翁倩茹 盧楚杰 潘思辰 謝恩德

1(成都工業(yè)學(xué)院智能制造學(xué)院 四川 成都 611730)2(廣東工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 廣東 廣州 510006)

0 引 言

左手介質(zhì)是一種介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ均為負(fù)數(shù)的新型人工介質(zhì)，在這種介質(zhì)中電場(E)、磁場(H)和坡印亭矢量(S)三者的方向呈現(xiàn)左手螺旋方向[1]。Pendry等[2]結(jié)合周期性排列的開口諧振環(huán)(Split ring resonators,SRRs)和金屬桿，首次物理實(shí)現(xiàn)了具有負(fù)折射的左手介質(zhì)，自此之后，左手介質(zhì)的理論和應(yīng)用研究呈現(xiàn)爆發(fā)式的增長。其中一個重要的研究方向，就是用左手介質(zhì)代替?zhèn)鹘y(tǒng)介質(zhì)應(yīng)用于各種微波毫米波器件。近年的研究發(fā)現(xiàn)，在波導(dǎo)中填充非均勻左手介質(zhì)會表現(xiàn)出奇異的傳播特性。例如在填充左手介質(zhì)的矩形波導(dǎo)和圓波導(dǎo)中，都發(fā)現(xiàn)了低于截止頻率傳播的后向波傳播特性[3-7]。而這些奇異的電磁特性在小型化波導(dǎo)、后向波天線等毫米波集成電路器件中具有非常高的應(yīng)用價值。

近年來，具有連續(xù)變化折射率的非均勻左手介質(zhì)(又稱為梯度折射率左手介質(zhì))受到研究人員的廣泛關(guān)注。這種新型人工介質(zhì)可以改變電磁波的傳播方向和傳播相位，在變換光學(xué)、調(diào)整電磁波束和電磁波隱身結(jié)構(gòu)設(shè)計方面具有廣泛應(yīng)用[8-10]。對于波導(dǎo)中左手介質(zhì)非均勻性的精確求解，是各種毫米波和光波集成電路元器件設(shè)計和最優(yōu)化的基礎(chǔ)。

除了一些特殊情況(例如均勻左手介質(zhì)加載或內(nèi)襯波導(dǎo)[3-4,6])，大多數(shù)非均勻左手介質(zhì)填充波導(dǎo)結(jié)構(gòu)不能求解析解。因此需要利用數(shù)值方法對于波導(dǎo)的特征值進(jìn)行近似計算，常用的數(shù)值計算方法包括有限元法、時域有限差分法、矩量法和變分法等[11-13]。

然而，對于有限元法和時域有限差分法等方法，需要對研究區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格的劃分，其未知數(shù)分布在整個研究區(qū)域中。并且非均勻介質(zhì)區(qū)域需要高質(zhì)量的網(wǎng)格劃分，其求解精度與網(wǎng)格劃分的質(zhì)量密切相關(guān)，因而這些基于網(wǎng)格劃分的數(shù)值方法占用大量的計算、存儲和時間資源。

近幾年，基于徑向基函數(shù)(Radial basis functions,RBFs)的無網(wǎng)格方法受到了學(xué)界的廣泛關(guān)注[14-15],這項(xiàng)數(shù)值方法已經(jīng)應(yīng)用于各種電磁學(xué)問題如邊界問題[16]、反向散射問題[17]、波導(dǎo)分析[18]。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要對研究區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格生成，而是采用空間節(jié)點(diǎn)離散處理的方法。這種方法對于分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)，例如非均勻材料和不連續(xù)結(jié)構(gòu)等，具有非常好的效果,因此對于非均勻左手介質(zhì)結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析具有天然的優(yōu)勢。

利用基于RBFs的無網(wǎng)格法分析非均勻左手介質(zhì)時有兩個問題需要注意。(1) RBFs形狀參數(shù)的選取，采用唯一的形狀參數(shù)，會導(dǎo)致特征值的求解精度極其依賴于配置點(diǎn)的位置，進(jìn)而造成特征值精度的降低。因此本文采用具有特定統(tǒng)計分布的高斯型隨機(jī)RBFs。(2) 采用點(diǎn)匹配技術(shù)分析非均勻介質(zhì)時，會導(dǎo)致一個非對稱的特征問題，造成特征方程求解困難。因此本文采用變分法和無網(wǎng)格法結(jié)合的方法得到對稱的特征方程。

本文首次將基于RBFs的無網(wǎng)格法應(yīng)用于非均勻左手介質(zhì)填充波導(dǎo)特征值的計算中，并與解析法求得的精確結(jié)果和利用基于有限元法的電磁分析軟件HFSS得到的仿真結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文提出的無網(wǎng)格法在分析非均勻波導(dǎo)結(jié)構(gòu)時的精確性和高效性。

1 數(shù)值方法及算法實(shí)現(xiàn)

1.1 場方程和基于徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法

非均勻左手介質(zhì)填充矩形波導(dǎo)的橫截面面積A=a×b,Γ是矩形波導(dǎo)橫截面的邊界，該結(jié)構(gòu)磁場H(x,y,z)的麥克斯韋方程組為：

(1)

(4)

式中：ωpe和ωpm是等離子體頻率；Γe和Γm是阻尼系數(shù)；h(x)和g(x)是非均勻介質(zhì)的剖面函數(shù)，描述非均勻介質(zhì)的非均勻特性。

RBFs有各種類型，例如，高斯型、復(fù)二次函數(shù)型和反二次方程型，本方法采用文獻(xiàn)[20]中定義的高斯型RBFs：

1.2 算法實(shí)現(xiàn)

利用基于RBFs的變分無網(wǎng)格法計算非均勻左手介質(zhì)波導(dǎo)傳播特性的算法流程如圖1所示。本文算法由MATLAB編程實(shí)現(xiàn)。

圖1 基于RBFs無網(wǎng)格法的算法流程

步驟(1) 輸入結(jié)構(gòu)參數(shù)，包括波導(dǎo)的尺寸、波導(dǎo)中各非均勻區(qū)域的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，及各區(qū)域的厚度或面積。

步驟(2) 輸入無網(wǎng)格法的相關(guān)參數(shù)，包括CPs的定義、形狀參數(shù)的選取和RBFs函數(shù)的輸入，根據(jù)以上參數(shù)計算得到的磁場分量Hτ(x,y)。

步驟(3)-步驟(5) 將Hτ(x,y)代入式(6)、式(4)及式(5)的矩陣表示，如式(9)-式(13)所示。

Da=0

(10)

Ba=0

(11)

其中：

C=C0+βC1+β2C2

(12)

D=D0+βD1

(13)

步驟(6)β-循環(huán)開始，計算β相關(guān)的矩陣C、D。之后，將式(9)-式(13)組合成特征方程，通過求解特征方程計算傳播常數(shù)β，Q為β值的計算次數(shù)。β-循環(huán)停止即表示所有的β值已經(jīng)求解完畢，對應(yīng)的傳播曲線繪制完成。

2 數(shù)值結(jié)果

本節(jié)利用基于徑向基函數(shù)的變分無網(wǎng)格法計算了三種典型的非均勻左手介質(zhì)填充矩形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的傳播特性。這三種結(jié)構(gòu)在濾波器、耦合器、超材料特性的測量等方面都具有廣泛的應(yīng)用，而且這三種結(jié)構(gòu)是規(guī)則填充的情況，因此可以求得解析解。本文的計算結(jié)果分別與解析解和HFSS的仿真結(jié)果進(jìn)行對比，通過對比可以得到以下兩點(diǎn)結(jié)論：

(1) 解析法得到的結(jié)果是特征值的精確解，因此與本文得到數(shù)值計算結(jié)果對比可以對無網(wǎng)格法的準(zhǔn)確性和可行性進(jìn)行分析。

(2) HFSS是目前最常用的基于有限元法的電磁數(shù)值分析工具，在相同精度要求下，對比無網(wǎng)格法和HFSS分析所需的時間，可以對無網(wǎng)格方法的效率進(jìn)行分析。

這些結(jié)構(gòu)作為微波電路的關(guān)鍵器件使用時，主要工作在主模式的狀態(tài)下，而非均勻矩形波導(dǎo)的主模式是縱剖面電模式(longitudinal-section electric mode,LSE mode),因此本文主要對非均勻波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的LSEn0模式進(jìn)行分析。

2.1 單層左手介質(zhì)加載矩形波導(dǎo)

本文研究的第一個例子如圖2所示，加載的左手介質(zhì)將矩形波導(dǎo)分割為兩個區(qū)域，區(qū)域I為真空區(qū)域，其中：εr1=1，μr1=1；區(qū)域II中左手介質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和厚度分別為εr2=-4，μr2=-1及d2/d1=1/3。LSEn0模式的傳播特性曲線如圖2所示，其中：黑色實(shí)線代表解析法的計算結(jié)果；黑色方塊代表無網(wǎng)格法的計算結(jié)果；黑色圓圈代表HFSS的仿真結(jié)果。該結(jié)構(gòu)LSEn0模式的解析式為：

k2tan(k1d1)=-k1tan(k2d2)

(14)

圖2 單層左手介質(zhì)加載矩形波導(dǎo)的傳播特性曲線

利用式(14)可以求得該結(jié)構(gòu)傳播特性曲線的精確解。對于無網(wǎng)格法，CPs的數(shù)量為N=100，其中ICPs的數(shù)量為70，BCPs的數(shù)量為30，計算96個特征值的代碼運(yùn)行時間為6 s。作為對比，利用相同的工作站，HFSS仿真耗時接近3 min(180 s)。因此，相比于HFSS的分析時間，無網(wǎng)格法的數(shù)值分析效率非常高。圖2中，無網(wǎng)格法的數(shù)值解、解析法的精確解和HFSS的仿真結(jié)果具有非常好的一致性，因此說明無網(wǎng)格法的準(zhǔn)確性。

通過圖2可以觀察到，一些頻段的群速度為負(fù)值(?k0/?β<0)，這與傳統(tǒng)波導(dǎo)中正群速度(?k0/?β>0)的傳播特性不同。在文獻(xiàn)[4]中，將這種負(fù)群速度的傳播特性稱為“左手傳播特性”。研究表明負(fù)群速度可能產(chǎn)生后向波傳播特性，因此如果在圖2所示的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)上適當(dāng)開槽(slot)可以用作后向波輻射天線。

2.2 兩層左手介質(zhì)對稱加載矩形波導(dǎo)

本文研究的第二個例子為如圖3所示的兩層左手介質(zhì)對稱加載矩形波導(dǎo)，其中區(qū)域I和區(qū)域III為左手介質(zhì)(εr1=εr3=-4，μr1=μr3=-1，d1=d3=0.15a)，區(qū)域II為真空區(qū)域(εr2=1，μr2=1)。LSEn0模式的傳播特性曲線如圖3所示，其中:黑色實(shí)線代表解析法的計算結(jié)果；黑色方塊代表無網(wǎng)格法的計算結(jié)果；黑色圓圈代表HFSS的仿真結(jié)果。該三層矩形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的LSEn0模式的解析式為：

k2k3tank1d1+k1k3tank2d2+k1k2tank3d3-

利用式(15)可以求得傳播特性曲線的精確解。對于無網(wǎng)格法，CPs數(shù)量為N=326，其中ICPs的數(shù)量為282,BCPs的數(shù)量為44。計算87個特征值的代碼運(yùn)行時間為8 s。作為對比，利用相同的工作站分析同樣的三層波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，HFSS仿真時長接近5 min(300 s)。圖3中，無網(wǎng)格法的數(shù)值解、解析法的精確解和HFSS的仿真結(jié)果具有非常好的一致性，說明無網(wǎng)格法分析該三層結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確性。

圖3 兩層相同的左手介質(zhì)對稱加載矩形波導(dǎo)的傳播特性曲線

2.3 單層左手介質(zhì)中心填充矩形波導(dǎo)

本文研究的第三個例子是對如圖4所示的單層左手介質(zhì)中心填充矩形波導(dǎo)進(jìn)行分析。填充的左手介質(zhì)將矩形波導(dǎo)分割為3個區(qū)域，其中區(qū)域II為左手介質(zhì)(εr2=-4，μr2=-1，d2=0.4a)，區(qū)域I和區(qū)域III為真空區(qū)域(εr1=εr3=1，μr1=μr3=1)。LSEn0模式的傳播特性曲線如圖4所示，其中：黑色實(shí)線代表解析法的計算結(jié)果；黑色方塊代表無網(wǎng)格法的計算結(jié)果；黑色圓圈代表HFSS的仿真結(jié)果。其中變分無網(wǎng)格法的CPs設(shè)定與2.2節(jié)中的設(shè)定相同，即CPs數(shù)量為N=326，ICPs的數(shù)量為282,BCPs的數(shù)量為44，而三層介質(zhì)填充波導(dǎo)的特征方程依然為式(15)。計算79個特征值的代碼運(yùn)行時間為6.5 s。作為對比，利用相同的工作站分析同樣的中心填充波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，HFSS仿真時長接近5 min(300 s)。圖4中，無網(wǎng)格法的數(shù)值解、解析法的精確解和HFSS的仿真結(jié)果具有非常好的一致性。在這種結(jié)構(gòu)中在某些頻段中可以觀察到負(fù)群速度的“左手傳播特性”。

圖4 一層左手介質(zhì)中心填充矩形波導(dǎo)的傳播特性曲線

3 結(jié) 語

本文將基于徑向基函數(shù)的變分無網(wǎng)格方法推廣到非均勻左手介質(zhì)填充波導(dǎo)的數(shù)值計算中，這種方法的優(yōu)勢在于無須對研究區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格生成，大大節(jié)省了計算和存儲資源。特別是在包含非均勻介質(zhì)、尖角及突變的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析中，無須對復(fù)雜區(qū)域進(jìn)行額外的高質(zhì)量高密度的網(wǎng)格劃分。因此該方法尤其適用于非均勻介質(zhì)和不連續(xù)結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析。本文詳細(xì)地分析了三種具有代表性的非均勻左手介質(zhì)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，并且將無網(wǎng)格法得到的結(jié)果分別與精確的解析解和有限元法的仿真結(jié)果進(jìn)行對比，說明無網(wǎng)格法在分析非均勻左手介質(zhì)填充波導(dǎo)時具有精確度高和計算時間短的優(yōu)點(diǎn)。分析結(jié)果得出，部分填充左手介質(zhì)的矩形波導(dǎo)在某些頻段支持具有負(fù)群速度的后向波傳播模式(左手傳播模式)，為具有后向波輻射天線的設(shè)計提供了一種新結(jié)構(gòu)。

在之后的研究中，計劃利用無網(wǎng)格法分析更加復(fù)雜的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，例如近年提出的基片集成波導(dǎo)結(jié)構(gòu)(SIW)和懸置微帶線結(jié)構(gòu)等。此外，也計劃利用該方法分析更加多樣的新型介質(zhì)。本文研究的左手介質(zhì)是一種新型的人工電磁介質(zhì)，而近年來各種各樣的人工電磁介質(zhì)層出不窮，例如具有漸變折射率的人工電磁媒質(zhì)、具有各種特性的光子晶體等，這些介質(zhì)及含有這些介質(zhì)波導(dǎo)的分析同樣需要準(zhǔn)確的數(shù)值計算方法。因此，本文提出的無網(wǎng)格法為復(fù)雜波導(dǎo)和新型介質(zhì)的數(shù)值分析提供一種高效而精確的方法。