徐家寬，王玉軒，張揚(yáng)，喬磊，劉建新，白俊強(qiáng),*

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

2. 西安交通大學(xué) 機(jī)械強(qiáng)度與振動國家重點實驗室，西安 710049

3. 天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 高速空氣動力學(xué)研究室，天津 300072

20世紀(jì)50年代，Smith[1]和Van Ingen[2]等提出了二維邊界層的eN方法，該方法被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。后來，Malik[3]、Arnal[4]、Cebeci[5]、蘇彩虹[6]、趙磊[7]等對該方法進(jìn)行了發(fā)展，使得其能夠應(yīng)用于三維邊界層，完善了基于線性穩(wěn)定性理論的eN方法。由于eN方法基于線性化理論，因而可以預(yù)測小擾動引起的轉(zhuǎn)捩。而航空航天飛行器的飛行環(huán)境大多是低湍流度環(huán)境，因此eN方法比較適合航空航天飛行器繞流的轉(zhuǎn)捩預(yù)測。

Saric等[8]總結(jié)了在三維邊界層中常見的轉(zhuǎn)捩類型。對于大氣中飛行的航空航天飛行器，所處的環(huán)境湍流度較低，來流比較平穩(wěn)，失穩(wěn)主要由流向Tollmien-Schlichting(T-S)波轉(zhuǎn)捩、層流分離泡轉(zhuǎn)捩和橫流不穩(wěn)定波轉(zhuǎn)捩來主導(dǎo)。根據(jù)Obremski[9]和Klebanoff[10]等的研究結(jié)果，T-S波的線性發(fā)展區(qū)域幾乎能占據(jù)大約80%的層流區(qū)，雖然橫流(Crossflow，CF)的非線性階段飽和區(qū)較長，但是大部分區(qū)域為線性發(fā)展區(qū)。因此，線性穩(wěn)定性理論能夠較好地預(yù)測T-S波轉(zhuǎn)捩和橫流轉(zhuǎn)捩。線性穩(wěn)定性理論計算得到擾動增長因子的分布以后，還需要給定轉(zhuǎn)捩臨界N值才能判定轉(zhuǎn)捩。通常臨界N值則依靠經(jīng)驗(試驗等)給定，具有一定的經(jīng)驗性。因此，eN方法是一種半經(jīng)驗方法。

Bippes[11]、Saric[12]、Kloker[13]和符松[14]等通過后掠平板和后掠機(jī)翼的試驗和穩(wěn)定性計算，總結(jié)出如下規(guī)律：對于二維邊界層流動，一般當(dāng)來流湍流度Tu<(0.5%～1%)，邊界層流動由T-S波主導(dǎo)轉(zhuǎn)捩。在中、高來流湍流度下，邊界層流動由條帶(Streaks)主導(dǎo)轉(zhuǎn)捩。對于三維橫流邊界層流動，在低湍流度環(huán)境下由定常橫流渦主導(dǎo)轉(zhuǎn)捩，而在中高湍流度環(huán)境下由非定常橫流渦主導(dǎo)轉(zhuǎn)捩。對于三維橫流邊界層，來流湍流度和壁面粗糙度是主要的擾動源，分別誘導(dǎo)產(chǎn)生非定常橫流渦和定常橫流渦。Radeztsky等[15]進(jìn)一步研究了壁面粗糙度形狀、大小和位置對橫流定常渦感受性和失穩(wěn)的影響。低湍流度環(huán)境被認(rèn)為與實際飛行器飛行環(huán)境相似。在此環(huán)境下，盡管非定常橫流渦的增長率更大，但是三維橫流邊界層流動主要由定常橫流渦主導(dǎo)轉(zhuǎn)捩。

為了能夠在工程問題中應(yīng)用eN方法，美國國家航空航天局(NASA)的Malik[16]和Chang[17]、俄羅斯的Boiko等[18]、比利時的Pinna[19]、天津大學(xué)的黃章峰等[20]、西北工業(yè)大學(xué)的宋文萍等[21]和密歇根大學(xué)的史亞云等[22]都發(fā)展了雷諾平均方程(Reynolds Averaged Navier-Stokes，RANS)求解器耦合eN方法的分析程序。法國宇航研究中心(ONERA)的Perraud等[23]和Bégou等[24]、德國宇航中心的Krumbein[25]和瑞典國防研究局(FOI)的Eliasson等[26]基于大量的穩(wěn)定性分析結(jié)果構(gòu)造了eN數(shù)據(jù)庫，并利用該數(shù)據(jù)庫與CFD(Computational Fluid Dynamics)求解器進(jìn)行耦合求解，最終獲得擾動增長因子。根據(jù)國內(nèi)外的科研人員大量的試驗分析驗證，在飛行器表面出現(xiàn)的T-S波轉(zhuǎn)捩、層流分離泡轉(zhuǎn)捩和橫流不穩(wěn)定性轉(zhuǎn)捩，基于線性穩(wěn)定性方法理論的eN方法都可以對其進(jìn)行預(yù)測，且預(yù)測精度能夠滿足工程需求。將eN方法求解模塊與現(xiàn)有的RANS框架下的CFD求解器進(jìn)行耦合使用，拓展了線性穩(wěn)定性分析的應(yīng)用，使得其能夠應(yīng)用到常規(guī)氣動外形上，不再局限于簡單外形。

另一方面，眾多研究者致力于建立N值包絡(luò)與層流基本流動的特征參數(shù)之間的顯式函數(shù)映射關(guān)系。1987年，Drela和Giles[27]根據(jù)線性穩(wěn)定性分析方法，對不同壓力梯度下二維邊界層的層流相似性解，進(jìn)行了擾動增長因子N的計算，獲得了T-S波的擾動增長因子與邊界層形狀因子和動量厚度雷諾數(shù)的顯式關(guān)系式，首次對線性穩(wěn)定性理論進(jìn)行了簡化，使得eN方法在轉(zhuǎn)捩預(yù)測中的應(yīng)用更加簡單方便。

隨著近年來基于當(dāng)?shù)刈兞康霓D(zhuǎn)捩預(yù)測模式的發(fā)展，將eN方法變成CFD轉(zhuǎn)捩模式的做法越來越流行。從2013年開始，基于Drela和Giles[27]的研究成果，Coder和Maughmer[28-30]首次提出了流向擾動增長因子NTS的輸運(yùn)模式。他們通過對不同壓力梯度下的層流邊界層相似性解進(jìn)行大量的變參數(shù)穩(wěn)定性分析，找出了擾動增長因子包絡(luò)線與當(dāng)?shù)氐男螤钜蜃雍蛣恿亢穸壤字Z數(shù)以及邊界層特征尺度之間的函數(shù)關(guān)系式。對于出現(xiàn)在關(guān)系式中的非當(dāng)?shù)刈兞?，利用適當(dāng)?shù)闹甘疽蜃?，?gòu)造出新的關(guān)系式，將這些非當(dāng)?shù)刈兞?，逐個進(jìn)行當(dāng)?shù)鼗嬎?，最終與湍流模式耦合使用，形成轉(zhuǎn)捩-湍流預(yù)測模式。該模式的應(yīng)用非常簡便，可以與CFD求解器在計算中一起使用，一次性將層流區(qū)和湍流區(qū)的分布以及氣動力等流場數(shù)據(jù)求解出來。之后，Coder[31-32]又提出了滿足伽利略不變性的形狀因子參數(shù)，使得該模式在非慣性參考系中的應(yīng)用有了理論支持。

然而，Coder[31-32]提出的預(yù)測模式只能對流向T-S波轉(zhuǎn)捩和層流分離泡轉(zhuǎn)捩進(jìn)行預(yù)測，不能對橫流轉(zhuǎn)捩進(jìn)行預(yù)測。為了完善這一功能，徐家寬等[33-34]提出了橫流駐波擾動增長因子輸運(yùn)模式，以橫流強(qiáng)度因子和螺旋度雷諾數(shù)為根基發(fā)展了完全基于當(dāng)?shù)刈兞康腘CF輸運(yùn)模式，在較多低速算例上進(jìn)行了驗證，證實了其合理性。最近，該模式又進(jìn)一步被添加了壁面溫度效應(yīng)[35-36]，使其可以對跨聲速的部分變壁面溫度算例進(jìn)行預(yù)測且預(yù)測精度較高。至此，基于線性穩(wěn)定性理論構(gòu)造的NTS-NCF低速和亞聲速轉(zhuǎn)捩模式的框架基本成型。2020年，徐家寬等[37]對超聲速邊界層的Oblique T-S波[37]和可壓縮橫流駐波的擾動增長因子[38]進(jìn)行了輸運(yùn)模式構(gòu)建，但結(jié)果當(dāng)前僅在平板和無限展長后掠翼等簡單構(gòu)型上精度較高，在真實復(fù)雜三維外形表面的預(yù)測還需進(jìn)一步改進(jìn)和完善。

下面將對NTS-NCF模式的發(fā)展歷程、特點和存在的不足等方面進(jìn)行描述。

1 流向擾動增長因子輸運(yùn)模式

1.1 發(fā)展歷程和特點分析

NTS模式原始版本詳見Coder和Maughmer在2014年發(fā)表的論文[29]，其輸運(yùn)方程形式為

(1)

式中：ρ為密度；ui為xi方向的速度；PTS為源項；σTS為擴(kuò)散項系數(shù)；μ和μt分別為層流和湍流黏性系數(shù)。源項PTS的構(gòu)造主要基于Drela和Giles在1987年發(fā)表的成果[27]，包含T-S波開始失穩(wěn)點的判據(jù)、隨著動量厚度雷諾數(shù)增加而增大的斜率以及動量厚度雷諾數(shù)沿流向的變化導(dǎo)數(shù)等。沿流向的積分效應(yīng)可以通過輸運(yùn)方程的性質(zhì)去實現(xiàn)，但是所有的計算公式都是形狀因子H12的函數(shù)，而形狀因子是一個非當(dāng)?shù)氐姆e分變量。構(gòu)造RANS方程物理模式最關(guān)鍵的點在于所有變量可當(dāng)?shù)鼗蠼?，因此，如何讓形狀因子H12當(dāng)?shù)鼗蠼獬蔀榻５碾y點。

Coder和Maughmer 2014年[29]提出的當(dāng)?shù)鼗瘔毫μ荻葏?shù)為

(2)

式中：S為剪切應(yīng)變率的模；d為距離壁面的最小距離；邊界層邊緣速度Ue由可壓縮伯努利方程獲得

(3)

其中：U∞為自由來流速度；p為當(dāng)?shù)貕毫?；p∞為自由來流壓力；ρ∞為自由來流的密度；γH=1.4。

圖1給出了不可壓邊界層層流相似性解中當(dāng)?shù)貕毫μ荻葏?shù)HL的分布[39]，圖中η為無量綱的壁面法向坐標(biāo)，βH為Hartree壓力梯度因子。可以看出，HL在邊界層中部的最大值與形狀因子呈單調(diào)變化關(guān)系，因此，可以用其表征形狀因子的大小,計算公式為

圖1 當(dāng)?shù)鼗瘔毫μ荻葏?shù)HL在Falkner-Skan相似速度型中的分布[39]

(4)

該模式的整體流程框架如圖2所示，得到T-S波的增長因子之后，需要人為給定轉(zhuǎn)捩臨界N值才能判斷轉(zhuǎn)捩，一般在航空航天小擾動飛行環(huán)境里臨界N值一般使用Mack[40]提出的與來流湍流度之間的關(guān)系式：

NTS,crit=-8.43-2.4ln(Tu/100)

(5)

γeff=max[γ,exp(2(NTS-NTS,crit))]

(6)

(7)

(8)

式中：θ為動量損失厚度；U為平板流向速度；V為平板壁面法向速度；n為壁面法向單位矢量；u為速度矢量。然后用任意網(wǎng)格點距離壁面的最小距離d替換動量損失厚度θ，得到

(9)

Coder[31-32]在此基礎(chǔ)上發(fā)展了類似定義的當(dāng)?shù)貕毫μ荻戎甘疽蜃雍蛯?yīng)的形狀因子計算函數(shù)：

(10)

H12=min[max(0.26HL+2.4,2.2),20.0]

(11)

該版本對應(yīng)的其他函數(shù)公式詳見圖2，圖中變量的定義詳見文獻(xiàn)[29,32],其中HL和H12在S&K平板算例中的分布如圖3所示[32]，圖中z為壁面法向坐標(biāo)，Rex為距離平板前緣距離為x位置的流向雷諾數(shù)。

圖2 T-S波擾動增長因子輸運(yùn)方程和計算框架

圖3 滿足伽利略不變性的HL和H12在S&K平板算例中的分布[32]

1.2 存在的問題和需要改進(jìn)的地方

最新的NTS模式還存在3個方面的缺陷：

1) 形狀因子H12的計算結(jié)果不夠物理。仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，該版本計算出的形狀因子H12在零壓力梯度平板的值并不是理論上的2.59，而在3附近。因此本文作者對此進(jìn)行了修正，其表達(dá)式為

H12=min[max(0.093 5HL+2.382,2.2),8.0]

(12)

這樣才能使得形狀因子H12的計算結(jié)果符合基本的物理規(guī)律：例如零壓力梯度平板的值為2.59，臨界分離點的形狀因子為4.0等。

2) 跨聲速高雷諾數(shù)工況計算所得N值過大。在NASA進(jìn)行的層流標(biāo)模計算對比驗證過程中發(fā)現(xiàn)Langtry的經(jīng)驗關(guān)系模式[45]和NTS模型[46-48]在基于平均氣動弦長的雷諾數(shù)(ReMAC)超過 1 500萬時，就已經(jīng)失效。NTS轉(zhuǎn)捩模式計算所得的N值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于標(biāo)準(zhǔn)LST分析的值，導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩非常靠近前緣，如圖4所示[48]，其中AOA表示迎角。因此，當(dāng)前的NTS模式需要做高雷諾數(shù)增長函數(shù)修正。而且Drela和Giles[27]用的是運(yùn)動學(xué)形狀因子Hk，其對跨聲速邊界層的可壓縮性并不敏感，如果只參照不可壓的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行形狀因子的求解，則會造成跨聲速邊界層內(nèi)形狀因子的過大估計，導(dǎo)致順壓梯度的H12值過大，增長斜率向逆壓梯度的公式傾斜。這也是造成N值預(yù)測偏大的重要因素，所以還需要進(jìn)行可壓縮性修正。

圖4 NASA跨聲速高雷諾數(shù)層流標(biāo)模試驗和計算結(jié)果對比(ReMAC=1.5×107，AOA=1.44°, 1 in=2.54 cm)[48]

3) 不具備橫流轉(zhuǎn)捩的預(yù)測能力。由于Coder只對T-S波進(jìn)行了建模，因此，該模式無法預(yù)測橫流轉(zhuǎn)捩。其在文章中還展示了該模式對于橫流現(xiàn)象主導(dǎo)的算例的預(yù)測結(jié)果，如圖5所示[32]，其中Cf為摩擦力系數(shù)，L為橢球長軸的長度。

圖5 NTS模式在變后掠機(jī)翼和6∶1標(biāo)準(zhǔn)橢球大迎角算例中的預(yù)測結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的對比[32]

2 橫流擾動增長因子輸運(yùn)模式

2.1 發(fā)展歷程和特點分析

由于第1節(jié)的流向擾動增長因子輸運(yùn)方程不具備橫流轉(zhuǎn)捩的預(yù)測能力，而在亞跨聲速的小擾動來流環(huán)境中，橫流駐波主導(dǎo)橫流失穩(wěn)，因此需要對橫流駐波進(jìn)行NCF因子的輸運(yùn)模式構(gòu)造。徐家寬等[33]2016年初步構(gòu)造了適用于無限展長后掠翼的NCF因子輸運(yùn)方程，于2019年基于大量線性穩(wěn)定性分析結(jié)果，構(gòu)造了適用于復(fù)雜氣動外形的NCF擾動增長因子輸運(yùn)模式[34-35]，方程形式為

(13)

式中：σCF表示擴(kuò)散項系數(shù)。源項PCF的建模也包含了橫流駐波開始失穩(wěn)點的判定、擾動開始增長以后的增長斜率以及增長率修正函數(shù)，具體的公式如圖6所示。

圖6 橫流駐波擾動增長因子輸運(yùn)方程和計算框架

得到橫流駐波的N因子之后，與1.1節(jié)的流向擾動增長因子就形成了NTS-NCF轉(zhuǎn)捩預(yù)測框架。有效間歇因子的表達(dá)式也變?yōu)?/p>

γeff=max{γ,exp[2max(NTS-NTS,crit,

NCF-NCF,crit)]}

(14)

哪種失穩(wěn)模態(tài)比較強(qiáng)就會率先觸發(fā)轉(zhuǎn)捩，從而實現(xiàn)多種失穩(wěn)模態(tài)同時預(yù)測的能力。

如圖7[34]所示，橫流速度型中橫流雷諾數(shù)Recf和橫流形狀因子Hcf的定義為

Recf=|wmax|δCF/νe

(15)

Hcf=ymax/δCF

(16)

式中:νe為邊界層邊緣的運(yùn)動黏度。

需要指出的是δCF的高度為最大橫流速度的10%位置(靠近邊界層邊緣的一側(cè))。其中橫流速度的當(dāng)?shù)鼗褂脵M流強(qiáng)度因子，橫流雷諾數(shù)的當(dāng)?shù)鼗褂寐菪壤字Z數(shù)進(jìn)行。

本文螺旋度因子首先由Müller和Herbst[49]提出，后經(jīng)Langtry[45]改造成橫流強(qiáng)度因子，經(jīng)德國宇航中心(DLR)研究人員[50]改造成螺旋度雷諾數(shù)。該因子不滿足伽利略不變性，但是可以表征不同當(dāng)?shù)睾舐咏窍碌臋M流分量強(qiáng)度。

本文作者團(tuán)隊對Langtry提出的橫流強(qiáng)度因子和DLR研究人員提出的螺旋度雷諾數(shù)做一點微調(diào)[35]，使得最大橫流速度分量與橫流強(qiáng)度因子、橫流雷諾數(shù)與螺旋度雷諾數(shù)之間的函數(shù)映射可以規(guī)避掉后掠角的影響。微調(diào)后的螺旋度雷諾數(shù)和橫流強(qiáng)度因子定義為

(17)

(18)

新定義的螺旋度雷諾數(shù)與橫流雷諾數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系和新定義的橫流強(qiáng)度因子與最大橫流速度分量之間的函數(shù)關(guān)系如圖8[34]和圖9[34]所示，圖中βH為Hartree壓力梯度，F(xiàn)SC表示Falkner-Skan-Cooke三維層流邊界層相似性解，詳細(xì)計算公式見文獻(xiàn)[34]和圖6。其中可壓縮修正項包含了邊界層邊緣馬赫數(shù)Mae=Ue/ae，ae為邊界層邊緣的聲速。該參數(shù)的計算繼續(xù)使用可壓縮伯努利方程以及總溫守恒關(guān)系[51-52]

圖8 新定義的螺旋度雷諾數(shù)與橫流雷諾數(shù)的函數(shù)關(guān)系[34]

圖9 新定義的橫流強(qiáng)度因子與最大橫流速度分量的函數(shù)關(guān)系[34]

(19)

(20)

最后，該模式還剩下Hartree壓力梯度βH的當(dāng)?shù)鼗嬎?。其可以使用更為精?xì)的不同后掠角下的三維邊界層壓力梯度因子計算公式，但是二維邊界層壓力梯度因子的計算精度已經(jīng)能夠滿足當(dāng)前的計算需求，其與Thwaites壓力梯度因子的關(guān)系式為

(21)

詳細(xì)計算公式見文獻(xiàn)[34-35]和圖6。

圖10[34]給出了NLF(2)-0415無限展長后掠翼在弦長雷諾數(shù)為3.81×106時預(yù)測所得NCF云圖和與標(biāo)準(zhǔn)LST結(jié)果的對比，圖中βr表示橫流駐波的展向波數(shù)。在每個站位取最大N值組成的N值包絡(luò)線與標(biāo)準(zhǔn)LST分析結(jié)果吻合良好。該模式在鐮刀翼上的結(jié)果如圖11[34]所示，也在6∶1 橢球上進(jìn)行了詳細(xì)測試。針對相同雷諾數(shù)，不同迎角狀態(tài)下預(yù)測所得摩擦力系數(shù)分布如圖12[35]所示，其中雷諾數(shù)ReL是基于橢球長軸長度L的特征雷諾數(shù)。而針對相同迎角，不同雷諾數(shù)下的轉(zhuǎn)捩預(yù)測結(jié)果如圖13[35]所示，其中Φ為周向角度。由圖可知，采用NTS-NCF耦合框架，可以很好地捕捉到橫流轉(zhuǎn)捩和T-S波轉(zhuǎn)捩。

圖10 NLF(2)-0415算例中NCF模式預(yù)測結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)LST結(jié)果的對比[34]

圖11 NCF模式在鐮刀翼上表面的預(yù)測結(jié)果[34]

圖12 不同迎角下NCF模式在6∶1橢球上的預(yù)測結(jié)果(Ma=0.136, ReL=6.5×106) [35]

圖13 NCF模式在6∶1橢球上不同雷諾數(shù)下的轉(zhuǎn)捩預(yù)測結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)LST結(jié)果的對比(Ma=0.136, AOA=29.5°) [35]

2020年作者團(tuán)隊對當(dāng)前NCF模式進(jìn)行了可壓縮修正[35]，該模式在DLR-F4機(jī)翼上的預(yù)測結(jié)果如圖14所示，圖中CL表示升力系數(shù)。此外，該模式還應(yīng)用于ARA層流機(jī)翼[36]，NCF模式預(yù)測所得的N值包絡(luò)與標(biāo)準(zhǔn)LST計算結(jié)果吻合良好，如圖15[36]所示。在臨界值給7.0的情況下與風(fēng)洞試驗結(jié)果吻合，如圖16[36]所示。

圖14 NCF模式在DLR-F4機(jī)翼上表面的預(yù)測結(jié)果與風(fēng)洞試驗結(jié)果的對比[35]

圖15 NCF模式在ARA構(gòu)型上的預(yù)測結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)LST結(jié)果的對比(AOA=-3.34°)[36]

圖16 NCF模式與NTS模式預(yù)測結(jié)果的對比[36]

2.2 存在的問題和需要改進(jìn)的地方

NCF模式在亞跨聲速邊界層的表現(xiàn)還是比較出色，其進(jìn)行了可壓縮修正。但是當(dāng)前NCF模式還存在以下問題需要進(jìn)一步研究和改進(jìn)：

1) 壓力梯度參數(shù)、螺旋度雷諾數(shù)和橫流強(qiáng)度因子3個關(guān)鍵變量均不滿足伽利略不變性。壓力梯度參數(shù)可以利用Coder[31-32]提出的壓力梯度因子進(jìn)行替換，解決伽利略不變性的問題。橫流強(qiáng)度因子和螺旋度雷諾數(shù)則需要繼續(xù)尋找其他可替代的變量。突破口為“避免使用絕對速度，嘗試用流動變量的法向梯度來替換”。

2) 橫流駐波主導(dǎo)的轉(zhuǎn)捩臨界N值判定準(zhǔn)則還需要進(jìn)一步構(gòu)造，盡管Crouch和Ng[53]提出了初步的經(jīng)驗關(guān)系，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠普適。因此，橫流駐波的臨界N值選取準(zhǔn)則還需要進(jìn)一步研究和探索。

3 總結(jié)和展望

文章對擾動增長因子NTS-NCF模式的發(fā)展歷程進(jìn)行了詳細(xì)的梳理和分析，總結(jié)了其克服當(dāng)?shù)鼗蠼夂唾だ圆蛔冃缘难芯克悸罚⒅赋隽水?dāng)前該預(yù)測框架存在的不足：

1) 當(dāng)前流向NTS因子模式需要進(jìn)行可壓縮性修正和高雷諾數(shù)修正，從而避免在跨聲速邊界層出現(xiàn)過大估計的現(xiàn)象。

2)NCF因子模式也需要進(jìn)行高雷諾數(shù)驗證并且需要對表征橫流強(qiáng)度因子的當(dāng)?shù)鼗甘疽蜃舆M(jìn)行改進(jìn)，使其滿足伽利略不變性。

3) 超/高聲速邊界層中出現(xiàn)的三維T-S斜波失穩(wěn)、第二模態(tài)失穩(wěn)和可壓縮橫流模態(tài)失穩(wěn)都需要進(jìn)一步研究或改進(jìn)。

4) 判定轉(zhuǎn)捩的臨界N值如何選取，也是一個開放性的問題，需要大量的試驗數(shù)據(jù)和理論分析來構(gòu)建一個較為普適的選取準(zhǔn)則。