徐圣楠，張桂穎，劉洋萍

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，由于Pareto 分布具有遞減的失效率函數(shù)，故能較好地描述股票價(jià)格和微信流量波動(dòng).文獻(xiàn)［1］通過(guò)實(shí)證分析驗(yàn)證了廣義Pareto 分布能夠較好地刻畫(huà)保險(xiǎn)公司每年的最大索賠損失金額；文獻(xiàn)［2-3］分別通過(guò)貝葉斯和極大似然估計(jì)法研究了Pareto 分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題.數(shù)據(jù)缺失是統(tǒng)計(jì)工作中的常見(jiàn)問(wèn)題，文獻(xiàn)［4-7］分別研究了兩種離散型和連續(xù)型分布總體的估計(jì)問(wèn)題；文獻(xiàn)［8］利用MLE 算法研究了在丟失部分樣本數(shù)據(jù)時(shí)Pareto分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題.本文以高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)為理論基礎(chǔ)，進(jìn)一步分析缺失數(shù)據(jù)下混合Pareto 分布總體的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，通過(guò)建立矩估計(jì)方程組，解出未知參數(shù)的估計(jì)值.然后，驗(yàn)證估計(jì)量是否具有相合性和漸近正態(tài)性.最后，對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行隨機(jī)模擬，說(shuō)明估計(jì)的可行性.

1 矩估計(jì)及其漸近性質(zhì)

假設(shè)混合Pareto 分布，其密度函數(shù)為：

其中：設(shè)定門(mén)限參數(shù)α> 0.其次，分別取形狀參數(shù)θi> 0（i=1，2）為總體的未知參數(shù).然后，對(duì)兩個(gè)混合Pareto 分布進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)，抽取分布總體做樣本觀測(cè)時(shí)，記1-P為丟失樣本時(shí)的概率.最后，用(Xi,δi)表示混合Pareto 分布的第i個(gè)總體觀測(cè)值，Xi表示該分布總體的第i個(gè)樣本觀測(cè)值，i=1,2,…,n.若缺少第i個(gè)樣本值記δi=0，反之記δi=1.

下面考慮θ1,θ2的矩估計(jì).根據(jù)得到的樣本觀測(cè)值(Xi,δi)，i=1,2,…,n，建立矩估計(jì)方程

解方程得

其中：

由上述參數(shù)的矩估計(jì)結(jié)果，下面驗(yàn)證，的相合性和漸近正態(tài)性.

證明{Xiδi,1

并且

即

同理得到

于是有

其中：

引理1［9］記Tn=(T1n,T2n,…,Tkn)T,α=(α1,α2,…,αk)T，設(shè)∑=(δij)k×k，又設(shè)g(t1,t2,…,tk)對(duì)各ti有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)n→∞時(shí)，有

其中：δ2=

定理2 在前面記號(hào)，有

證明 令Wi=(δi,δiXi,δiXi2)T，{Wi,i≥1}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，從而

令∑=E(W1-EW1)(W1-EW1)T，于是利用多元中心極限定理得到

令

于是得出

根據(jù)引理1

同時(shí)

同理，令

依據(jù)引理1

其中

其中：

2 模擬研究

使用MATLAB 軟件進(jìn)行隨機(jī)模擬，驗(yàn)證此方法的可行性.設(shè)定門(mén)限參數(shù)α=2，混合概率q=0.4，分別給定樣本量n=100，n=300，n=500，缺失概率為1-P=0.01 的模擬研究結(jié)果如表1所示.

從表1可以看出，當(dāng)數(shù)據(jù)不完整時(shí)，混合Pareto 分布的參數(shù)估計(jì)量具有漸近正態(tài)性.在給定θ1、θ2不同參數(shù)真值時(shí)，進(jìn)行1 000 次隨機(jī)模擬比較兩參數(shù)的均方誤差，得到參數(shù)估計(jì)的誤差值不受樣本量大小的影響，并且和的均方誤差都在可接受范圍內(nèi)，再次驗(yàn)證矩估計(jì)方法具有可行性.

表1 模擬結(jié)果

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)數(shù)據(jù)不完整情況下的混合Pareto 分布總體參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，目前還很少有人研究.本文利用ME 算法證明了其優(yōu)良性，同時(shí)隨機(jī)模擬的結(jié)果也驗(yàn)證了其合理性.通過(guò)對(duì)本文的研究，為今后應(yīng)用Pareto 分布的相關(guān)性質(zhì)做了準(zhǔn)備.