楊宏印，吳楠昊，王 波，張 威，劉章軍，黃民水

（1.武漢工程大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430073；2.綠色土木工程材料與結(jié)構(gòu)湖北省工程研究中心，湖北 武漢 430073；3.橋梁結(jié)構(gòu)健康與安全國家重點實驗室，湖北 武漢 430034）

近年來，隨著重載鐵路列車的軸重和車速不斷提升，列車過橋的動力作用使重載鐵路橋梁逐漸產(chǎn)生累積損傷，橋梁實測響應(yīng)將逐漸偏離初始建立的有限元模型計算值。故有必要對初始的重載鐵路橋梁有限元模型進行調(diào)整和修正，以為后續(xù)橋梁車致振動分析、橋梁健康監(jiān)測和損傷識別提供基準有限元模型［1-2］。

有限元模型修正方法分為確定性修正和非確定性修正2 大類。確定性模型修正方法將參數(shù)和誤差視為確定的映射函數(shù)［3-4］，而非確定性模型修正方法考慮了參數(shù)的不確定性因素［5］。貝葉斯方法是1種常用的非確定性模型修正方法，它以觀測信息和先驗信息為前提構(gòu)造模型修正的目標函數(shù)。但傳統(tǒng)的貝葉斯方法也存在一些缺陷：一方面，先驗信息和觀測信息并非完全對等和匹配；另一方面，協(xié)方差無法準確調(diào)整先驗信息［6］。文獻［7-8］指出，在傳統(tǒng)的貝葉斯方法中引入權(quán)重系數(shù)調(diào)整觀測信息與先驗信息之間的不確定性關(guān)系，可使貝葉斯方法在復(fù)雜工程中易于應(yīng)用。

響應(yīng)面方法是在設(shè)計空間里，利用回歸分析原理，將有限元模型的輸入?yún)?shù)與輸出響應(yīng)擬合出明確的函數(shù)關(guān)系式，即響應(yīng)面模型［9］。故有限元模型修正過程中可利用響應(yīng)面模型替代有限元模型，提高計算效率。

目前，基于貝葉斯法和響應(yīng)面法對重載鐵路橋梁有限元模型進行修正的文獻較少。本文針對重載鐵路橋梁有限元模型修正問題，基于貝葉斯法構(gòu)造包含動態(tài)權(quán)重系數(shù)的目標函數(shù)，再結(jié)合響應(yīng)面方法，提出1種基于貝葉斯法和響應(yīng)面法的橋梁有限元模型修正方法。根據(jù)靜動載試驗數(shù)據(jù)對重載鐵路黃河特大橋的有限元模型進行修正，并根據(jù)橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)對有限元模型修正有效性進行評估。

1 基于貝葉斯法和響應(yīng)面法的模型修正方法

1.1 基于貝葉斯法的動態(tài)目標函數(shù)

貝葉斯方法的基本假定為：獲取觀測樣本之前，根據(jù)以往的經(jīng)驗，假定待修正參數(shù)在設(shè)計空間里服從特定的先驗分布；得到觀測樣本后，新的認識反饋在后驗分布中。而從概率思維角度出發(fā)，不確定事件的所有可行解中，后驗概率最大的1個解可信度最高，包含的客觀因素最多、主觀因素最少。

在有限元模型修正中，觀測信息是實測的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，先驗信息是人們對結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗和預(yù)先認知，傳統(tǒng)的貝葉斯方法將2 類信息平等對待，但實踐證明2 類信息的重要性并不完全相同［10］。因此，本文引入動態(tài)權(quán)重系數(shù)β調(diào)整2 類信息在有限元模型修正過程中的權(quán)重關(guān)系。

定義待修正參數(shù)的誤差向量εθ為具有可加性和服從正態(tài)分布的隨機變量，待修正參數(shù)向量θ可表達為［10］

式中：μθ為待修正參數(shù)向量θ的均值向量。

式中：x為有限元模型計算值向量；m為實測點數(shù)目；εx為有限元模型計算值的誤差向量；x*為實測值向量；n為待修正參數(shù)向量θ的維度。

由式（2）和式（3）推導(dǎo)可得，后驗概率密度為

式中：k為常數(shù)。

可見，求式（4）的最大值等價于求解式（5）。

式中：J0為觀測信息；Js為先驗信息。

式（5）即為包含動態(tài)權(quán)重系數(shù)的貝葉斯方法準則函數(shù)。

定義β為

式中：和yi分別為第i個實測點對應(yīng)的響應(yīng)面模型計算值和實測值。

以響應(yīng)面模型計算值作為先驗信息，以實測響應(yīng)作為觀測信息，則根據(jù)式（5），可構(gòu)造包含動態(tài)權(quán)重系數(shù)的目標函數(shù)f(θ)，即

式（7）的解對應(yīng)的θ即為有限元模型修正后的參數(shù)向量。以響應(yīng)面模型計算值與實測值之間的相對誤差不超過10%，且結(jié)構(gòu)參數(shù)在合理的修正范圍內(nèi)作為約束條件，即

式中：θj為第j個待修正參數(shù)；θjmax和θjmin分別為第j個待修正參數(shù)的合理上、下限值。

1.2 響應(yīng)面模型構(gòu)建

有限元模型隱含輸入?yún)?shù)與輸出響應(yīng)之間的函數(shù)關(guān)系。響應(yīng)面法就是通過合理的試驗設(shè)計，確定設(shè)計空間的訓(xùn)練樣本，利用回歸分析的原理，擬合出多因子的超曲面，以顯式函數(shù)表達形式替代有限元模型。有限元模型修正過程中可利用響應(yīng)面模型替代有限元模型，提高模型修正的計算效率。響應(yīng)面模型常用二次多項式擬合，即

式中：λo，λj和λjj均為待定系數(shù)，通過最小二乘法確定。

通過相關(guān)系數(shù)R2和均方根誤差Re檢驗響應(yīng)面模型和樣本點之間的擬合程度。R2和Re的表達式分別為

1.3 聯(lián)合貝葉斯法和響應(yīng)面法的模型修正流程

本文聯(lián)合貝葉斯法和響應(yīng)面法進行有限元模型修正的基本流程為：首先，基于貝葉斯法構(gòu)造包含動態(tài)權(quán)重系數(shù)的目標函數(shù)；然后，構(gòu)建精度較高的響應(yīng)面模型作為有限元模型的替代模型；最后，將響應(yīng)面模型和觀測信息帶入目標函數(shù)，利用Fmincon 優(yōu)化算法對目標函數(shù)進行迭代計算以得到修正后的模型參數(shù)。有限元模型修正流程如圖1所示。

圖1 有限元模型修正流程

2 重載鐵路橋梁有限元模型

本文以大準線重載鐵路黃河特大橋為研究對象［11］。該橋是一座跨徑組合為96.7 m+132.0 m+96.7 m 的預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋，如圖2 所示。2#墩和3#墩左右各存在長55 m、高度按拋物線變化的變截面段。根據(jù)施工節(jié)段將主梁的變截面部分劃分為17 個關(guān)鍵截面。主梁采用單箱單室的箱梁截面。該橋的初始參數(shù)如下：主梁采用C50 混凝土，彈性模量為35.5 GPa；橋墩采用C40 混凝土，彈性模量為34.5 GPa；全橋混凝土密度為2 450 kg·m-3。

圖2 黃河特大橋（單位：m）

該橋有限元建模時，變截面段梁采用變截面梁單元，主梁的單元剛度只考慮主梁本身；單元質(zhì)量除考慮主梁本身外，還將鋼軌、道床、軌枕及橋面鋪裝等橋面附屬物作為二期恒載均勻分配到各主梁單元。采用MATLAB 軟件根據(jù)橋梁初始設(shè)計參數(shù)建立初始有限元模型。

3 重載鐵路橋梁有限元模型修正

3.1 靜動載試驗與初始有限元模型計算結(jié)果對比

為評價重載鐵路黃河特大橋的實際受力性能，對其分別進行靜動載試驗。圖3 為2 個靜載試驗工況的輪位加載布置形式。輪位1 工況時，采用1 臺SS4B型機車和9 節(jié)C80型貨車的編組方式進行加載，機車的第1 對輪壓在距離3#墩中心位置12.23 m處；輪位2 工況時，采用1 臺SS4B型機車和15 節(jié)C80型貨車的編組方式進行加載，機車的第1 對輪壓在距離4#墩中心位置9.18 m 處。動載試驗的主要目的是利用列車動載激起橋梁結(jié)構(gòu)振動，測定橋梁的前3階自振頻率。

圖3 靜載試驗各工況輪位加載布置（單位：m）

以靜載試驗工況的橋梁豎向位移和動載試驗的橋梁前3階頻率結(jié)果作為模型修正的目標響應(yīng)，進行初始有限元模型計算值與試驗值對比分析。

2 種靜載試驗工況下主梁豎向位移的初始有限元模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果如圖4所示，圖中主梁向下變形為負。表1 為2 種工況下主梁控制截面豎向位移的初始有限元模型計算值與試驗值對比。由圖4 和表1 可見：主梁控制截面豎向位移計算值與試驗值存在較大偏差，最大相對誤差達18.12%。

表1 2種工況下主梁控制截面豎向位移對比

圖4 2種工況下主梁豎向位移結(jié)果

橋梁前3 階頻率的初始有限元模型計算值與試驗值對比見表2。由表2 可見：橋梁前3 階頻率計算值與試驗值存在較大偏差，最大相對誤差達10.29%。

表2 橋梁前3階頻率對比

可見，橋梁初始有限元模型不能準確反映重載鐵路橋梁實際的力學(xué)性能，因此，有必要對重載鐵路黃河特大橋初始有限元模型進行調(diào)整和修正。

3.2 有限元模型修正

將重載鐵路黃河特大橋主梁對稱劃分為12 段子結(jié)構(gòu)進行模型修正［12］，圖5給出了1/2主梁的分段子結(jié)構(gòu)劃分圖。

圖5 1/2主梁分段子結(jié)構(gòu)劃分圖（單位：m）

選取每段子結(jié)構(gòu)的抗彎剛度修正系數(shù)αl（l=1，2，…，6）和質(zhì)量密度γl（l=1，2，…，6）作為有限元模型的待修正參數(shù)，根據(jù)設(shè)計資料和工程經(jīng)驗，αl的初值均取為1，修正范圍的上限值和下限值分別取為1.3和0.7；γl的初值均取為2 450，修正范圍的上限值和下限值均取為2 800和2 200。

利用最小二乘法擬合各待修正參數(shù)的響應(yīng)面模型表達式。將其和試驗值帶入包含動態(tài)權(quán)重系數(shù)的目標函數(shù)，利用MATLAB 優(yōu)化工具箱的Fmincon算法進行迭代求解，得到最優(yōu)的待修正參數(shù)值。Fmincon 算法在參數(shù)的約束范圍內(nèi)搜索，當滿足預(yù)先設(shè)定的收斂條件時，為保證計算結(jié)果的穩(wěn)定性繼續(xù)重復(fù)10 次迭代［13］；之后，停止迭代計算，提取最小的迭代函數(shù)值和各項最優(yōu)的修正參數(shù)值。

取動態(tài)權(quán)重系數(shù)β的初始值為0.93，迭代步長取為1，利用式（7）計算的目標函數(shù)值和動態(tài)權(quán)重系數(shù)隨迭代次數(shù)的變化曲線如圖6所示。

圖6 目標函數(shù)值和動態(tài)權(quán)重系數(shù)隨迭代次數(shù)的變化曲線

由圖6 可見：Fmincon 算法的求解收斂于第50步，最優(yōu)的目標函數(shù)值為0.148，對應(yīng)的動態(tài)權(quán)重系數(shù)為0.998，該解對應(yīng)修正后的參數(shù)值見表3 和表4。由表3 和表4 可見：子結(jié)構(gòu)2 和子結(jié)構(gòu)6 抗彎剛度系數(shù)的修正幅度高達30%；質(zhì)量密度的修正幅度范圍為-10.19%～14.28%。

表3 子結(jié)構(gòu)修正后的抗彎剛度系數(shù)

表4 子結(jié)構(gòu)修正后的質(zhì)量密度

將修正后的參數(shù)值代替初始參數(shù)，計算主梁豎向位移。有限元模型修正后2 種靜載工況主梁豎向位移的計算值與試驗值如圖7 所示。表5 給出了模型修正后主梁控制截面豎向位移計算值與試驗值對比。由表5可見：模型修正后主梁控制截面豎向位移的最大相對誤差小于1%。

圖7 模型修正后2種工況下主梁豎向位移計算結(jié)果

表5 模型修正后主梁控制截面豎向位移與試驗值對比

表6 給出了模型修正后橋梁前3 階頻率計算值與試驗值對比。由表6 可見：模型修正后橋梁前3階頻率的最大相對誤差降低到8.82%。

表6 模型修正后橋梁前3階頻率與試驗值對比

可見，采用基于貝葉斯法和響應(yīng)面法的模型修正方法對重載鐵路黃河特大橋進行有限元模型修正后，對于靜載工況主梁豎向位移以及橋梁前3階頻率的計算值與試驗值均符合良好，表明修正后有限元模型計算結(jié)果的準確性有明顯提高。

3.3 模型修正有效性評估

重載鐵路黃河特大橋在運營過程中安裝了橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)，可以對重載列車過橋時橋梁振動響應(yīng)進行實時監(jiān)測和數(shù)據(jù)采集。為進一步評估修正后有限元模型的精度和有效性，結(jié)合橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)的實測響應(yīng)，對橋梁車致振動進行計算和分析，將修正前后的結(jié)構(gòu)參數(shù)替換車-橋耦合振動程序［14-16］中的相關(guān)參數(shù)得到重載列車過橋時橋梁的動態(tài)響應(yīng)。

當C80型貨車以60 km·h-1通過黃河特大橋時，采用MATLAB 軟件編制的車-橋耦合振動程序得到的橋梁跨中豎向位移時程計算結(jié)果和利用健康監(jiān)測系統(tǒng)采集的實測結(jié)果如圖8 所示。由圖8 可見：當重載列車通過橋梁時，模型修正前的橋梁跨中豎向位移時程計算結(jié)果和實測結(jié)果存在較大偏差，最大相對誤差達43%；模型修正后的橋梁跨中豎向位移時程計算結(jié)果和實測結(jié)果符合較好，最大相對誤差降低到13%。列車進橋段和出橋段存在一定偏差，這是由于在重載列車實際運行中，每個軸重和車速存在一定隨機性。當C80型貨車以60 km·h-1離開橋梁后，3 條曲線均呈現(xiàn)較大幅度的振動衰減。這表明修正后的有限元模型能反映重載鐵路橋梁結(jié)構(gòu)實際的受力性能，可以應(yīng)用于重載鐵路橋梁的健康監(jiān)測和安全評估。

圖8 橋梁跨中豎向位移時程計算結(jié)果和實測結(jié)果

4 結(jié)論

（1）基于充分融合觀測信息與先驗信息的貝葉斯方法，構(gòu)造包含動態(tài)權(quán)重系數(shù)的目標函數(shù)，再結(jié)合響應(yīng)面法形成1 種結(jié)構(gòu)有限元模型的修正方法，該方法提高了有限元模型修正的效率和精度，為傳統(tǒng)的重載鐵路橋梁有限元模型修正提供了新思路。

（2）根據(jù)重載鐵路黃河特大橋靜動載試驗數(shù)據(jù)，采用聯(lián)合貝葉斯法和響應(yīng)面法對其初始有限元模型進行修正后，主梁控制截面豎向位移計算值的最大相對誤差從18.12%下降到小于1%，橋梁前3 階頻率計算值的最大相對誤差從10.29%降低到8.82%，表明修正后的有限元模型計算結(jié)果的準確性有明顯提高。

（3）利用修正前后的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行重載列車過橋時橋梁振動分析，修正后的橋梁跨中豎向位移時程計算結(jié)果與橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)實測結(jié)果之間的最大相對誤差從43%下降到13%，表明修正后的有限元模型計算精度較高，能用于評價橋梁結(jié)構(gòu)實際的受力性能，可以應(yīng)用于重載鐵路橋梁的健康監(jiān)測和安全評估。