常海斌

(渤海大學數(shù)學科學學院 121013)

李 健

(人民教育出版社課程教材研究所 100081)

1 引言

隨著數(shù)學課程改革的持續(xù)推進和創(chuàng)新教育的不斷發(fā)展，傳統(tǒng)的教學模式已經(jīng)難以滿足社會對于創(chuàng)新型人才的需求，數(shù)學教育急需回應(yīng)時代發(fā)展的需要．綜合與實踐活動作為培養(yǎng)學生綜合素質(zhì)的跨學科實踐性課程[1]，被視作發(fā)展學生探究能力、培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的有效途徑．我國一直高度重視學生創(chuàng)新能力和探究意識的培養(yǎng)，并將綜合與實踐活動作為義務(wù)教育階段數(shù)學課程的四大主線之一．然而，綜合與實踐活動在具體設(shè)置過程中面臨諸多困境，如課程內(nèi)容簡化、去知識化、預設(shè)活動方式單一等[2,3]，設(shè)置高質(zhì)量的綜合與實踐活動成為時下值得關(guān)注的一項重要課題．

教材作為貫徹課程標準和承載課程理念的物質(zhì)載體，是師生開展綜合與實踐活動的主要資源．日本是傳統(tǒng)的數(shù)學教育強國，在數(shù)學教材編寫方面擁有許多值得借鑒的經(jīng)驗．日本文部科學省于2017年頒布了《初中數(shù)學學習指導要領(lǐng)》，并于2021年4月1日開始實施．東京書籍株式會社依據(jù)《初中數(shù)學學習指導要領(lǐng)》編寫了《新數(shù)學》系列教材，教材中的“自由研究活動”是培養(yǎng)學生實踐創(chuàng)新能力的重要切入點，展現(xiàn)出初中數(shù)學綜合與實踐活動的日本樣態(tài)．本文將以日本2021版《新數(shù)學》教材中的“自由研究活動”為研究對象，并基于該活動的主題選擇、活動方式、研究報告三個方面展開分析，以期為我國初中數(shù)學課程中綜合與實踐活動的設(shè)置提供日本經(jīng)驗．

2 自由研究活動的主題選擇

在自由研究活動的主題選擇方面，《新數(shù)學》系列教材不僅重視一般性研究活動，而且關(guān)注跨學科研究活動．具體而言，在“縱向”的一般性研究活動與“橫向”的跨學科研究活動下，可以細分為七類主題，各主題下屬23個自由研究活動，見表1．

表1 自由研究活動的主題選擇與活動名稱

2.1 一般性研究活動

按照活動是否與現(xiàn)實生活相關(guān)聯(lián)，將一般性研究活動劃分為“數(shù)學內(nèi)部研究”和“數(shù)學與生活”兩類．

“數(shù)學內(nèi)部研究”主題下的活動主要指基于數(shù)學課程內(nèi)容自身，或?qū)?shù)學課程內(nèi)容進一步拓展和加深而形成的探究性活動；“數(shù)學與生活”主題下的活動則主要指與現(xiàn)實生活關(guān)聯(lián)密切但不涉及其他學科知識的探究性活動．

在日本初中課程標準規(guī)定的數(shù)與式、圖形、函數(shù)、數(shù)據(jù)的活用這四個知識板塊中[4]，《新數(shù)學》系列教材共設(shè)置了10個一般性研究活動，其中“數(shù)學內(nèi)部研究”主題下的研究活動8個，“數(shù)學與生活”主題下的研究活動2個．例如《如何移動圓周角》這一活動，該活動是在學生學習了圓周角定理后，要求學生利用GeoGebra進一步探究圓的性質(zhì)，屬于數(shù)學內(nèi)部研究活動；而函數(shù)版塊中的《瞬時速度》這一活動則以“坐過山車”為情境，引導學生利用二次函數(shù)解決生活實際問題，不涉及其他學科知識的運用，屬于“數(shù)學與生活”主題下的研究活動．

2.2 跨學科研究活動

按照教材中的劃分，所有跨學科研究活動被劃分到“數(shù)學與歷史”“數(shù)學與語言”“數(shù)學與科學技術(shù)”“數(shù)學與美術(shù)”“數(shù)學與保健體育”五個類別當中．

“數(shù)學與歷史”主題下的活動主要指數(shù)學史視角下的自由研究活動．法國數(shù)學家帕斯卡于1654年首次將二項式系數(shù)表稱為“算法三角形”，并對其性質(zhì)進行了系統(tǒng)研究[5]，該主題下的《帕斯卡三角形》這一活動就是以算法三角形為線索，進而引導學生從不同方向觀察算法三角形，使學生探究算法三角形的各行數(shù)列與(a+b)2,(a+b)3展開式中各項系數(shù)的關(guān)系．“數(shù)學與語言”主要指數(shù)學與其他語言結(jié)合而成的自由研究活動．例如《試著讀盲文》這一活動，學生需要經(jīng)歷歸納推理等活動，方可發(fā)現(xiàn)盲文的內(nèi)部特征和認知規(guī)律，展現(xiàn)出數(shù)學與其他語言間的聯(lián)系．“數(shù)學與科學技術(shù)”主要指數(shù)學與技術(shù)以及數(shù)學與物理、地理、化學等自然學科相結(jié)合而成的自由研究活動．例如在解決《思考汽車的死角》這一活動中的問題時，就需要運用物理學中的反射角知識，體現(xiàn)出數(shù)學與科學技術(shù)間的聯(lián)系．“數(shù)學與美術(shù)”主要指將藝術(shù)作品作為數(shù)學的應(yīng)用載體的自由研究活動．例如《挑戰(zhàn)埃舍爾》以荷蘭著名畫家埃舍爾的作品為研究對象，使學生體會“平移”“旋轉(zhuǎn)”“對稱”等變換形式在繪畫中的應(yīng)用．“數(shù)學與保健體育”主要指與體育及身體保健有關(guān)的自由研究活動．《高爾夫球得分的表示方法》就是該主題下的典型案例，該活動將高爾夫比賽中高于標準桿的成績記為正數(shù)、低于標準桿的成績記為負數(shù)，學生以此為線索，進行“有理數(shù)加減法”的探究．

整體而言，這五類跨學科研究活動既是對數(shù)學課程內(nèi)容自身的鞏固與加深，也是數(shù)學在其他學科的廣泛滲透應(yīng)用的深刻體現(xiàn)，對于學生綜合素質(zhì)的提升具有重要意義．

3 自由研究活動的活動方式

活動方式即完成自由研究活動所運用的方法和手段[6]．通過對《新數(shù)學》系列教材中的23個自由研究活動進行分析，對具有類似特征的活動進行歸類，可以將教材中預設(shè)的活動方式劃分為數(shù)學探究型、文獻查閱型、動手操作型三類．

3.1 數(shù)學探究型

數(shù)學探究型活動，主要指需先將研究活動抽象為數(shù)學問題(若無需數(shù)學抽象，則省略該步驟)，進而利用歸納、類比、聯(lián)想等數(shù)學思想方法就能直接完成的自由研究活動．例如《使用圖表思考》這一自由研究活動(圖1)：

圖1

思考下面的問題，嘗試創(chuàng)造出新的問題，并利用方程或圖表來思考和解決問題．

弟弟從家出發(fā)去了學校，4 min后，哥哥從家出發(fā)去追弟弟，假設(shè)弟弟的行走速度為50 m/min，哥哥的行走速度為70 m/min，那么哥哥從家走幾分鐘后能追上弟弟？

探究1 把原題中的“4 min后”改為“2 min后”，哥哥從家出發(fā)幾分鐘能追上弟弟呢？

探究2 把原題中的“4 min后”改為“7 min后”，哥哥要在距離家700 m的地方追上弟弟，那哥哥應(yīng)該以什么速度行走？

探究3 自己創(chuàng)造問題思考一下吧！

該自由研究活動以貼近學生現(xiàn)實生活的“上學”為線索創(chuàng)設(shè)情境，將“追擊相遇”問題以圖表的形式呈現(xiàn)．學生要想解決該問題，需先明確圖中兩條直線交點的意義，進而將目標問題轉(zhuǎn)化為求解兩直線的交點．在探究1中，哥哥出發(fā)的時間改變，但速度不變，學生需以(2,0)為起點畫出哥哥此時的行走示意圖，進而找到兩條直線此時的交點橫坐標；在探究2中，哥哥的出發(fā)時間更改為了7 min后，由于要求兩人在700 m處相遇，且弟弟到達700 m處的時間已知，故哥哥追趕弟弟的路程和時間都已知，速度顯然可求．該活動的探究主要涉及數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想方法的運用，屬于數(shù)學探究型活動．

3.2 文獻查閱型

3.3 動手操作型

動手操作型活動，主要指需要學生進行數(shù)學實驗操作(既包括物理世界的實踐操作，也包括虛擬世界的信息技術(shù)應(yīng)用)才能完成的自由研究活動．例如《四邊形的變身》這一自由研究活動(圖2)：

圖2

無論什么樣的四邊形，通過裁剪方式的改變都可以變成平行四邊形，怎么剪最好呢？

探究1 思考一下，怎樣剪四邊形才是最好的？另外，確認剪完后的四邊形能否重新組合成為平行四邊形？

探究2 試著想一下，像探究1那樣剪四邊形并重新組合后，變成平行四邊形的原因吧．

探究3 要變成長方形，應(yīng)如何剪四邊形呢？

這一活動是在學生已有的平行四邊形相關(guān)知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上設(shè)置的．學生要想完成該活動，需先動手嘗試剪裁四邊形，在不斷嘗試的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即對任意四邊形進行裁剪，得到四個小四邊形，以裁剪所形成的四個角為頂角將四個小四邊形進行重新組合就能構(gòu)造成一個平行四邊形．該活動既加深了學生對于平行四邊形知識的理解，又將知識應(yīng)用于具體的實踐操作中，是數(shù)學理論與實踐操作相結(jié)合的典型案例．

4 自由研究活動的研究報告

《新數(shù)學》系列教材在自由研究活動中設(shè)置了“撰寫研究報告”這一欄目，要求學生選擇感興趣的課題，嘗試把自己對于該課題的思考和探究過程以文字、圖表和公式等形式總結(jié)成報告，并規(guī)定了研究報告撰寫的基本要求和基本構(gòu)成要素．其中，基本要求包括：(1)簡要易懂地說明自己是如何思考的；(2)在研究報告中使用圖、表、公式等容易讓讀者理解的方式呈現(xiàn)．研究報告的基本構(gòu)成要素見表2．

表2 研究報告的基本構(gòu)成要素

由表2可知，“動機與目的”重在引導學生回憶發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，在整個自由研究活動中起引領(lǐng)作用；“方法”與“結(jié)果”是對活動所應(yīng)用的知識與方法的反思過程；而“考察”與“感想”則有助于培養(yǎng)學生的學習態(tài)度和情感等元認知體驗．通過撰寫研究報告，學生可以從多個角度對活動過程進行剖析和反思，這一過程對于學生元認知水平的提升具有重要意義．

5 啟示

通過對日本《新數(shù)學》系列教材中自由研究活動的主題選擇、活動方式、研究報告的歸納與分析，從中總結(jié)出綜合與實踐活動設(shè)置的日本經(jīng)驗．基于此，為我國綜合與實踐活動的設(shè)置提出以下三條建議．

5.1 同時關(guān)注“縱向”與“橫向”類研究選題，開拓學生數(shù)學視野

通過綜合與實踐活動的開展拓寬學生的數(shù)學視野，引導學生多層次、多角度地認識數(shù)學，這是綜合與實踐活動的應(yīng)有之義．選題是設(shè)置綜合與實踐活動的起始環(huán)節(jié)，主題類型的豐富性能夠開拓學生的數(shù)學視野．在選題過程中，教師不僅可關(guān)注一般性研究活動，還可設(shè)置與歷史、語言、美術(shù)、保健體育、科學技術(shù)等學科相融合的跨學科研究活動．一般性研究活動有利于促進學生數(shù)學視野的“縱向”發(fā)展，是解決活動內(nèi)容去知識化和表層化實踐的有效途徑．而跨學科研究活動的設(shè)置則體現(xiàn)了數(shù)學的廣泛應(yīng)用性，重在促進學生數(shù)學視野的“橫向”延伸．這樣的活動主題設(shè)置對于學生體會數(shù)學應(yīng)用價值、開拓數(shù)學視野具有重要意義．

5.2 重視探究、寫作、動手等多元化活動方式，促進學生的高階思維發(fā)展

高階思維是一種綜合性思維，常發(fā)生在元認知、問題解決、應(yīng)用與創(chuàng)造性活動中[7]，包括批判性思維、創(chuàng)造性思維、問題解決能力和自我監(jiān)控能力等．活動方式是學生思維的外部表現(xiàn)，多元化的活動方式對于學生的高階思維發(fā)展具有重要意義．教師在預設(shè)綜合與實踐活動的活動方式時，可以參考自由研究活動的活動方式進行設(shè)置．首先，數(shù)學探究型活動的設(shè)置應(yīng)對學生的數(shù)學抽象能力提出一定要求，還應(yīng)在活動的探究過程中發(fā)展學生的邏輯推理能力．在設(shè)置文獻查閱型活動時，教師要著重培養(yǎng)學生收集、整理、歸納、分析信息的能力，要引導學生針對目標問題進行文獻的整理與分析，并將認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識經(jīng)驗進行遷移與整合．在設(shè)置動手操作型活動時，應(yīng)注重學生親身參與動手操作，活動要具有一定的開放性，給學生更多的主動權(quán)，在學生的主動探索中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維．總之，在綜合與實踐活動的教學過程中，教師要有意識地預設(shè)多元化的活動方式供學生選擇，這將有助于學生高階思維的發(fā)展．

5.3 注重活動后研究報告撰寫任務(wù)的設(shè)置，提高學生元認知水平

研究表明，對學生的反思能力進行針對性的培訓后，學生的數(shù)學元認知水平有顯著提高[8]，而撰寫研究報告就是開展反思性學習的有效手段．自由研究活動規(guī)定了撰寫研究報告的基本范式，由“動機與目的”“方法”“結(jié)果”“考察”和“感想”五個基本要素組成．在綜合與實踐活動完成后，教師可以基于綜合與實踐活動的具體特征，參考日本教材中的研究報告撰寫范式，引導學生對活動的發(fā)現(xiàn)、提出、研究方法、研究結(jié)果以及活動所運用的知識等進行反思與評價．學生依據(jù)該范式對活動過程進行剖析，將自身的探究過程顯性化，這可以使學生有意識地調(diào)節(jié)其認知加工過程，在對數(shù)學活動的不斷反思中提高自身的數(shù)學元認知水平．