◇咸陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 徐逸坤 華雪俠 何東山 齊凱強(qiáng) 劉嘉妮

雙擺系統(tǒng)是一個(gè)非線(xiàn)性的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，有著多樣性和復(fù)雜性，尤其是其混沌行為。雙擺模型是一種常見(jiàn)的振動(dòng)系統(tǒng)。碰撞振動(dòng)作為非線(xiàn)性問(wèn)題的一種典型情況，廣泛存在于實(shí)際工程各個(gè)領(lǐng)域中。論文研究以機(jī)器人行走過(guò)程中雙腿運(yùn)動(dòng)特征為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)構(gòu)建了基于參數(shù)激勵(lì)下質(zhì)量集中的“雙擺模型”結(jié)構(gòu)模型，文章通過(guò)對(duì)其進(jìn)行建模、受力分析建立運(yùn)動(dòng)方程并研究其運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)其復(fù)雜運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，得到在不同的初始條件下的數(shù)據(jù)及運(yùn)動(dòng)過(guò)程的模擬。利用 Tracker 軟件捕捉到的數(shù)據(jù)，通過(guò)控制變量法進(jìn)行定量分析不同條件下的運(yùn)動(dòng)情況。

1 雙擺運(yùn)動(dòng)模型理論分析

機(jī)器人行走過(guò)程中雙腿運(yùn)動(dòng)特征可以將其看作由兩個(gè)質(zhì)量分別集中在膝蓋設(shè)其質(zhì)量為的和集中在腳踝質(zhì)量為兩個(gè)質(zhì)量塊通過(guò)輕質(zhì)桿連接的“雙擺模型”結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（如圖1），兩均質(zhì)桿長(zhǎng)度分別為，在O點(diǎn)通過(guò)鉸鏈與動(dòng)點(diǎn)A連接，A沿上下（y軸）周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為y=其中為運(yùn)動(dòng)幅值，為頻率。這樣的系統(tǒng)是一個(gè)非線(xiàn)性的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，有著多樣性和復(fù)雜性，尤其是其混沌行為。

圖1 機(jī)器人腿部模型

圖2 和 受力分析

由圖1可知：

2 機(jī)器人腿部“雙擺運(yùn)動(dòng)”模型實(shí)驗(yàn)分析

圖3 圖像

圖4 圖像

圖5 圖像

圖6 圖像

圖7 圖像

圖8 圖像

圖9 圖像

圖10 圖像

圖11 圖像

拉格朗日方程：

保守力系的拉格朗日方程為：

將公式（7）（8）代入（10），可得機(jī)器人腿部模型的參數(shù)激振動(dòng)方程為：

3 利用Mathematica仿真模擬

指出當(dāng)系統(tǒng)處于較低能級(jí)時(shí)，系統(tǒng)是近可積的，等值曲線(xiàn)和數(shù)值仿真接近，當(dāng)系統(tǒng)處于較高能級(jí)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是混沌的。安宇[4]指出系統(tǒng)在較高能量時(shí)，初值的一點(diǎn)變動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有很大影響。文獻(xiàn)5指出可以通過(guò)Mathematica的NDSolve求解器求解該方程。下面將使用Mathematica來(lái)探究初值變化對(duì)機(jī)器人腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。

3.1 研究和的影響

圖12 計(jì)算理論微分方程

圖13 計(jì)算理論微分方程

3.2 研究角速度的影響

圖14 計(jì)算=5rad/s理論微分方程

圖15 計(jì)算 =6rad/s理論微分方程

圖16 計(jì)算=7rad/s理論微分方程

3.3 研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)頻率的影響

通過(guò)圖17～圖19我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)ω>2.5rad/s時(shí)，機(jī)器人腿部模型不能穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后，產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

圖17 計(jì)算ω>2.2rad/s時(shí)

圖18 計(jì)算ω>2.3rad/s

圖19 計(jì)算ω>2.5rad/s

4 結(jié)論

本研究對(duì)機(jī)器人雙腿進(jìn)行了的簡(jiǎn)化的“雙擺模型”的理論和實(shí)驗(yàn)的分析得出以下結(jié)論：①圖像可以看出，在一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以理論可以使用保守力系拉格朗日算出微分方程。都有周期性變化：在平面里左右擺動(dòng)；繞周期性運(yùn)動(dòng)。②通過(guò)仿真與計(jì)算得出時(shí)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。機(jī)器人雙腿裝置中膝蓋處質(zhì)量與足部質(zhì)量之比需小于時(shí)，機(jī)器人雙腿裝置中足部角速度需小于等于6rad/s；6rad/s≤≤7rad/s時(shí)小球機(jī)械能不足，會(huì)產(chǎn)生回?cái)[；故不能適用于機(jī)器人雙腿裝置；ω≥2.5rad/s時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。