有可調(diào)參數(shù)的時(shí)變多項(xiàng)式，并使用終端滑模控制方法對(duì)其進(jìn)行跟蹤，從而建立了打擊時(shí)間約束制導(dǎo)律。

相較于單約束制導(dǎo)律，同時(shí)考慮打擊角度與打擊時(shí)間約束的制導(dǎo)方法將二者的優(yōu)勢(shì)結(jié)合，具有更重要的戰(zhàn)略意義。近年來(lái)針對(duì)這類問(wèn)題的研究方法大致分為比例導(dǎo)引律、最優(yōu)制導(dǎo)律及滑模制導(dǎo)律等［7?22］。Lee 等［7］首先對(duì)滿足打擊角度和打擊時(shí)間約束的制導(dǎo)律進(jìn)行研究，提出了包含偏置項(xiàng)和反饋環(huán)節(jié)的最優(yōu)制導(dǎo)律。Zhang 等［8］將剩余飛行時(shí)間期望值與估計(jì)值之間的誤差引入閉環(huán)反饋，設(shè)計(jì)了包含兩個(gè)修正環(huán)節(jié)的比例制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律滿足打擊角度和打擊時(shí)間的約束。文獻(xiàn)［9］基于非線性最優(yōu)控制設(shè)計(jì)了前置角的多階段控制策略，并最終給出了視場(chǎng)受限條件下的打擊角度和打擊時(shí)間約束制導(dǎo)律。與比例控制律和最優(yōu)控制律相比，滑?？刂坡梢蚱浞蔷€性特性、快速收斂性和強(qiáng)魯棒性等優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)被大量應(yīng)用于單約束制導(dǎo)律［3，6］和多約束制導(dǎo)律［10?16］的設(shè)計(jì)中。特別地，終端滑模具有使系統(tǒng)狀態(tài)在指定時(shí)間內(nèi)收斂于零的特性，在考慮打擊時(shí)間的制導(dǎo)問(wèn)題（包括同時(shí)考慮打擊角度和打擊時(shí)間的制導(dǎo)問(wèn)題）中被廣泛使用。Harl 等［10］將導(dǎo)彈的視線角設(shè)計(jì)成一個(gè)含有可變參數(shù)的多項(xiàng)式，并借助邊界初值條件和數(shù)值循環(huán)方法完成多項(xiàng)式參數(shù)的求解，從而建立了打擊時(shí)間和打擊角度滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［11］設(shè)計(jì)了一種含有兩個(gè)未知參數(shù)的時(shí)變滑模面，兩個(gè)參數(shù)分別用來(lái)實(shí)現(xiàn)打擊角度和打擊時(shí)間約束。文獻(xiàn)［12］提出了一種不需要數(shù)值解算方法的打擊時(shí)間與打擊角度約束滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［13?16］基于滑?？刂茖?duì)打擊角度和打擊時(shí)間制導(dǎo)律進(jìn)行更深入的研究。

綜合來(lái)看，現(xiàn)有文獻(xiàn)所提出的制導(dǎo)方法按照是否需要估計(jì)剩余飛行時(shí)間分為2 類。第1 類方法基于小角度假設(shè)和簡(jiǎn)化的線性模型，將估計(jì)的剩余飛行時(shí)間與期望值的誤差引入閉環(huán)反饋。該類方法對(duì)估算的準(zhǔn)確性要求較高，當(dāng)導(dǎo)彈飛行軌跡高度彎曲、小角度假設(shè)不成立時(shí)難以完成制導(dǎo)任務(wù)。第2 類方法無(wú)需估計(jì)剩余飛行時(shí)間。例如，文獻(xiàn)［10］通過(guò)設(shè)計(jì)制導(dǎo)律使導(dǎo)彈跟蹤一個(gè)多項(xiàng)式以滿足終端約束，使其避免了對(duì)剩余飛行時(shí)間的估計(jì)。但不足之處在于，仍需借助數(shù)值運(yùn)算合理選擇多項(xiàng)式的參數(shù)。文獻(xiàn)［22］基于漸開(kāi)線制導(dǎo)法將彈目的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程轉(zhuǎn)換至弧長(zhǎng)域空間，而后提出了一種打擊角度和打擊時(shí)間分段制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［23］首先利用一階泰勒展開(kāi)將導(dǎo)彈?目標(biāo)模型線性化，而后使用模型預(yù)測(cè)控制方法設(shè)計(jì)打擊時(shí)間和打擊角度制導(dǎo)律。

基于上述分析，本文提出一種非奇異終端滑模制導(dǎo)律，可以同時(shí)滿足零脫靶距離、零終端加速度、打擊時(shí)間和打擊角度的約束。首先將視線角誤差參考軌跡設(shè)計(jì)成帶有剩余飛行時(shí)間項(xiàng)的時(shí)間多項(xiàng)式，而后設(shè)計(jì)制導(dǎo)律對(duì)其進(jìn)行跟蹤。視線角誤差參考軌跡多項(xiàng)式含有一個(gè)可調(diào)參數(shù)，通過(guò)在線優(yōu)化過(guò)程確定可調(diào)參數(shù)的值以滿足期望的打擊時(shí)間。需要強(qiáng)調(diào)的是，即使在攔截勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的情況下，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律也不需要估計(jì)剩余飛行時(shí)間和預(yù)測(cè)碰撞點(diǎn)。最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

在二維慣性坐標(biāo)系OXY下建立導(dǎo)彈與目標(biāo)的攔截模型，如圖1 所示。記M 和T 分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)，r表示導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)距離，λ表示導(dǎo)彈與目標(biāo)的視線角，VM和VT分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度，σM和γM分別表示導(dǎo)彈的前置角和彈道角，σT和γT分別為目標(biāo)的前置角和彈道角，AM表示導(dǎo)彈的加速度，并與VM始終垂直。導(dǎo)彈?目標(biāo)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1 所示。

圖1 導(dǎo)彈?目標(biāo)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Engagement geometry

假設(shè)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀具有理想特性，導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度大小均為常數(shù)。根據(jù)幾何關(guān)系，建立導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

分別用t和td表示導(dǎo)彈發(fā)射后經(jīng)過(guò)的時(shí)間和期望打擊時(shí)間，則剩余飛行時(shí)間tgo定義為

隨著導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)間t趨近于期望打擊時(shí)間，剩余飛行時(shí)間tgo趨近于零。導(dǎo)彈的打擊角度一般定義為末制導(dǎo)結(jié)束前導(dǎo)彈與目標(biāo)速度矢量之間的夾角［24］。對(duì)于非機(jī)動(dòng)目標(biāo)，打擊角度的約束問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為視線角的約束問(wèn)題［25］。不失一般性，本文將打擊角度約束定義為終端視線角約束，則制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)目標(biāo)是在期望的打擊角度λd和打擊時(shí)間td約束下實(shí)現(xiàn)零脫靶距離。制導(dǎo)目標(biāo)可表示為

根據(jù)上述分析，本文需要設(shè)計(jì)滿足式（6）的制導(dǎo)律以滿足打擊角度和打擊時(shí)間的約束。

2 非奇異終端滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的具有打擊角度與打擊時(shí)間約束制導(dǎo)方法由以下2 步完成：（1）視線角誤差參考軌跡的構(gòu)造；（2）非奇異終端滑模制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)。本節(jié)首先考慮勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，將視線角誤差參考軌跡設(shè)計(jì)成帶有一個(gè)未知參數(shù)的時(shí)間多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式隨著時(shí)間項(xiàng)趨近于0 而滿足打擊角度的約束。然后，設(shè)計(jì)一種非奇異終端滑模制導(dǎo)律跟蹤視線角誤差參考軌跡。最后基于數(shù)值求解方法確定合適的未知參數(shù)以滿足打擊時(shí)間約束。

2.1 視線角誤差參考軌跡設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)［10，16］設(shè)計(jì)了視線角的參考軌跡多項(xiàng)式，并通過(guò)邊界條件確定多項(xiàng)式的系數(shù)。本文對(duì)視線角誤差的參考軌跡進(jìn)行設(shè)計(jì)，定義視線角誤差如下

式中λe表示實(shí)時(shí)的視線角λ與期望打擊角度λd之間的差值。由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（2），可得λe的一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)和二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)

注釋1針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，文獻(xiàn)［10］將視線角參考軌跡設(shè)計(jì)成以導(dǎo)彈水平位置為自變量的多項(xiàng)式，通過(guò)終端約束條件確定未知參數(shù)的值以滿足打擊角度和打擊時(shí)間的約束。本文則直接對(duì)視線角誤差參考軌跡進(jìn)行設(shè)計(jì)，并引入tgo作為多項(xiàng)式的自變量。與文獻(xiàn)［10］相比，式（13）隨著tgo趨近于0，λeD及其一階導(dǎo)數(shù)也自動(dòng)收斂于0。根據(jù)準(zhǔn)平行接近法則，彈目視線角速率在末制導(dǎo)結(jié)束前收斂于0或0 附近，導(dǎo)彈即成功擊中目標(biāo)，故而無(wú)需再引入終端約束條件。因此，相比于文獻(xiàn)［10］在制導(dǎo)律中引入5 個(gè)未知參數(shù)，本文所提出的方法僅需要3 個(gè)未知參數(shù)，表達(dá)形式更簡(jiǎn)潔。

注釋2如式（13）所示，若設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律令視線角誤差λe嚴(yán)格跟蹤λeD，則隨著tgo趨近于零，λ收斂于λd，制導(dǎo)律滿足終端角度約束。式中包含一個(gè)未知參數(shù)δ1，用于設(shè)計(jì)打擊時(shí)間。故而只需考慮制導(dǎo)律以及優(yōu)化過(guò)程的設(shè)計(jì)，不需要對(duì)tgo進(jìn)行估計(jì)。

2.2 非奇異終端滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

由2.1 節(jié)分析可知：視線角誤差參考軌跡λeD滿足打擊時(shí)間和打擊角度約束。因此只需設(shè)計(jì)制導(dǎo)律跟蹤λeD即可完成打擊時(shí)間和打擊角度控制。本小節(jié)基于固定時(shí)間穩(wěn)定引理［26］設(shè)計(jì)一種非奇異終端滑模制導(dǎo)律，并構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。為方便制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，首先定義誤差eλ以及終端滑模面如下

選 取 系 統(tǒng) 誤 差eλ及 其 一 階 導(dǎo) 數(shù)e?λ作 為 二 階 系統(tǒng){eλ，e?λ}的狀態(tài)變量，則所設(shè)計(jì)的非奇異終端滑模制導(dǎo)律能夠令二階系統(tǒng){eλ，e?λ}在固定時(shí)間內(nèi)鎮(zhèn)定。

注釋3 本文選取系統(tǒng)誤差eλ作為二階系統(tǒng){eλ，e?λ}的狀態(tài)變量，則制導(dǎo)律設(shè)計(jì)目標(biāo)是令二階系統(tǒng)狀態(tài)在固定時(shí)間收斂至0。此時(shí)視線角軌跡λe嚴(yán)格跟蹤視線角誤差參考軌跡λeD，即可完成打擊角度和打擊時(shí)間控制。

注釋4 為了避免控制器uf產(chǎn)生奇異，制導(dǎo)律引入如式（17）所示的飽和函數(shù)。考慮式（18）中p1∈(0.5，1)，當(dāng)e?λ≠0 且eλ→0 時(shí)，uf→∞。此時(shí)飽和函數(shù)能夠避免控制器出現(xiàn)奇異，且umax的選取與滑模面在狀態(tài)空間的位置有關(guān)，即umax>0。此外，用飽和函數(shù)sat(?)代替符號(hào)函數(shù)sgn(?)可有效消除滑模控制律產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象。

下面給出定理1 的證明。

證明 由誤差構(gòu)成的二階系統(tǒng){eλ，e?λ}在固定時(shí)間鎮(zhèn)定的證明過(guò)程如下。

首先證明系統(tǒng)狀態(tài){eλ，e?λ}在固定時(shí)間到達(dá)滑模面；而后沿著滑模面在固定時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)。

如前所述，當(dāng)sλ≠0 且eλ→0 時(shí)控制器uf產(chǎn)生奇異。而當(dāng)sλ=0時(shí)，將式（15）代入式（18）可得控制器uf=α1p1(-α1sig(eλ)(2p1-1)-β1sig(eλ)(p1+g1-1))，由p1∈(0.5，1)可知此時(shí)控制器不產(chǎn)生奇異。故而控制器奇異只發(fā)生在系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面之前，即sλ≠0。為方便證明，根據(jù)控制器是否達(dá)到飽和函數(shù)閾值將狀態(tài)空間劃分兩個(gè)子空間A和B。子空間A、B以及滑模面的位置關(guān)系如圖2 所示，顯然奇異點(diǎn)只出現(xiàn)在子空間B中。A和B的定義如下

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)相平面圖Fig.2 Phase plane of the control system

式（21）符合文獻(xiàn)［26］的固定時(shí)間引理。因此二階系統(tǒng){eλ，e?λ}在不進(jìn)入?yún)^(qū)域B的前提下，能夠在固定時(shí)間T1內(nèi)收斂至滑模面sλ=0 上，T1滿足如下表達(dá)式

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)由A進(jìn)入B區(qū)域時(shí)，飽和函數(shù)由sat(uf) =α1p1|eλ|(p1-1)e?λ轉(zhuǎn) 變 為 sat(uf) =sgn(e?λ)umax。由 式（23）可 知V?λ1不 會(huì) 立 即 改 變 符號(hào)，在B1區(qū)域仍有V?λ1<0。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)由B1區(qū)域進(jìn) 入B2區(qū) 域 后，由p1∈(0.5，1)可 知 若e?λ≠0 且eλ→0 有

如圖2 所示，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入子空間B2時(shí)，eλ→0。跟 據(jù)e?λ的 符 號(hào) 存 在 以 下2 種 情 況：若e?λ>0，則eλ單調(diào)遞增，系統(tǒng)狀態(tài)將沿順時(shí)針?lè)较虼┰紹2區(qū)域到達(dá)滑模面sλ=0 上；若e?λ<0，則eλ單調(diào)遞減，系統(tǒng)狀態(tài)將沿逆時(shí)針?lè)较虼┰紹2區(qū)域到達(dá)滑 模 面sλ=0 上。若e?λ→0 且eλ→0，由 式（15）可知此時(shí)sλ→0，二階系統(tǒng)將沿著滑模面趨近于平衡點(diǎn)，系統(tǒng)不發(fā)散。假設(shè)系統(tǒng)穿越B區(qū)域總時(shí)間為τ，則從相平面任意位置出發(fā)，總能在固定時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面并保持在滑模面上，到達(dá)時(shí)間如下

實(shí) 際 應(yīng) 用 中τ→0［27］。因 此，可 以 認(rèn) 為 系 統(tǒng) 狀 態(tài){eλ，e?λ}能夠在固定時(shí)間到達(dá)滑模面。

系統(tǒng)狀態(tài){eλ，e?λ}收斂至滑模面后，sλ=0。如前文所述，控制器不發(fā)生奇異，對(duì)eλ求取時(shí)間導(dǎo)數(shù)得到

可觀察到，式（30）滿足文獻(xiàn)［26］的固定時(shí)間引理，故系統(tǒng)狀態(tài){eλ，e?λ}能夠在固定時(shí)間T2沿滑模面sλ=0 收斂到平衡點(diǎn)，T2滿足如下表達(dá)式

故 而，二 階 系 統(tǒng){eλ，e?λ}能 夠 在 固 定 時(shí) 間T1+T2收 斂 至 平 衡 點(diǎn)，即 由eλ構(gòu) 成 的 二 階 系 統(tǒng){eλ，e?λ}固定時(shí)間鎮(zhèn)定。

證明完畢。

綜上所述，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件。在制導(dǎo)指令作用下，視線角誤差軌跡λe嚴(yán)格跟蹤視線角誤差參考軌跡λeD，導(dǎo)彈能夠?qū)崿F(xiàn)打擊角度和打擊時(shí)間控制。

3 制導(dǎo)律參數(shù)尋優(yōu)

導(dǎo)彈在視線角誤差參考軌跡與制導(dǎo)指令的作用下，滿足打擊時(shí)間和打擊角度的約束。由式（13）可知，只需設(shè)計(jì)制導(dǎo)律對(duì)視線角誤差參考軌跡嚴(yán)格跟蹤即可完成期望打擊角度控制。參數(shù)δ1決定了導(dǎo)彈飛行軌跡，通過(guò)選取δ1構(gòu)造期望的飛行軌跡，使其滿足打擊時(shí)間約束。故而對(duì)應(yīng)不同的期望打擊時(shí)間td，δ1的值也不同。設(shè)導(dǎo)彈真實(shí)打擊時(shí)間為timp，由于導(dǎo)彈速度是常量，飛行距離越長(zhǎng)、軌跡越彎曲，打擊時(shí)間timp的值越大。制導(dǎo)律參數(shù)尋優(yōu)的目標(biāo)是令timp=td，此時(shí)導(dǎo)彈在期望的打擊時(shí)間td以期望的打擊角度命中目標(biāo)。

定義如下性能指標(biāo)

式中J表示真實(shí)打擊時(shí)間與期望打擊時(shí)間之間的差值。假設(shè)期望的打擊時(shí)間是td，對(duì)打擊時(shí)間的控制問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求解J的最小值問(wèn)題。J是關(guān)于δ1的函數(shù)，通過(guò)選取δ1的值，找到J的最小值。本文使用在線優(yōu)化方法對(duì)打擊時(shí)間進(jìn)行迭代優(yōu)化，優(yōu)化方法使用適合求解少變量多元方程極值的Nelder?Mead 算法，不需要任何求導(dǎo)過(guò)程即可獲得合適的δ1。

文獻(xiàn)［6，10，16］將視線角軌跡設(shè)計(jì)成含有一個(gè)未知參數(shù)的多項(xiàng)式，并借助優(yōu)化方法對(duì)未知參數(shù)迭代尋優(yōu)，從而實(shí)現(xiàn)打擊時(shí)間的控制。本文使用的在線優(yōu)化方法借鑒這一思想，通過(guò)數(shù)值循環(huán)迭代得到式（13）中δ1的最優(yōu)值，從而構(gòu)造滿足打擊時(shí)間約束的彈道軌跡。該方法具體步驟如圖3 所示。

圖3 在線優(yōu)化計(jì)算步驟Fig.3 Computational steps for optimization routine

將使用優(yōu)化方法求出的δ1表示為δ*1，并將δ*1代入式（13）得到

使用上述制導(dǎo)律跟蹤視線角誤差參考軌跡，系統(tǒng)狀態(tài)將維持在滑模面sλ=0 上，因而確保導(dǎo)彈在期望打擊時(shí)間以期望打擊角度擊中目標(biāo)。本例中令δ1的初始猜測(cè)值為0.1，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化指標(biāo)J也存在一個(gè)初始值。經(jīng)動(dòng)力學(xué)遞推及仿真迭代后，J滿足條件J<0.05 時(shí)輸出δ1，此時(shí)的δ1即為最優(yōu)解δ*1。使用2.6 GHz CPU 對(duì)優(yōu)化方法測(cè)試的平均時(shí)間為0.06 s，平均次數(shù)為9。雖然使用數(shù)值方法得到的δ*1相對(duì)于解析方法花費(fèi)更多時(shí)間，然而本例中的優(yōu)化方法運(yùn)算量較小，可忽略不計(jì)。如圖4 所示，仿真結(jié)果表明性能指標(biāo)J收斂速度較快，最終滿足優(yōu)化的終止條件，得到合適的δ1。

圖4 性能指標(biāo)收斂過(guò)程Fig.4 Convergence of performance index

所提制導(dǎo)算法求解過(guò)程的偽代碼如下所示。仿真開(kāi)始前設(shè)置制導(dǎo)算法的初始參數(shù)，幾次尋優(yōu)迭代得到最優(yōu)δ1值，最終得到滿足約束的非奇異終端滑模制導(dǎo)律。

4 仿真分析

為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的非奇異終端滑模制導(dǎo)律的性能，考慮靜止目標(biāo)和勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，采用式（1～4）的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)學(xué)方程開(kāi)展仿真驗(yàn)證。假設(shè)導(dǎo)彈的速度恒為250 m/s、初始彈道角為60°，導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始位置分別為(0，0)和(10，0) km。式（15，16）中的參數(shù)分別選取為p1=p2=0.7 與g1=g2=1.3。將本文設(shè)計(jì)的視線角誤差參考軌跡（13）、制導(dǎo)律（16）以及上節(jié)介紹的優(yōu)化方法在設(shè)置的初始條件下進(jìn)行仿真。

4.1 針對(duì)靜止目標(biāo)的制導(dǎo)律仿真分析

首先針對(duì)靜止目標(biāo)開(kāi)展仿真，此時(shí)目標(biāo)速度為0。式（1，2）可表示為

考慮一個(gè)靜止目標(biāo)，假設(shè)期望打擊時(shí)間為50 s，期 望 打 擊 角 度 分 別 為-25°，-45°和-65°。如圖5 所示，仿真結(jié)果表明所提制導(dǎo)律對(duì)靜止目標(biāo)有效，系統(tǒng)的控制輸入最終收斂至零。

考慮相同的期望打擊時(shí)間、不同期望打擊角度的情形。如圖5（a）所示，隨著期望打擊角度的增大，導(dǎo)彈飛行軌跡進(jìn)行調(diào)整以適應(yīng)終端打擊角度的約束。由圖5（b）所示的相對(duì)距離曲線可知，導(dǎo)彈以期望打擊時(shí)間完成零脫靶打擊。導(dǎo)彈的視線角曲線如圖5（c）所示，不同期望打擊角度的視線角曲線在彈道初始階段變化較小而彈道末段變化較大，并以各自期望打擊角度擊中目標(biāo)?？刂萍铀俣惹€如圖5（d）所示，期望打擊角度越大，導(dǎo)彈進(jìn)行軌跡調(diào)整時(shí)所需的加速度越大。3 組仿真對(duì)應(yīng)的參數(shù)δ1如表1 所示。

表1 攔截靜止目標(biāo)的參數(shù)Table 1 Parameters for intercepting stationary targets

圖5 不同打擊角度約束下對(duì)靜止目標(biāo)攔截的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results for various impact angles against a stationary target

對(duì)表1 參數(shù)δ1在不同期望打擊角度下的取值進(jìn)行定性分析可知，隨著期望打擊角度增大，參數(shù)δ1的值隨之增大。需要注意的是，針對(duì)靜止目標(biāo)時(shí)制導(dǎo)律（16）發(fā)生退化，故而制導(dǎo)任務(wù)開(kāi)始前可對(duì)參數(shù)δ1進(jìn)行離散求解，不需要在線更新參數(shù)。

4.2 針對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)律仿真分析

本小節(jié)針對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行仿真驗(yàn)證?？紤]現(xiàn)代艦船的典型巡航速度，將目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度設(shè)為水面艦艇的定常速度30 m/s，并假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始位置以及導(dǎo)彈的飛行速度與4.1 節(jié)相同。隨著目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)，視線角誤差參考軌跡進(jìn)行調(diào)整，參數(shù)δ1不斷迭代更新。制導(dǎo)框架依然不需要預(yù)測(cè)碰撞點(diǎn)即可滿足打擊角度與打擊時(shí)間的約束。

將本文所提出的制導(dǎo)律與文獻(xiàn)［10］所提出的制導(dǎo)律，在考慮不同打擊角度和打擊時(shí)間的情形下進(jìn)行仿真對(duì)比。導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始航向角分別設(shè)為60°和135°，分別選取期望打擊時(shí)間45 s，期望打擊角度-20°以及期望打擊時(shí)間48 s，期望打擊角度-30°兩種約束條件與文獻(xiàn)［10］進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果如圖6 所示。經(jīng)在線尋優(yōu)算法的迭代計(jì)算可知，在期望打擊時(shí)間45 s，期望打擊角度-20°的條件下，本文參數(shù)δ1的值為-2.281 8，文獻(xiàn)［10］中參數(shù)a的值為-4.55；在期望打擊時(shí)間48 s，期望打擊角度-30°的條件下，本文參數(shù)δ1的值為-3.700 3，文獻(xiàn)［10］中參數(shù)a的值為-2.694 7。本文和文獻(xiàn)［10］均實(shí)現(xiàn)了打擊角度和打擊時(shí)間的同時(shí)控制。

圖6 不同打擊角度與時(shí)間約束下對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)攔截的仿真結(jié)果及與文獻(xiàn)[10]的對(duì)比Fig.6 Simulation results compared with Ref.[10]for various impact angles and times against a constant?velocity target

由圖6（a）可知，隨著期望打擊時(shí)間的增加，導(dǎo)彈飛行軌跡更長(zhǎng)，飛行軌跡更彎曲。本文與文獻(xiàn)［10］中目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡重合，在同一時(shí)刻被導(dǎo)彈擊中，實(shí)現(xiàn)打擊時(shí)間的控制。相比之下，文獻(xiàn)［10］中導(dǎo)彈的飛行軌跡在初期上升速度更快，到達(dá)彈道頂點(diǎn)更早。而本文與文獻(xiàn)［10］在彈道后半段的飛行軌跡比較接近，能夠提前以期望打擊角度徑直攔截勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。由圖6（b）所示的相對(duì)距離曲線可知，不同的期望打擊時(shí)間約束條件下，導(dǎo)彈分別以各期望打擊時(shí)間完成零脫靶打擊。在飛行時(shí)間前半段，本文的彈?目相對(duì)距離相較文獻(xiàn)［10］下降速度更快；而飛行時(shí)間后半段，相對(duì)距離的變化趨勢(shì)相近。導(dǎo)彈的視線角曲線如圖6（c）所示，視線角曲線以各期望打擊時(shí)間收斂至期望打擊角度。本文與文獻(xiàn)［10］的視線角變化規(guī)律在飛行時(shí)間前半段較為相近；而在飛行時(shí)間后半段，文獻(xiàn)［10］的視線角變化更平緩，最終二者皆收斂于期望打擊角度?？刂萍铀俣惹€如圖6（d）所示，隨著期望打擊時(shí)間增加，導(dǎo)彈進(jìn)行軌跡調(diào)整時(shí)所需的加速度增加，終端加速度最終收斂至零。假設(shè)控制輸入受限為100 m/s2，文獻(xiàn)［10］的控制加速度指令變化更劇烈，初始階段達(dá)到限幅。彈道前半段陡增至100 m/s2，在7 s 左右下降至-20 m/s2，再緩慢變化直至收斂至0。相較之下，本文所提制導(dǎo)律的控制加速度指令的極值遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)［10］，約為30 m/s2，未達(dá)到限幅。經(jīng)13 s 左右緩慢降至-25 m/s2，再緩慢變化直至收斂至0。

綜合來(lái)看，隨著期望打擊時(shí)間和期望打擊角度的增加，導(dǎo)彈飛行的軌跡更加彎曲、終端加速度收斂到0 的速度更慢。而本文所提制導(dǎo)方法相較文獻(xiàn)［10］的控制加速度具有更小的極值和變化平緩等特點(diǎn)，最終收斂至0 且末端無(wú)突變，更適用于工程應(yīng)用。需要強(qiáng)調(diào)的是，所提出的制導(dǎo)方法考慮非機(jī)動(dòng)目標(biāo)。這是由于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的彈道傾角在制導(dǎo)過(guò)程中不再是一個(gè)常數(shù)，其變化情況完全取決于目標(biāo)的機(jī)動(dòng)策略，此時(shí)打擊角度約束無(wú)法轉(zhuǎn)換為視線角約束。而本文所提出的制導(dǎo)方法對(duì)視線角的誤差參考軌跡進(jìn)行設(shè)計(jì)，不適用于打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的情形，故而針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的多項(xiàng)式成型方法可以通過(guò)對(duì)其他變量進(jìn)行設(shè)計(jì)從而滿足打擊角度的約束，此處不再贅述。綜合上述分析，通過(guò)對(duì)靜止目標(biāo)與勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的仿真驗(yàn)證可知，本文所提出的制導(dǎo)律滿足零脫靶量、打擊時(shí)間、打擊角度和終端加速度約束。

5 結(jié) 論

本文考慮靜止目標(biāo)和勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，設(shè)計(jì)一種滿足打擊角度和打擊時(shí)間約束的非奇異終端滑模制導(dǎo)律。首先考慮導(dǎo)彈的視線角誤差，將其設(shè)計(jì)成含有一個(gè)未知參數(shù)的時(shí)間多項(xiàng)式以滿足打擊角度約束。而未知參數(shù)的引入為系統(tǒng)對(duì)打擊時(shí)間的控制提供了可能。而后，基于固定時(shí)間穩(wěn)定的概念設(shè)計(jì)一種終端滑模制導(dǎo)律對(duì)視線角誤差參考軌跡進(jìn)行跟蹤，同時(shí)利用在線數(shù)值優(yōu)化方法確定未知參數(shù)的值以實(shí)現(xiàn)打擊時(shí)間控制。本文提出的制導(dǎo)策略不需要剩余飛行時(shí)間估計(jì)和碰撞點(diǎn)預(yù)測(cè)。最后，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。