陳寶，胡斌，但遠(yuǎn)宏，黃劍鳴，范一鳴，羅誠(chéng)

1. 重慶理工大學(xué) 車輛工程學(xué)院， 重慶 400054；2. 重慶理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院， 重慶 400054

自十九世紀(jì)中期以來(lái)， 兩輪單車轍車輛因?yàn)槠渚哂泻軓?qiáng)的機(jī)動(dòng)性， 被廣泛應(yīng)用于交通、 運(yùn)輸和研究等[1]． 而近年來(lái)隨著智能技術(shù)的快速發(fā)展， 無(wú)人駕駛汽車、 無(wú)人機(jī)等相繼出現(xiàn)， 不斷地方便了人們的日常生活， 而提高無(wú)人車輛的安全性， 則有利于車輛智能化水平的提高[2]． 由于兩輪單車轍車輛其橫向動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定， 使其自平衡的控制與研究逐漸引起了相關(guān)學(xué)者的興趣．

從兩輪單車轍車輛動(dòng)力學(xué)的角度來(lái)看， 兩輪平衡車系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性、 強(qiáng)耦合、 多變量的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)． 因此對(duì)于兩輪單車轍車輛的控制早在19世紀(jì)末Whipple[3]和Carvallo等[4]就提出在一定速度下車體可以自平衡． 目前兩輪單車轍車輛的自平衡主要有以下幾種方式： 通過(guò)控制轉(zhuǎn)向力矩[5]、 控制力矩陀螺(CMG)[6]、 改變車體重心[7]， 早期是通過(guò)轉(zhuǎn)向力矩和轉(zhuǎn)向產(chǎn)生的離心力來(lái)平衡車體， 但是當(dāng)平衡車車速較低時(shí)， 離心力太小， 無(wú)法平衡傳統(tǒng)的兩輪單車轍車輛， 這就導(dǎo)致靜態(tài)或低速狀態(tài)下的傳統(tǒng)兩輪單車轍車輛無(wú)法實(shí)現(xiàn)自平衡．

CMG可以在車輛靜態(tài)和低速狀態(tài)下平衡車體， 為了穩(wěn)定帶有CMG的兩輪平衡車， 已有學(xué)者進(jìn)行了一些研究． Park等[8]提出了一種二次線性調(diào)節(jié)算法用于平衡控制， 并對(duì)外部不穩(wěn)定的干擾做了研究；Nguyen等[9]提出一種低階RH∞魯棒控制器來(lái)控制兩輪自行車的平衡， 使陀螺性能有所提升；Tian等[10]針對(duì)不同軸兩輪自平衡車輛的直線行駛和轉(zhuǎn)彎控制， 設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑?？刂破?；陳志堅(jiān)等[11]利用LQR控制器通過(guò)力矩陀螺穩(wěn)定車身；Chiu等[12]在基于飛輪使兩輪自行車平衡的研究中， 運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性定理對(duì)控制器的所有參數(shù)進(jìn)行在線調(diào)整， 使用了H∞控制技術(shù)穩(wěn)定了控制力矩陀螺和車身． Lot等[13]通過(guò)特征值計(jì)算和時(shí)域仿真研究了穩(wěn)定性， 發(fā)現(xiàn)最有效的力矩陀螺布置方式就是陀螺對(duì)置布置． 本文主要采用了單框架對(duì)稱布置的控制力矩陀螺(SGCMG)來(lái)產(chǎn)生一個(gè)對(duì)抗重力矩， 從而使車體平衡．

1 SGCMG自平衡車動(dòng)力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)組成及陀螺工作原理

(1)

式中：T為控制力矩陀螺進(jìn)動(dòng)力矩，Ig為陀螺轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．

當(dāng)力矩陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)到角度α處時(shí)， 會(huì)在車體橫滾軸和垂直軸產(chǎn)生兩個(gè)扭矩：

(2)

(3)

式中： 水平方向上的扭矩TH作用于車體的橫滾軸， 用來(lái)穩(wěn)定車體， 而垂直軸上的扭矩Ty， 可能會(huì)導(dǎo)致車體的偏航．

圖1 平衡車對(duì)置式力矩陀螺結(jié)構(gòu)圖

圖2 兩輪平衡車側(cè)面示意圖

圖3 單個(gè)陀螺轉(zhuǎn)子工作示意圖

由公式(2)和公式(3)可知， 當(dāng)力矩陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的角度α為90°時(shí)， 力矩陀螺產(chǎn)生的力矩將全部作用在垂直軸上， 而作用于車體的有效力矩TH將為零， 此時(shí)車體無(wú)法通過(guò)控制力矩陀螺達(dá)到平衡， 車體失控， 這種現(xiàn)象稱為力矩陀螺的奇異現(xiàn)象[14]．

為了保證力矩陀螺作用于車體橫滾軸上的有效扭矩最大， 將兩個(gè)力矩陀螺對(duì)置式布置， 陀螺轉(zhuǎn)子以大小相同而方向相反的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)． 此時(shí)， 兩個(gè)力矩陀螺在垂直軸上產(chǎn)生的扭矩將相互抵消， 而作用于車體橫滾軸上的有效力矩為兩個(gè)力矩陀螺的總和， 可表示為

(4)

1.2 兩輪平衡車動(dòng)力學(xué)模型

兩輪平衡車的動(dòng)力學(xué)方程由傳統(tǒng)的兩輪單車轍車輛橫滾動(dòng)力學(xué)方程和力矩陀螺動(dòng)力學(xué)方程組成， 為了得到靜態(tài)下兩輪自平衡車較為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型， 考慮了如下假設(shè)：

1) 兩輪平衡車的轉(zhuǎn)向和縱向速度為零．

2) 不考慮輪胎在z軸上的彈性變形以及與地面之間的滑動(dòng)．

3) 陀螺框架和轉(zhuǎn)子作為圍繞其質(zhì)心的點(diǎn)質(zhì)量．

圖4 兩輪平衡車受力示意圖

如圖2和圖4所示， 兩輪平衡車?yán)@x軸(橫滾軸)的自平衡動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(5)

式中：I0為車體相對(duì)于輪胎與地面接觸點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θ為平衡車橫滾角度，Tb為平衡車重力矩，Tf為作用在橫向的擾動(dòng)力矩．

公式(5)中車體相對(duì)于輪胎與地面接觸點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(6)

式中：Ib為整車過(guò)質(zhì)心繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，mb為整車質(zhì)量，hb為整車質(zhì)心高度．

兩輪平衡車重力作用在車體x軸(橫滾軸)上的力矩為

Tb=mbghbsinθ

(7)

(8)

兩輪平衡車易受多種擾動(dòng)，F(xiàn)f被認(rèn)為是垂直于車架(繞x軸)作用的擾動(dòng)力， 其橫向擾動(dòng)力矩為

Tf=Ffhf

(9)

式中：hf為擾動(dòng)力到地面的距離． 將公式(6)(7)(8)(9)帶入到公式(5)中可得：

(10)

由公式(10)我們不難得出， 控制力矩陀螺作用在兩輪車x軸上的扭矩就是為了抵抗車體重力矩以及抵抗外部擾動(dòng)， 以使兩輪車能夠自平衡．

2 兩輪平衡車控制器設(shè)計(jì)

2.1 自抗擾控制器(ADRC)設(shè)計(jì)[15-16]

由于兩輪車的動(dòng)力學(xué)模型類似于一個(gè)倒立擺模型， 該系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的多變量耦合系統(tǒng)， 受非線性、 參數(shù)不確定性和未建模動(dòng)力學(xué)等一系列因素的影響， 為此設(shè)計(jì)了一個(gè)ADRC， 它可以較好地處理模型中非線性項(xiàng)目對(duì)未知的噪聲及擾動(dòng)不敏感問(wèn)題， 使兩輪車在靜態(tài)下能夠很好地達(dá)到平衡效果．

由公式(10)可知， 兩輪車的自平衡是依靠控制力矩陀螺的進(jìn)動(dòng)扭矩， 系統(tǒng)可定義為

(11)

(12)

式中：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：

(20)

如果Ae的行列式特征值全都在左半平面， 那么ESO輸入輸出穩(wěn)定， 此時(shí)Ae的行列式特征多項(xiàng)式為

λ(s)=s3+l1s2+l2s+l3

(21)

這里將行列式的特征值配置在-ω0， 此時(shí)：

(22)

ADRC控制器主要由能夠根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出信號(hào)對(duì)狀態(tài)量及總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)的 ESO 和狀態(tài)誤差反饋控制律組成， 根據(jù)上述構(gòu)造的ESO， 針對(duì)陀螺自平衡車動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)狀態(tài)誤差反饋控制律， ADRC控制器結(jié)構(gòu)框圖如圖5所示．

圖5 ADRC控制器結(jié)構(gòu)框圖

適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器后， 控制器的輸出構(gòu)造為

(23)

(24)

控制器中狀態(tài)誤差反饋控制律為PD控制器， PD控制可以讓雙積分系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)左移， 從虛軸移動(dòng)到s平面的左半平面， 因此u0可表示為

(25)

(26)

使用極點(diǎn)配置法， 將控制器的極點(diǎn)配置在-ωc， 那么：

(27)

2.2 PD控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)一個(gè)傳統(tǒng)的PD控制器， 以提供一個(gè)與ADRC方案的比較策略， 控制器的結(jié)構(gòu)為

(28)

圖6 控制力矩陀螺扭矩測(cè)試臺(tái)架

3 SGCMG性能試驗(yàn)

在帶有陀螺的兩輪車自平衡試驗(yàn)之前， 我們對(duì)力矩陀螺所能產(chǎn)生的有效力矩做了臺(tái)架試驗(yàn)， 如圖6所示， 控制力矩陀螺固定在陀螺試驗(yàn)艙內(nèi)， 扭矩傳感器固定在測(cè)試臺(tái)架的水平軸上， 以測(cè)量SGCMG工作時(shí)在臺(tái)架水平軸上產(chǎn)生的有效力矩， 其目的是模擬SGCMG工作時(shí)， 在兩輪平衡車上所能產(chǎn)生的有效進(jìn)動(dòng)力矩．

在控制力矩性能試驗(yàn)中， 我們考慮到電機(jī)以及實(shí)際平衡車的工作需要， 將陀螺的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速設(shè)置在0～5 000 r/min， CMG框架的進(jìn)動(dòng)角速度控制在0～180 rad/s的范圍內(nèi)， 測(cè)量其在不同轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和不同框架進(jìn)動(dòng)角速度下控制SGSMG在臺(tái)架水平軸所能產(chǎn)生的最大進(jìn)動(dòng)力矩．

圖7 SGCMG進(jìn)動(dòng)力矩與進(jìn)動(dòng)角速度、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速關(guān)系圖

臺(tái)架測(cè)試結(jié)果如圖7所示， SGCMG在臺(tái)架水平軸上產(chǎn)生的進(jìn)動(dòng)力矩隨著CMG進(jìn)動(dòng)角速度和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增大而增大， 驗(yàn)證了公式(4)的準(zhǔn)確性． 當(dāng)控制力矩陀螺轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速達(dá)到5 000 r/min時(shí)， 進(jìn)動(dòng)力矩達(dá)到了最大為676 N·m， 約等于實(shí)際質(zhì)量為256 kg的兩輪平衡車?yán)碚撋现亓υ谲圀w傾斜35°時(shí)產(chǎn)生的重力矩， 陀螺輸出的有效力矩能夠保證后續(xù)試驗(yàn)的進(jìn)行， 因此進(jìn)動(dòng)力矩關(guān)系著兩輪車所能平衡的最大偏角以及抵抗外部干擾的能力．

4 仿真實(shí)驗(yàn)與評(píng)價(jià)

為了體現(xiàn)ADRC控制器的控制效果， 定義了控制器中的所有參數(shù)， 其中表1給出了兩輪平衡車與控制力矩陀螺的實(shí)際參數(shù)， 表2給出了ADRC控制器中ω0，ωc的具體參數(shù)以及PD控制器中kp2，kd2的具體參數(shù)．

表1 兩輪自平衡車參數(shù)

為了更好地分析ADRC控制器的能力， 在MATLAB/Simulink中設(shè)計(jì)了兩種工況下的仿真實(shí)驗(yàn)方案： 靜態(tài)自平衡與靜態(tài)抗擾動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)， 觀察兩輪自平衡車的橫滾角度與控制力矩陀螺框架角度的變化情況， 并將ADRC控制器與傳統(tǒng)的PD 控制器進(jìn)行比較．

表2 控制器參數(shù)

為了更好地分析ADRC控制器的能力， 在MATLAB/Simulink中設(shè)計(jì)了兩種工況下的仿真實(shí)驗(yàn)方案： 靜態(tài)自平衡與靜態(tài)抗擾動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)， 觀察兩輪自平衡車的橫滾角度與控制力矩陀螺框架角度的變化情況， 并將ADRC控制器與傳統(tǒng)的PD 控制器進(jìn)行比較．

4.1 平衡車靜態(tài)自平衡仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)考慮到力矩陀螺性能， 設(shè)置相同的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為3 000 r/min， 并結(jié)合陀螺框架電機(jī)實(shí)際的轉(zhuǎn)速限制， 將CMG框架進(jìn)動(dòng)角速度限制為180～-180 rad/s之間． 根據(jù)力矩陀螺性能試驗(yàn)結(jié)果， 設(shè)置車體的初始偏角都為10°， 仿真了兩輪自平衡車分別在ADRC控制器與PD控制器下兩輪車的靜態(tài)自平衡效果． 其仿真結(jié)果如圖8所示．

圖8 平衡車靜態(tài)自平衡仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖8(a)為兩種控制方法下的車輛橫滾角， 可以看出， 使用兩種控制器都可以使兩輪車從車體偏角為10°的狀態(tài)迅速回到0°， 但是ADRC控制器較PD控制器能夠使兩輪車更快地回到直立位置， 說(shuō)明了ADRC可以更有效地保證兩輪車的自平衡性能． 而圖8(b)為兩種控制方法下的陀螺框架角度， ADRC控制器和PD控制器都需要犧牲一定的陀螺框架角度才能使車體平衡， 而且ADRC控制器與PD控制器在平衡車體的過(guò)程中， 最大框架角度都達(dá)到37°左右， 但是在車體回到平衡位置且框架角度穩(wěn)定后， ADRC控制器的框架角度為22°， PD控制器的框架角度為27°， ADRC犧牲的框架角度很小， 意味著在平衡之后兩輪車能夠更大限度使用控制力矩陀螺抵抗外部干擾．

4.2 平衡車靜態(tài)抗擾動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)

在靜態(tài)抗擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)中， 為了體現(xiàn)車輛平衡后抵抗外部干擾的能力， 將車輛的初始角度設(shè)置為10°， 結(jié)合陀螺框架電機(jī)實(shí)際的轉(zhuǎn)速限制， 將CMG框架進(jìn)動(dòng)角速度限制為180～-180 rad/s， 通過(guò)控制器控制使車體橫滾角度穩(wěn)定在0°后， 在實(shí)驗(yàn)的第4 s， 同時(shí)給予車體100 N的橫向沖擊干擾， 其持續(xù)時(shí)間為0.2 s， 作用在車體的質(zhì)心位置， 仿真結(jié)果如圖9所示． 隨后再次進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)， 同時(shí)給予車體200 N的橫向沖擊干擾， 其持續(xù)時(shí)間為0.2 s， 作用在車體的質(zhì)心位置， 仿真結(jié)果如圖10所示．

圖9(a)和圖9(b)為兩輪平衡車在受到100 N橫向沖擊時(shí)， 車體橫滾角度與陀螺框架角度的變化情況． ADRC控制器與PD控制器在車體受到外部橫向沖擊干擾后， 控制力矩陀螺都迅速做出了反應(yīng)， 使車體重新回到直立位置． 但是ADRC控制器使車體偏離直立位置的橫滾角度為0.2°， PD控制器則有1.2°的偏離， 而且ADRC車體回到直立位置的時(shí)間大約有0.6 s， 而PD控制器穩(wěn)定時(shí)間達(dá)到了1.2 s． 對(duì)于CMG框架角度， ADRC控制下框架角度最終增加了5°， PD控制下的框架角度增加是ADRC控制器的2倍， PD控制器下的兩輪平衡車隨著陀螺框架角度的增加導(dǎo)致抵抗外部擾動(dòng)的能力快速下降， 這表明了ADRC控制器能夠更好地抵抗外部干擾

當(dāng)實(shí)驗(yàn)施加了200 N的橫向沖擊干擾后， 如圖10所示， PD控制器下的陀螺框架角度迅速達(dá)到90°， 出現(xiàn)陀螺奇異， 無(wú)法提供有效力矩導(dǎo)致車輛失去平衡． 而在圖10(a)所示的車體橫滾角度， ADRC控制下的兩輪平衡車仍然能夠很快地回到直立位置， 橫滾角度波動(dòng)為0.2°， 而且陀螺框架角度最終增加的角度也只有10°， 車體仍然能夠抵抗外部干擾． 結(jié)果表明， ADRC控制器較傳統(tǒng)的PD控制器能夠抵抗更大的外部擾動(dòng)．

圖9 平衡車100 N橫向擾動(dòng)力工況下仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖10 平衡車200 N橫向擾動(dòng)力工況下仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié)論

本文針對(duì)兩輪單車轍車輛的不穩(wěn)定系統(tǒng)， 使用了對(duì)置式控制力矩陀螺用于提供平衡車體的有效力矩， 并針對(duì)SGCMG自平衡車， 采用了一種自抗擾控制器， 解決了兩輪單車轍車輛的靜態(tài)自平衡和抗干擾問(wèn)題， 并對(duì)使用自抗擾控制器的自平衡車進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)和討論， 得出以下結(jié)論：

1) 自抗擾控制器與傳統(tǒng)的PD控制器相比， 該控制器能夠更加迅速地使車身從傾斜狀態(tài)恢復(fù)到直立位置， 而且控制力矩陀螺提供有效力矩后， 犧牲的陀螺框架角度更?。?/p>

2) 在施加橫向擾動(dòng)力的仿真實(shí)驗(yàn)中， 自抗擾控制器控制下的兩輪自平衡車能夠更好地將車體橫滾角度穩(wěn)定在0°左右， 對(duì)于橫向擾動(dòng)力的抵抗能力較傳統(tǒng)的PD控制器來(lái)說(shuō)更佳．