尤澤華，肖俊華

(1. 燕山大學(xué)工程力學(xué)系，秦皇島 066004；2. 燕山大學(xué)河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點實驗室，秦皇島 066004)

負(fù)泊松比材料由周期排列的胞元構(gòu)成，受到?jīng)_擊時各胞元向載荷沖擊點集中，從而使材料的抗壓能力得到提升，材料具有高抗壓性能[1?2]。傳統(tǒng)材料(非負(fù)泊松比材料)受到縱向沖擊時，材料橫向發(fā)生膨脹，材料的抗壓性能較低。同時，負(fù)泊松比多胞材料含有許多空隙，在受到外載時材料容易產(chǎn)生大的變形，從而具有較高的能量吸收效果[3?4]。負(fù)泊松比多胞材料除了具有良好的力學(xué)性能，胞元之間的空隙使得其具有較低的結(jié)構(gòu)密度。負(fù)泊松比材料的優(yōu)良力學(xué)性能使其廣泛應(yīng)用于實際工程中，例如：利用其高剪切模量可以作為汽車工業(yè)中的彈性座椅和建筑工程中的路面材料等[5]；利用其高抗壓性能可以制作飛機(jī)機(jī)翼的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料、金屬泡沫、飛機(jī)渦輪噴氣發(fā)動機(jī)的葉片等[6]；利用其負(fù)泊松比特點可以作為傳感器[7]和過濾器[8]的制作材料；利用其輕質(zhì)特點可以制作新型的作戰(zhàn)服、人體防護(hù)裝備、防彈衣等[9]。

負(fù)泊松比材料的胞元具有內(nèi)凹多邊形幾何結(jié)構(gòu)，主要有蜂窩六邊形內(nèi)凹結(jié)構(gòu)、內(nèi)凹三角形結(jié)構(gòu)、星形結(jié)構(gòu)等，之后又?jǐn)U展出旋轉(zhuǎn)剛體結(jié)構(gòu)、手性結(jié)構(gòu)、穿孔板結(jié)構(gòu)、結(jié)點-纖維結(jié)構(gòu)[1]。GIBSON和ASBBY[10]最早設(shè)計出以內(nèi)凹六邊形為胞元周期結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比蜂窩材料，該材料受拉時通過肋骨位移變形獲得與受力垂直方向上的膨脹，其泊松比受胞元的內(nèi)凹角度、肋骨尺寸等因素影響，當(dāng)胞元內(nèi)凹角度不夠大時，材料不具有負(fù)泊松比特性。SMITH 等[11]通過觀察負(fù)泊松比泡沫材料在受力過程中的胞元變形，仿照軸對稱胞元的肋骨結(jié)構(gòu)去掉一定比例肋骨，建立了一種新型的負(fù)泊松比泡沫材料。該模型稱為缺失肋模型，它不改變胞元內(nèi)部的肋角，而將肋骨選擇性去除。與原模型相比這種材料的負(fù)泊松比效應(yīng)不再借助于凹角的胞元變形，而是胞元在受力之后產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)從而產(chǎn)生負(fù)泊松比效應(yīng)。HOU 等[12]通過將內(nèi)凹三角形孔隙隨機(jī)嵌于平面材料中得到負(fù)泊松比特性，討論了隨機(jī)夾雜度與泊松比之間的關(guān)系。

常見的二維負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)有多邊形內(nèi)凹結(jié)構(gòu)和手性結(jié)構(gòu)，其中多邊形內(nèi)凹結(jié)構(gòu)主要有三角形內(nèi)凹結(jié)構(gòu)、星形內(nèi)凹結(jié)構(gòu)和多邊形內(nèi)凹結(jié)構(gòu)等[13?14]。蔣偉等[15]對傳統(tǒng)的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行再設(shè)計，提出一種新型的環(huán)形結(jié)構(gòu)，隨后沈建邦和肖俊華[16]在該結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上提出可變弧角弧邊負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)。王彥斌和劉海濤[17]提出一種可變曲率內(nèi)凹曲邊負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)，并分析了結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系與動力學(xué)沖擊下的力學(xué)性能。TAYLOR 等[18]研究了正交橢圓孔隙材料的泊松比與孔隙長徑的關(guān)系。WANG 等[19]通過在基中制作特定排列的類花生型孔隙提出一種新型的負(fù)泊松比材料。吉美娟等[20]通過建立紙蜂窩結(jié)構(gòu)單面沖擊和雙面沖擊模型，探究了結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)、變形模式和緩沖吸能特性。馬芳武等[21]應(yīng)用LS-DYNA模擬了不同沖擊傾角和沖擊速度下內(nèi)凹三角形負(fù)泊松比材料的面內(nèi)變形模態(tài)和動力響應(yīng)。郭春霞等[22]對正弦負(fù)泊松比蜂窩梁進(jìn)行了平面三點彎曲實驗研究，分析了相同質(zhì)量時傳統(tǒng)蜂窩梁和負(fù)泊松比蜂窩梁在面內(nèi)的彎曲破壞模式和吸能效果。張權(quán)等[23]數(shù)值研究了面內(nèi)沖擊載荷作用時星形梯度負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)，探討了沖擊速度、厚度梯度、角度梯度對結(jié)構(gòu)變形模式、動態(tài)響應(yīng)、能量吸收特性的影響。王梁和劉海濤[24]將星型和內(nèi)凹六邊形結(jié)合設(shè)計出一種新型內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)，計算了結(jié)構(gòu)的相對密度并數(shù)值模擬了軸向拉伸變形。魏路路等[25]結(jié)合負(fù)泊松比內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)和負(fù)泊松比手性結(jié)構(gòu)，設(shè)計出一種內(nèi)凹-反手性結(jié)構(gòu)，研究了結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能。嚴(yán)效男等[26]分析了熱塑性聚氨酯彈性體蜂窩結(jié)構(gòu)的壓縮過程，探討了胞元凹角、寬度和壁厚對結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和能量吸收特性的影響。姚永永等[27]數(shù)值研究了傳統(tǒng)內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)的雙向沖擊行為，探討了不同沖擊速度時結(jié)構(gòu)變形模式、動力響應(yīng)曲線和能量吸收特性。劉海濤等[28]將圓弧桿設(shè)計于傳統(tǒng)星形結(jié)構(gòu)，利用能量法和數(shù)值模擬討論了結(jié)構(gòu)參數(shù)與等效泊松比和等效彈性模量之間的關(guān)系。

目前有關(guān)胞元為弧邊結(jié)構(gòu)負(fù)泊松比蜂窩材料的動力學(xué)性能研究非常有限，本文研究一種新型的二維弧形曲邊內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)，其胞元結(jié)構(gòu)由全弧邊組成，弧邊角度可以改變從而可以控制材料的整體力學(xué)性能。在前期靜力學(xué)性能分析[29]的基礎(chǔ)上，利用數(shù)值方法研究了不同速度沖擊時結(jié)構(gòu)的面內(nèi)變形失效模式，獲得了結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)曲線，討論了沖擊速度、胞元弧邊內(nèi)角、壓縮應(yīng)變對結(jié)構(gòu)能量吸收效率和平臺應(yīng)力的影響規(guī)律。該研究豐富了二維負(fù)泊松泊松比蜂窩材料的動力學(xué)分析，為該類結(jié)構(gòu)的曲邊胞元設(shè)計和表征提供了參考。

1 胞元與相對密度

圖1 為可變弧角內(nèi)凹弧邊負(fù)泊松比蜂窩材料胞元示意圖，其中：θ 為弧邊內(nèi)角；r為弧線半徑；m為連接桿長度；h為弧線半弦長；桿件橫截面為矩形；t為肋板厚度；d為面外厚度。蜂窩結(jié)構(gòu)由胞元陣列構(gòu)成。

相對密度是蜂窩結(jié)構(gòu)的一項重要物理參數(shù)，定義為胞元的等效密度與制備材料密度的比值[30]：

式中： ρre為材料的相對密度； ρc為材料的等效密度； ρs為制備材料(本文取為鋁合金)的密度。結(jié)構(gòu)中連接桿只起連接作用，圖1 胞元的相對密度可以通過圖2 計算。

圖1 弧邊內(nèi)凹蜂窩胞元[29]Fig. 1 Concave honeycomb cell with arc side[29]

圖2 相對密度計算示意圖Fig. 2 Schematic diagram of relative density calculation

等效密度為制備材料所占胞元空間的比值與制備材料密度的乘積[30]：

式中：S1為胞元的二維面積(圖2 中方框面積)；S2為材料幾何形狀在平面中的面積。將式(2)代入式(1)可得：

對于薄壁胞元，肋板厚度t比桿長和弧長小很多，S1和S2可按下列公式進(jìn)行計算：

由圖2 可以看出，當(dāng)胞元厚度和弧邊角度分別增加時，S2隨之增加，而S1不變，材料的相對密度隨著厚度和胞元弧邊角度增大而增大。當(dāng)材料受壓縮沖擊時，弧形肋邊受到擠壓導(dǎo)致曲率增大，胞元的弧形肋邊弦長變小、弧度增加，兩側(cè)距離變小，結(jié)構(gòu)整體向內(nèi)部壓縮后，其密實化程度逐漸提升，相對密度隨之增加。

2 構(gòu)建結(jié)構(gòu)

利用二維單胞(圖1)構(gòu)建內(nèi)凹蜂窩胞元結(jié)構(gòu)模型(圖3)，幾何參數(shù)如下：胞元中心到胞元端部的高為30 mm，胞元之間連接桿伸長度為15 mm，弧邊的內(nèi)角分別取30°、45°、60°、75°和90°，整體結(jié)構(gòu)模型由胞元按照19×19 方式陣列構(gòu)成。

圖3 沖擊動力學(xué)結(jié)構(gòu)模型Fig. 3 Structural model of impact dynamics

利用ABAQUS 研究面內(nèi)沖擊動力學(xué)性能。材料截面為長方形，截面高度為10 mm，厚度為1 mm，選用鋁合金材料，具體參數(shù)見表1。構(gòu)件置于兩個板之間，兩個板的屬性為解析剛性板，使其在沖擊過程中不發(fā)生變形并提高計算效率，頂部板和底部板分別與材料設(shè)置為綁定接觸，接觸面無摩擦。

表1 材料屬性[31]Table 1 Material properties[31]

施加載荷和邊界條件如圖4 所示，頂端板沖擊速度分別為7 m/s、21 m/s、35 m/s 和70 m/s，速度向下對結(jié)構(gòu)進(jìn)行沖擊，底部為固定板，構(gòu)件整體限制其Z方向(垂直于平面方向)位移。單元選擇8 結(jié)點六面體單元，分析方式選擇顯式動力學(xué)分析，有限元分析時將頂部剛性板和底部剛性板分別與材料綁定，以避免在沖擊過程中發(fā)生剛性板與材料之間發(fā)生穿透現(xiàn)象。

圖4 邊界條件和施加載荷示意圖Fig. 4 Schematic diagram of boundary conditions and load conditions

3 沖擊變形失效模式

圖5 和圖6 分別給出了沖擊過程中弧角為30°和90°結(jié)構(gòu)的局部變形模式。已有研究[29]表明：30°弧角胞元為正泊松比胞元，Y軸方向受到?jīng)_擊時，胞元由內(nèi)凹結(jié)構(gòu)逐漸膨脹為外凸結(jié)構(gòu)；而90°弧角胞元為負(fù)泊松比胞元，在沖擊過程中逐漸向中心壓縮。在變形帶與頂板之間明顯有一條弧形空隙帶，結(jié)構(gòu)中間的胞元發(fā)生扭轉(zhuǎn)和位移，胞元發(fā)生扭曲變形，呈現(xiàn)出類星形的羅疊排列。比較圖5 和圖6 可以發(fā)現(xiàn)，在相同速度沖擊下，胞元弧角較大的結(jié)構(gòu)在沖擊過程中密實化區(qū)域較薄，但是整體的變形范圍較大。

圖5 30°弧角胞元結(jié)構(gòu)沖擊變形模式Fig. 5 Impact deformation mode of 30 degree arc angle cellular structure

圖6 90°弧角胞元結(jié)構(gòu)沖擊變形模式Fig. 6 Impact deformation mode of 90 degree arc angle cellular structure

圖7 為弧角90°胞元在沖擊過程中的變形模式。在變形初期胞元向幾何中心壓縮，材料的相對密度隨之減小；隨著變形增加，胞元上下連接桿錯位，胞元受到扭矩的影響發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，對角方向上的弧線夾角在扭轉(zhuǎn)過程中相互貼合；隨著變形繼續(xù)增加，胞元在壓力作用下各邊貼合直至壓縮成為片狀。

圖7 胞元沖擊變形模式Fig. 7 Deformation mode of the cell under impact

圖8 分別為胞元弧形肋內(nèi)角為30°和90°時整體結(jié)構(gòu)在21 m/s 速度沖擊下的變形模式。從圖8中變形來看，當(dāng)胞元弧角為30°時結(jié)構(gòu)初始變形區(qū)域主要集中在上部，呈現(xiàn)V 字型；隨著應(yīng)變的增加，材料的中部開始進(jìn)入密實化，上方V 字型變形區(qū)域開始扁平化，變形區(qū)域左右兩側(cè)位移有明顯的向外增加的趨勢，這與30°胞元結(jié)構(gòu)的正泊松比力學(xué)性能相符合；在沖擊過程后期，結(jié)構(gòu)的變形區(qū)域開始壓縮，變形主要集中在中間區(qū)域，上方與下方形成密實化的長方形區(qū)域帶。當(dāng)胞元弧角為90°時，在沖擊過程初期，變形區(qū)域與30°弧角胞元結(jié)構(gòu)大致相似，但是90°胞元結(jié)構(gòu)的上方變形區(qū)域較大，且下方也有微小變形，材料中間區(qū)域出現(xiàn)向內(nèi)位移趨勢，這與90°胞元結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比力學(xué)性能相符；隨著變形的增加，結(jié)構(gòu)上方區(qū)域變形保持不變，結(jié)構(gòu)下方變形程度增加，變形方式與上方相似，中部保持向內(nèi)擠壓狀態(tài)，整體呈現(xiàn)X 型。相對于30°弧角胞元結(jié)構(gòu)來看，90°弧角胞元結(jié)構(gòu)在沖擊過程中的變形區(qū)域更大，由其負(fù)泊松比效應(yīng)所表現(xiàn)出來的變形模式非常顯著；對比30°弧角胞元結(jié)構(gòu)，90°弧角胞元結(jié)構(gòu)在整個沖擊過程中變形更加平均，結(jié)構(gòu)的密實化程度由于材料向內(nèi)壓縮也相對較高，因此，在沖擊過程中的能量吸收效率比30°弧角胞元結(jié)構(gòu)更好。

圖8 結(jié)構(gòu)的沖擊變形模式Fig. 8 Impact deformation modes of the structure

4 動力響應(yīng)曲線

圖9 為不同弧邊肋角時負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)受不同速度面內(nèi)沖擊時的應(yīng)力-應(yīng)變動力響應(yīng)曲線，其中橫坐標(biāo)為名義應(yīng)變，縱坐標(biāo)為名義應(yīng)力。

由圖9 可以看出，結(jié)構(gòu)在初始受沖擊階段名義應(yīng)力快速增大，隨后微弱降低并在某一數(shù)值范圍內(nèi)波動；最后結(jié)構(gòu)進(jìn)入密實化階段，名義應(yīng)力繼續(xù)增加。沖擊過程應(yīng)力應(yīng)變曲線可分為三個階段：初始階段、穩(wěn)定階段和鎖定階段。初始階段的應(yīng)力稱為初始應(yīng)力，穩(wěn)定階段的應(yīng)力稱為平臺應(yīng)力，鎖定階段的應(yīng)變稱為鎖定應(yīng)變。在初始階段，結(jié)構(gòu)中的大部分胞元處于向幾何中心壓縮的狀態(tài)；之后結(jié)構(gòu)進(jìn)入穩(wěn)定階段，胞元在壓縮與扭轉(zhuǎn)雙重作用下發(fā)生變形，成為類星形結(jié)構(gòu)，此時結(jié)構(gòu)中大部分胞元變形類似于圖7(b)；最后結(jié)構(gòu)進(jìn)入鎖定階段，此時胞元接近壓實狀態(tài)，即處于圖7(d)形變情況。從動力響應(yīng)曲線可以看出，不同沖擊速度下、相同應(yīng)變情況時，結(jié)構(gòu)中的名義應(yīng)力隨著沖擊速度的增加而增大。弧邊內(nèi)角不同時，由于結(jié)構(gòu)中胞元幾何參數(shù)的變化，相對密度隨弧邊肋內(nèi)角的增加而增大，結(jié)構(gòu)受到?jīng)_擊后，在產(chǎn)生相同的應(yīng)變時其密實化程度相對于弧邊內(nèi)角較小的結(jié)構(gòu)增大，因此結(jié)構(gòu)進(jìn)入密實化階段時所對應(yīng)的鎖定應(yīng)變較小，即：胞元的弧邊角度越大，密實化程度越高，結(jié)構(gòu)進(jìn)入密實化時間越早，結(jié)構(gòu)在密實化階段所對應(yīng)的應(yīng)變越小。本文所得動力響應(yīng)曲線不同于非負(fù)泊松比材料的結(jié)果[32]。

圖9 不同沖擊速度和弧角時應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 9 Stress-strain curves under different impact velocity and angle

結(jié)構(gòu)在沖擊載荷作用時，其能量吸收特性與平臺應(yīng)力和密實應(yīng)變有很大關(guān)系，通常用材料的體能量吸收值進(jìn)行評價，體能量吸收值、平臺應(yīng)力和鎖定應(yīng)變?nèi)缦率絒31]：

5 能量吸收率

式中：Wv為材料在沖擊過程中的體能量吸收值；εr為初始應(yīng)變；εD為沖擊過程中的鎖定應(yīng)變；σ(ε)為沖擊過程的應(yīng)力；σp為平臺應(yīng)力。

圖10 為不同弧邊肋內(nèi)角結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下的能量吸收曲線。由圖10 可知，當(dāng)弧邊肋內(nèi)角一定時，低速沖擊時結(jié)構(gòu)在沖擊前期吸能效果較低，在沖擊中期階段結(jié)構(gòu)的能量曲線有較大增加，而后趨于能量穩(wěn)定吸收狀態(tài)。胞元弧邊肋角度越大，體能量吸收值的顯著增加階段越早出現(xiàn)。當(dāng)沖擊速度一定時，在沖擊初始階段各結(jié)構(gòu)間的能量吸收效率差距較小，而在沖擊中后期階段，結(jié)構(gòu)的弧邊肋角越大，其體能量吸收值越高；隨著沖擊速度的增加，這種變化逐漸變得不明顯。高速沖擊時，弧邊肋角大的胞元結(jié)構(gòu)其體能量吸收值在沖擊初始階段高于角度小的胞元結(jié)構(gòu)，并在整體上呈現(xiàn)這種趨勢。

圖10 不同沖擊速度和弧角時體能量吸收值曲線Fig. 10 Curves of volumetric energy absorptivity under different impact velocity and angle

6 平臺應(yīng)力

圖11 為不同弧角結(jié)構(gòu)的平臺應(yīng)力隨沖擊速度的變化曲線。已有研究[33]表明：多孔結(jié)構(gòu)的平臺應(yīng)力與沖擊速度大致成二次關(guān)系，這與本文結(jié)果相一致。圖11 中顯示：平臺應(yīng)力隨沖擊速度的增加迅速增大；沖擊速度相同時，平臺應(yīng)力隨弧角的增加而增大，沖擊速度越大，不同弧角結(jié)構(gòu)之間的平臺應(yīng)力差距越大，弧角為90°時結(jié)構(gòu)的吸能效果最好。

圖11 平臺應(yīng)力隨沖擊速度的變化曲線Fig. 11 Variation of platform stress with impact velocity

圖12 為不同沖擊速度時平臺應(yīng)力隨曲邊弧角的變化曲線?？梢钥闯?，同一沖擊速度時結(jié)構(gòu)的平臺應(yīng)力隨弧角的增加而遞增，且沖擊速度越大這種現(xiàn)象越明顯。這是由于結(jié)構(gòu)的相對密度隨著弧角的增加而增大，沖擊過程中胞元弧角參數(shù)越大其結(jié)構(gòu)所能承受的平臺應(yīng)力越高。對比圖11 和圖12 可以發(fā)現(xiàn)：平臺應(yīng)力受胞元弧角的影響較小，其值主要由沖擊速度決定。

圖12 平臺應(yīng)力隨胞元弧角的變化曲線Fig. 12 Variation of platform stress with cell angle

7 結(jié)論

針對可變弧邊內(nèi)凹多胞蜂窩結(jié)構(gòu)，利用數(shù)值手段研究了結(jié)構(gòu)在沖擊載荷作用下的變形失效模式、動力響應(yīng)曲線、能量吸收特性和平臺應(yīng)力特征。研究發(fā)現(xiàn)：

(1) 沖擊載荷作用下，結(jié)構(gòu)胞元出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)位移，胞元發(fā)生扭曲變形，呈現(xiàn)出類星形的羅疊排列，在變形帶與頂板之間有一條弧形空隙帶。

(2) 胞元弧角較小時(文中以30°為例)，初始變形區(qū)域主要集中在上部呈現(xiàn)V 字型，隨著應(yīng)變的增加，材料中部開始進(jìn)入密實化，上方V 字型變形區(qū)域開始扁平化，變形區(qū)域左右兩側(cè)有明顯的向外位移，在沖擊過程后期，結(jié)構(gòu)的變形區(qū)域開始壓縮，變形主要集中在中間區(qū)域。胞元弧角較大時(文中以90°為例)，沖擊過程初期變形區(qū)域與低弧角胞元結(jié)構(gòu)大致相似，隨著變形增加，中部保持向內(nèi)擠壓狀態(tài)，整體呈現(xiàn)X 型。

(3) 結(jié)構(gòu)在初始受沖擊階段名義應(yīng)力快速增大，隨后微弱降低并在某一數(shù)值范圍內(nèi)波動；最后結(jié)構(gòu)進(jìn)入密實化階段，名義應(yīng)力繼續(xù)增加。沖擊過程應(yīng)力-應(yīng)變曲線可分為三個階段：初始階段、穩(wěn)定階段和鎖定階段。

(4) 低速沖擊時結(jié)構(gòu)在沖擊前期吸能效果較低，在沖擊中期階段結(jié)構(gòu)的能量曲線有較大增加，而后趨于能量穩(wěn)定吸收狀態(tài)。胞元弧邊肋角度越大，體能量吸收值的顯著增加階段越早出現(xiàn)。沖擊速度一定時，在沖擊初始階段各不同弧角結(jié)構(gòu)間的能量吸收效率差距較小，而在沖擊中后期階段，結(jié)構(gòu)的弧角越大其體能量吸收值越高。

(5) 平臺應(yīng)力隨沖擊速度的增加迅速增大；沖擊速度一定時，平臺應(yīng)力隨弧角的增加而遞增，且沖擊速度越大這種現(xiàn)象越明顯。