魚在洋 鄭錦韜 張洋 汪之國? 孫輝 熊志強 羅暉

1)(陜西師范大學,物理學與信息技術學院,西安 710049)

2)(國防科技大學前沿交叉學科學院,長沙 410073)

3)(國防科技大學量子信息學科交叉中心,長沙 410073)

核磁共振陀螺具有高精度、小體積、低功耗等優(yōu)點,是目前陀螺儀研究領域的熱點之一.陀螺中的堿金屬原子自旋弛豫時間通常在10–5 s 量級,遠小于在通常原子磁力儀中的弛豫時間.研究了短弛豫時間原子自旋對不同方向的振蕩磁場EPR 響應的差異,分析了基于EPR 信號測量中心頻率方法的偏差與弛豫時間的關系,并從理論上給出了修正.提出了一種基于XY 軸信號相位差測量橫向弛豫時間的方法,可以實現(xiàn)對弛豫時間的準確快速測量.在實驗上以87Rb 原子為例比較了幾種測量方式的準確性和適用性,其中半高寬擬合法受到系統(tǒng)延遲時間的影響較大并有其測量極限,相位測量法受到探測光角度影響較大,但測量范圍更廣,且抗干擾能力更強.研究對于準確測量核磁共振陀螺參數(shù),提高陀螺性能的研究具有重要意義.

1 引言

陀螺儀作為慣性導航系統(tǒng)的核心器件,在車輛、船舶、衛(wèi)星以及國家安全方面都有著重要的應用[1?3].傳統(tǒng)成熟的高精度陀螺儀包括轉子陀螺以及激光陀螺,其精度在20 世紀80 年代就可以分別達到 10?6(°)/h和 10?4(°)/h[4],但在之后進入平臺期[5].近年來,隨著量子精密測量技術的逐漸發(fā)展,原子陀螺儀在精度,體積以及穩(wěn)定性上都得到了快速的發(fā)展,逐漸成為該領域的研究熱點[6?8].

本文所研究的核磁共振陀螺儀(nuclear magnetic resonance gyroscope,NMRG)具有高精度、高穩(wěn)定性、小體積的優(yōu)勢,具有很好的發(fā)展前景和應用潛力,其報道精度最高可達 0.01(°)/h[9?11].NMRG通過外界磁場驅動核自旋產(chǎn)生的穩(wěn)定的拉莫爾進動作為參考以測量載體轉動的角速度,并采用光的法拉第旋轉效應探測該進動頻率[12].其靈敏度主要受到原子氣室內(nèi)的磁場梯度以及原子自旋的弛豫時間制約,其中磁場梯度會引起共振頻率的漂移從而導致偏差[13],弛豫時間則會受到原子的密度,磁場梯度以及溫度等因素的共同影響[14].理論上,核自旋的弛豫時間越長則具有更窄的線寬,因此可以達到的靈敏度極限越高[15].此外,準確且快速的測量弛豫時間的變化,對于提高系統(tǒng)的零偏穩(wěn)定性等指標有著重要的作用.NMRG 通常使用堿金屬原子如87Rb 原子的自旋極化去測量惰性氣體原子如129Xe 以及131Xe 核自旋的核磁共振信號.系統(tǒng)中的堿金屬原子弛豫時間通常在 10?5s 量級,需要通過測量其電子順磁共振(electron paramagnetic resonance,EPR)信號來獲取其共振頻率及線寬等參數(shù).現(xiàn)有的弛豫時間測量方法包括自由感應衰減和自旋回波法[16],對于這樣極短的弛豫時間需要系統(tǒng)有極高的采樣率以穩(wěn)定的外界環(huán)境[17,18].此外還可以通過測量吸收曲線估計弛豫時間,這種方法會受到磁場變化和系統(tǒng)傳輸延遲的干擾而產(chǎn)生偏差,對實驗系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求較高.

在現(xiàn)有的實驗中通常采用振蕩磁場作為外界驅動磁場以測量EPR 信號,本文從理論上分析了振蕩磁場與旋轉磁場作用下原子進動的幅頻響應的相位響應差異,發(fā)現(xiàn)了振蕩磁場下原子EPR 信號在響應的不對稱性,并且在實驗中進行了驗證,得到了與理論比較一致的結果.這表明探測光與磁場的相對角度變化會引起陀螺儀響應的變化.此外,利用這種響應的差異,提出了一種基于XY軸信號相位差的弛豫時間測量方法,這種方法對于測量非常短的弛豫時間有較高的準確性,并且對于磁場強度的波動不敏感,具有較高的穩(wěn)定性.

2 振蕩磁場與原子自旋的相互作用理論

2.1 理論模型

以87Rb 原子為例,在與原子塞曼能級共振的磁場驅動下,會驅動其核外電子產(chǎn)生EPR 信號[19,20],弱磁環(huán)境下,堿金屬原子自旋與核外電子自旋相互耦合,對外表現(xiàn)為原子的總自旋磁矩的進動.可以用布洛赫方程描述振蕩磁場與原子磁矩的相互作用過程[21?23],對于磁矩為M=[MX,MY,MZ]T的原子,在垂直于靜磁場的方向施加交變的弱磁場,這會引起原子的磁矩做周期性運動:

其中τ2,τ1分別為橫向和縱向弛豫時間,γRb為原子的旋磁比.靜磁場沿著Z軸方向Bz=B0.振蕩磁場可以分解為圍繞著Z軸轉動的磁場:

其中B±分別表示左旋和右旋方向,Beff是施加振蕩磁場的強度.在左右旋磁場作用下磁矩橫向分量的穩(wěn)態(tài)解分別為

式中 ?ω=ω0?ω1,?ω′=ω0+ω1分別對應左右旋場的頻率與拉比頻率的差,ω0=γRbBo.并且忽略τ1τ2(γBeff)2這一項以簡化計算,對于所討論的情況,實際上弛豫時間與拉比頻率之積τ2ω0的量級接近于1,但由于施加的振蕩磁場相較于靜磁場很弱,因此有τ1τ2(γBeff)2?1.將(5)和(6)式的結果合并,可以得到XY軸上原子磁矩大小隨時間的變化:

可以看出,盡管在形式上相近,但XY軸的響應函數(shù)仍有不同,尤其對于弛豫時間較短的原子,?ω′τ2?1的條件不成立,此時兩軸的響應差異就十分明顯.為了方便計算,定義a=ω1τ2;b=ω0τ2,并假設中心頻率ω0不隨時間改變,將響應函數(shù)寫成關于參量a函數(shù),有:

其中a,b都是大于0的實數(shù).與旋轉磁場相比,XY軸的幅值響應并不會在共振條件a=b時達到極大值,這意味通過測量響應峰值來確定共振頻率的方法會出現(xiàn)偏差.對中心頻率為70 kHz的87Rb 原子,在不同弛豫時間下振蕩場的XY軸幅頻響應差異以及與旋波場的差異仿真結果如圖1 所示,?ω <0時X軸上信號強度要高于Y軸,信號最大值對應的頻率也低于ω0.

圖1 振蕩場與旋轉場的幅頻響應(a);(b);(c);(d)τ2=10 μs τ2=20 μs τ2=50 μs τ2=100 μs.τ2=10 μs τ2=20 μs τ2=50 μs τ2=100 μsFig.1.Amplitude-frequency responses of oscillating and rotating fields(a);(b);(c);(d)

通過分別求解兩軸響應函數(shù)的極大值所對應的磁場頻率,可以得到兩軸中心頻率與拉比頻率的差值:

從(15)和(16)式可以看出,原子的橫向弛豫時間越短,產(chǎn)生的中心頻率移動就會越明顯.從之前的分析可以看出,以振蕩場驅動時原子磁矩實際的進動軌跡是一個橢圓形,利用(13)和(14)式容易求得其長短軸之比h=.因此對于給定頻率的磁場,橫向弛豫時間越短,其兩軸的響應強度差異就越大.

3 系統(tǒng)傳輸延遲及弛豫時間測量

3.1 系統(tǒng)傳輸延遲測量

對一個測量系統(tǒng),總是會存在傳輸延遲t0,它是系統(tǒng)從輸入信號開始到得到輸出信號的時間差,在磁力儀系統(tǒng)中,傳輸延遲主要表現(xiàn)為輸入信號與輸出信號的相位差,由于對同一個系統(tǒng),傳輸延遲是一個隨時間和輸入信號基本不變的量,因此對于不同的頻率,會產(chǎn)生相位延遲 ?φ=ω1t0.理論上,通過測量輸出信號與理想輸出信號的相位差,就可以測得傳輸延遲.但實際上在系統(tǒng)的參數(shù)未知的情況下,求解理想的輸出信號往往是較為困難的.但利用磁力儀兩軸響應的不對稱性,可以在未知系統(tǒng)參數(shù)的情況下,求解系統(tǒng)的傳輸延遲.利用(13)和(14)式,可以分別求解相位的零點以及中心頻率,發(fā)現(xiàn)對應Y軸相位零點的頻率同時對應X軸的峰值頻率:

其中ωy0為Y軸相位為0是對應的頻率,ωxm為X軸信號響應最大值對應的頻率.通過掃頻可以容易的得到ωxm的值,此時僅需改變磁場的方向,在Y軸施加磁場并測量輸出信號的相位就可以容易的得到系統(tǒng)的傳輸延遲:

其中φ0為對應于X軸最大響應強度的頻率ωxm的振蕩場施加在Y軸時測量得到的相位,即使不確定系統(tǒng)的中心頻率和弛豫時間,依然可以采樣這種方法較為準確地測量系統(tǒng)的傳輸延遲.

3.2 弛豫時間測量

橫向弛豫時間的測量主要有自由感應衰減(FID),自旋回波以及半高寬估計法等幾種,在原子磁力儀中,堿金屬原子的弛豫時間通常極短(在微秒及微秒以下),前兩種估計方法對測量設備的精度以及采樣速率有著較高的要求,而基于布洛赫方程理論的半高寬估計法需要測量吸收曲線即(6)式中的正弦項.通過對輸出信號做正交分解得到吸收曲線,從而得到估計:

其中 ?ωha為吸收曲線的半高寬.由于系統(tǒng)總會有一定的傳輸延遲t0,這會在不同的頻率下引起不同的相位延遲,從而導致吸收曲線的測量出現(xiàn)誤差.另一方面,實驗中往往采用振蕩場替代旋波場,取幅頻響應的最大點作為相位零點,考慮到反旋項的影響,得到的頻率點相位不為0,因此正交分解得到的吸收曲線會存在偏差.

利用之前的計算,可以從不依賴相位的幅頻響應出發(fā),對系統(tǒng)弛豫時間做出估計.從(13)和(14)式出發(fā),可以對響應函數(shù)的半高寬進行求解:

從而得到弛豫時間與幅頻曲線半高寬的關系:

通過測量信號幅頻曲線的半高寬就可以直接求出橫向弛豫時間.對于弛豫時間很短的原子,其吸收和幅頻曲線展寬很大,即使在0 Hz 附近的信號也高于最大值的一半,因此無法測量其半高寬,利用其幅頻特性測量弛豫時間的方法是不可行的.通過計算可知,對參數(shù)b <10的范圍,利用吸收曲線測量弛豫時間會出現(xiàn)較大的偏差,而利用幅頻曲線則可以在b >3.73的范圍內(nèi)測量,理論上具有更大的測量范圍.

此外,根據(jù)相位關系同樣可以計算弛豫時間,從(13)和(14)式出發(fā)計算XY軸上信號相位的差異,注意到兩個軸上相位的差滿足:

其中c=tan(φx)tan(φy),這表示XY軸的相位差取決于原子的弛豫時間,因此通過改變探測軸或改變振蕩場方向,測量相位差就可以求出弛豫時間:

由于相位的相減消去了由于系統(tǒng)傳輸延遲帶來的誤差,因此這種測量方法受到系統(tǒng)參數(shù)波動的影響較小.

在微弱磁場下,理論上3 種方式都有較高的估計精度,但是在實驗中,測量吸收曲線的過程會受到傳輸延遲的影響,從而導致吸收曲線出現(xiàn)對中心頻率的不對稱,并且峰值減小的情況,這會導致測量的弛豫時間與實際出現(xiàn)偏差,即使通過在共振點進行相位補償消去此時的響應相位,由于不同頻率對應的響應相位不同,在實驗中直接而準確地測量吸收曲線是相對困難的.

除了傳輸延遲,還需要考慮實驗中探測光與磁場的方向不一定完全垂直,理論上我們假設探測光軸與施加磁場的X軸是重合的,但在實驗上,探測光軸與磁場的X 軸并不會完全重合,一方面是由于難以將光軸準確沿著磁場方向進行校對,從而使其完全平行,另一方面由于存在剩余磁場的干擾,這些干擾因素會改變原子實際受到的磁場,從而使探測光軸與施加磁場的方向出現(xiàn)偏移,從而引起信號的相位變化.假設存在偏轉角φ,對于沿著X軸施加的磁場,實際探測得到的響應函數(shù)和相位是一個與偏轉角相關的函數(shù):

由圖2 可知,相同偏轉角度引起X,Y軸上相位變化存在差別,這導致了由相位估計的弛豫時間發(fā)生變化.不同頻率下的估計值隨偏轉角大小的變化如圖,從仿真結果發(fā)現(xiàn),在且僅在?=0處,不同頻率下估計得到的弛豫時間與理論值相同.

圖2 偏轉角度對測量精度的影響Fig.2.Effect of deflection angle on measurement accuracy.

4 實驗部分

實驗上通過法拉第旋轉效應探測87Rb 原子的宏觀磁矩變化[12],在于泵浦光垂直的方向施加一束較弱的線偏振光,由于原子宏觀極化導致對左右旋光的吸收率不同,經(jīng)過氣室后探測光旋轉角度θ與該方向的原子磁矩成比例:

式中nAσ0為氣室光學深度的倒數(shù),L為光與原子作用的光程,W為躍遷線寬,?為探測光的共振偏移量,P∞為探測光的線偏度.通過測量探測光的角度偏移量,就可以測量原子磁矩隨時間的變化特性.實驗裝置如圖3 所示,內(nèi)邊長約10 mm的方形原子氣室置于磁屏蔽桶內(nèi)部,包含大量87Rb 以及約5 Torr(1 Torr≈133.322 Pa)的129Xe,45 Torr的131Xe,此外還充入N2作為緩沖氣體;由一個亥姆霍茲線圈提供磁場以及高頻載波場,泵浦光波長為795 nm,強度約100 mW,經(jīng)過線偏片(Linear polarizer,LP)以及λ/4 波片變?yōu)閳A偏光后再經(jīng)過擴束系統(tǒng)后沿著Z軸入射氣室,同時一束波長795 nm,強度約700 μW的探測光經(jīng)過線偏片起偏后射入氣室與原子相互作用,再由沃倫斯頓棱鏡(Wollanston prism,WP)分束后進入平衡探測器(balance detecter,BD)測量法拉第旋轉角θ,得到的信號再經(jīng)由信號處理系統(tǒng)進行分析.

圖3 實驗裝置Fig.3.Experiment settings.

4.1 磁共振信號響應曲線測量

利用亥姆霍茲線圈在Z軸上施加約 11.7 μT的恒定靜磁場,分別在X軸上和Y軸上分別施加約10 nT的振蕩磁場,并通過磁通門標定該磁場,確保XY軸上施加的磁場大小相同.通過分別改變XY軸磁場頻率得到的幅值響應曲線見圖4(a),在偏離共振點的頻率可以明顯看出,不同方向磁場下原子的共振信號強度不同,此外中心頻率的位置也發(fā)生了偏移,兩個方向上的頻率差為101.4 Hz.同時通過鑒相器測量的信號相位差如圖4(b),信號相位受到磁場頻率的影響較大,在掃頻過程中會出現(xiàn)較大波動,但對于固定的磁場頻率相位的波動很小,大約在 0.001°.另外相位差并不等于磁場角度的變化值,這與第2 節(jié)結果一致.

圖4 幅頻及相位響應曲線測量(a)幅頻響應;(b)相位響應Fig.4.Amplitude-frequency and phase-frequency curve measurement(a)Amplitude-frequency curve;(b)phase-frequency curve.

4.2 系統(tǒng)傳輸延遲及弛豫時間測量

通過在X軸上進行磁場掃頻,測量得到對應最大響應的頻率點為84.5853kHz(如圖4),此時改變磁場方向,在Y軸上施加與X軸幅頻響應最大點相同頻率的振蕩場,對輸出信號的相位進行測量為? 44.06(1)°,根據(jù)(18)式,此時測量得到的相位就等于由于信號傳輸延遲產(chǎn)生的相位延遲,通過計算得到系統(tǒng)的傳輸延遲時間約為1.44(7)μs.為驗證測量結果的準確性,通過鎖相放大器輸出磁場信號,先經(jīng)過采集卡施加固定的時間延遲后再輸出到線圈上.對比不同的延遲時間測量輸出信號的相位變化,得到的實驗結果如圖5,相位與延遲時間呈線性相關,1 μs的延遲時間大約會導致信號產(chǎn)生30.5°的相位延遲.

圖5 系統(tǒng)延遲時間測量Fig.5.System delay time measurement.

利用半高寬的方法對弛豫時間進行測量,在X軸上施加約 50 nT的振蕩磁場,通過改變施加磁場的頻率得到響應曲線,同時以X軸最大響應頻率的相位作為參考相位零點,對輸出信號進行正交解調得到對應的吸收曲線如圖6 所示.

圖6 幅頻特性測量曲線Fig.6.Amplitude-frequency curve measurement.

利用吸收曲線的半高寬估計法得到的弛豫時間為35.188 μs,而利用響應曲線估計的弛豫時間為36.001 μs.兩種方法的測量結果存在小的差異,這是由于系統(tǒng)延遲時間導致不同頻率的信號解調相位不同,因此測量得到的吸收曲線出現(xiàn)形變導致的.

再利用測量相位差的方法測量弛豫時間,由于實驗上探測光軸的方向與磁場方向并不完全重合,這會導致相位的測量出現(xiàn)偏差.在實驗中多次的調節(jié)探測光軸是較為復雜的,通過調節(jié)磁場的方向同樣可以使兩者共軸.通過不斷改變磁場角度,分別測量不同角度下對應不同偏轉角的相位變化,計算其對應的弛豫時間,從而畫出弛豫時間估計值隨偏轉角變化的曲線如圖7,在探測光角度不為0時,高頻與低頻的估計結果出現(xiàn)不同,但是在兩軸方向相同的情況下,他們的估計結果趨于一致.在40 kHz,70 kHz,100 kHz下,測量得到的曲線在磁場角度φ=1.11°處相交,此時得到估計的弛豫時間為36.104 μs.

圖7 探測光偏移角對弛豫時間測量的影響Fig.7.The influence of optical offset Angle on relaxation time measurement.

通過實驗對比了幾種方法在不同大小的振蕩磁場下的測量結果如圖8 所示,在很小的磁場下利用響應曲線估計(圖中綠色方塊)和相位估計的結果相近,與利用吸收曲線估計的結果有一定的差異.隨著磁場強度的增大,利用響應曲線和吸收曲線的估計結果的誤差增大,而利用相位測量的結果較為穩(wěn)定.

圖8 不同方法測量結果隨磁場強度的變化Fig.8.Variation of measurement results with magnetic field intensity by different methods.

5 結論

本文研究了核磁共振陀螺儀中EPR 信號對振蕩磁場響應的不對稱性,這種不對稱性會導致測量短弛豫時間的堿金屬原子共振頻率和強度時出現(xiàn)偏差,并從理論和實驗上解釋并驗證了這種現(xiàn)象.利用不對稱性,文中提出了通過改變磁場方向測量信號相位變化,從而測量系統(tǒng)的延遲時間以及Rb原子橫向弛豫時間的方法,這一測量弛豫時間的方法在理論上具有更廣的測量范圍.同時對現(xiàn)有的利用幅頻響應曲線估計弛豫時間的方法進行理論分析,探究了其準確性和魯棒性,并給出了適用范圍更廣的經(jīng)過理論修正的估計方法.在實驗上通過施加特定的信號延遲,驗證了這種測量系統(tǒng)延遲時間方法的可靠性.此外,通過測量87Rb 原子的橫向弛豫時間,比較了利用響應曲線,吸收曲線以及相位差異這三種測量方法的區(qū)別.發(fā)現(xiàn)對于極短的弛豫時間,利用相位差異測量的方法具有更高的準確度,并且受到磁場變化以及系統(tǒng)傳輸延遲的影響更小.文中提到的測量方法有助于更精確的標定NMRG的各項參數(shù),建立更為完善的模型,對通過建立閉環(huán)反饋以提高陀螺儀性能的研究有重要意義[24].