李俞利，胡宏昌

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

序貫方法的特點(diǎn)是：在抽樣時(shí)不預(yù)先指定子樣的容量，而是要求給出一組停止采樣的規(guī)則。每新抽取一個(gè)子樣后立即考察一下，按給定的停止采樣規(guī)則來決定是停止采樣還是繼續(xù)采樣，如果采樣一旦停止，就按此時(shí)所給出的n個(gè)觀察作為一個(gè)固定子樣容量的問題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷——參數(shù)估計(jì)或假設(shè)檢驗(yàn)。應(yīng)用序貫方法進(jìn)行的檢驗(yàn)，稱為序貫檢驗(yàn)。序貫分析奠基人瓦爾德(A.Wald)提出的“序貫概率比檢驗(yàn)”(參見文獻(xiàn)[1])至今仍然是序貫分析中很重要的領(lǐng)域，成果豐碩，如：文獻(xiàn)[2]系統(tǒng)地討論了序貫分析的檢驗(yàn)和置信區(qū)間等問題；文獻(xiàn)[3]利用廣義序貫概率比檢驗(yàn)方法研究了兩個(gè)不同分布族的檢驗(yàn)問題；文獻(xiàn)[4]深入闡述了二元響應(yīng)模型的序貫概率比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與分類證據(jù)之間的關(guān)系。關(guān)于序貫檢驗(yàn)的應(yīng)用成果參見文獻(xiàn)[5～7]等，其它相關(guān)成果參見文獻(xiàn)[8～9]等。文獻(xiàn)[10]提出了具有穩(wěn)健性的Lq似然比型(簡記為LqRT)檢驗(yàn)方法，得到了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布。本文基于序貫概率比檢驗(yàn)和LqRT檢驗(yàn)方法，首次提出了序貫Lq似然比型檢驗(yàn)方法，并對其進(jìn)行初步研究。

1 序貫Lq似然比型檢驗(yàn)方法

設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn是取自總體ξ獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，ξ的概率函數(shù)為f(x;θ)，x=(x1,x2,…,xn)為樣本觀測值，Θ0和Θ1為原假設(shè)和備擇假設(shè)的參數(shù)空間，則LqRT檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(參見文獻(xiàn)[11])為

(1)

(2)

對此簡單假設(shè)檢驗(yàn)的序貫問題，類似于序貫概率比檢驗(yàn)方法，我們提出了序貫LqRT檢驗(yàn)法，其實(shí)施的步驟是：

設(shè)x1是子樣的第一個(gè)觀察，計(jì)算λ1(x1)，如果λ1(x1)≥B，則停止觀察，并拒絕原假設(shè)H0；相對地，如果λ1(x1)≤A，則停止觀察，并接受原假設(shè)H0；最后，如果A<λ1(x1)

類似地計(jì)算λ2(x1,x2)，如果λ2(x1,x2)≥B，則停止觀察，并拒絕原假設(shè)H0；相對地，如果λ2(x1,x2)≤A，則停止觀察，并接受原假設(shè)H0；最后，如果A<λ2(x1,x2)

如果由n-1個(gè)觀察不能作出停止繼續(xù)觀察并拒絕或接受假設(shè)H0的決定，則繼續(xù)抽取第n個(gè)觀察xn，并計(jì)算λn(x1,…,xn).如果λn(x1,…,xn)≥B，則停止抽樣并拒絕H0；如果λn(x1,…,xn)≤A，則停止抽樣并接受H0；最后，如果A<λn(x1,…,xn)

這一檢驗(yàn)假設(shè)的全過程稱為序貫LqRT檢驗(yàn)，其停止法則是τ*=inf{n∶≥1,λn?(A,B)}.這里兩個(gè)邊界A和B(A

(3)

(4)

在這里，子樣x是一個(gè)無限觀察序列x=(x1,x2,…).如果N(x)=n，則它表示對這個(gè)無限子樣序列只需進(jìn)行n次觀察，獲得(x1,x2,…,xn)后采樣就終止。且基于這n個(gè)觀察進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，如果λn(x1,…,xn)≥B則拒絕H0；如果λn(x1,…,xn)≤A則接受H0.如果N是一個(gè)以概率1終止的停止規(guī)則，即P{N<∞}=1，則它表示對幾乎所有的子樣序列x只需作有限次觀察后采樣終止。

2 序貫Lq似然比型(LqRT)檢驗(yàn)的性質(zhì)

本節(jié)研究序貫LqRT檢驗(yàn)的性質(zhì)。若記

Z=Lqf(ξ,θ1)-Lqf(ξ,θ0)-C(θ1,q)+C(θ0,q),

Zi=Lqf(ξi,θ1)-Lqf(ξi,θ0)-C(θ1,q)+C(θ0,q).

則隨機(jī)游動(dòng)Z1,Z2,…也是獨(dú)立同分布隨機(jī)序列，且有

(5)

首先給出邊界A,B與強(qiáng)度(α,β)之間的關(guān)系，利用它可以決定檢驗(yàn)的邊界。

定理1 如果一個(gè)以概率1終止的序貫LqRT檢驗(yàn)，其停止邊界為A,B，強(qiáng)度為(α,β), 則當(dāng)q→1時(shí)有

A≥log(β/(1-α)),B≤log((1-β)/α),0<α,β<1.

(6)

證明 注意到當(dāng)q→1時(shí)，Lq(u)→logu.于是當(dāng)λn(ξ1,…,ξn)≥B時(shí)，有

(7)

所以對于很小的δ>0，當(dāng)q∈U(1,δ)時(shí), 有

(8)

Cn={(ξ1,…,ξn)∶N=n,λn(ξ1,…,ξn)≤A},則{ωn}和{Cn}均是互不相容事件，于是

(9)

由于假定它以概率1終止，所以

Pθ1{拒絕H0}=1-β.

(10)

故由(9)和(10)式得α≤e-B(1-β).

類似地，有

(11)

至此結(jié)論證畢。

由于α,β一般較小，所以我們可以假定A

A≈log(β/(1-α)),B≈log((1-β)/α).

(12)

類似于序貫概率比檢驗(yàn)的證明方法，可以得到序貫LqRT檢驗(yàn)的一些結(jié)論，這些結(jié)論推廣和類似于序貫概率比檢驗(yàn)的相應(yīng)結(jié)論。下面我們只列出部分結(jié)論，在此略去其證明，定理2～3的證明參見文獻(xiàn)[2]。

定理2 設(shè)ξ1,ξ2,…是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，在假設(shè)Hi(i=0,1)之下其概率密度分別為f(x;θi)，記N是所考察的序貫LqRT檢驗(yàn)的停止隨機(jī)變量，則對于使得Pθ{|Z|>0}>0的任何概率密度f(x;θ)，有

1)Pθ{N<∞}=1；

2)存在t0>0，使Eθ{etN}<∞，對-∞

E(SN)=E(g(ξ1))·EN.

Eθi(SN)≈Pθi{接受H0}A+Pθi{拒絕H0}B.,i=0,1.

因此如果Eθi|Z|<∞,EθiZ≠0，由定理3得

(13)

3 模擬算例

3.1 Bernoulli分布中參數(shù)p的檢驗(yàn)

設(shè)母體ξ服從Bernoulli分布b(1,p)，p是未知參數(shù)，檢驗(yàn)H0∶p=p0?H1∶p≠p0.

由于b(1,p)分布的概率密度函數(shù)為f(x;p)=px(1-p)1-x，因此對于q≠1有

(14)

如令vn為n個(gè)觀察的序列中“1”的頻數(shù)，則

=aqvn+cqn.

(15)

其中

如果它的停止邊界分別為A,B，則當(dāng)

Sn=aqvn+cqn≥B

(16)

成立時(shí)拒絕原假設(shè)H0；當(dāng)

Sn=aqvn+cqn≤A

(17)

成立時(shí)接受原假設(shè)H0.由于

=cq+paq.

(18)

所以由(13)和(18)式可得

(19)

現(xiàn)在考慮一個(gè)抽樣問題，用p表示這批被驗(yàn)產(chǎn)品的次品率，假定p0=0.04，p1=0.10，α=0.05，β=0.10，則由(12)式得

A≈ln(β/(1-α))=ln1/9.5=-0.9777,B≈ln((1-β)/α)=ln18=1.2553.

注意到

因此取不同的q值代入(13)式可得到平均子樣容量(有關(guān)計(jì)算結(jié)果見表1):

n=2-1(E0.04(N)+E0.10(N)),

其中

從表1可知，當(dāng)q越大，平均樣本容量越小。但是，我們的理論結(jié)果是在|q-1|較小的條件下得到，因而在實(shí)際應(yīng)用中需要兼顧|q-1|和平均樣本容量的大小，使得二者均較小。在q=1.01時(shí)，平均子樣容量為23比序貫概率比檢驗(yàn)的平均子樣容量71要小得多，抽樣個(gè)數(shù)可節(jié)約近67.6%.

表1 q值與平均子樣容量及νn的邊界的關(guān)系

4 結(jié)論

上面研究了序貫Lq似然比型檢驗(yàn)方法邊界與強(qiáng)度之間的關(guān)系，進(jìn)而得到了在Eθi|Z|<∞,EθiZ≠0情況下該檢驗(yàn)方法的平均子樣容量，并通過實(shí)際的算例說明了在選取合適的q值時(shí)，序貫Lq似然比型檢驗(yàn)方法優(yōu)于序貫概率比檢驗(yàn)方法。雖然在某種程度上豐富了序貫Lq似然比型檢驗(yàn)的內(nèi)容，但是對于序貫Lq似然比型檢驗(yàn)的研究不僅限于此，本文僅考慮了一種情況下的平均子樣容量，內(nèi)容還不夠完善，為了得到完整的結(jié)論還需進(jìn)一步的研究。

Sequential Lq-Likehood ratio type test and its applications

LI Yu-li，HU Hong-chang