張肖肖，張賜寶，趙旭升，叢琳華

中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所，陜西 西安 710065

石英燈是地面熱強(qiáng)度試驗(yàn)中常用的輻射加熱元件，用于模擬高速飛行器飛行過(guò)程中的瞬態(tài)氣動(dòng)熱效應(yīng)[1]，進(jìn)而開(kāi)展相應(yīng)熱環(huán)境下的強(qiáng)度驗(yàn)證[2]。在加熱器設(shè)計(jì)中需要根據(jù)試驗(yàn)件表面形狀進(jìn)行設(shè)計(jì)，如對(duì)于翼面、舵面等大面積平直表面的加熱，一般設(shè)計(jì)為平板形加熱器；對(duì)于等直艙段等圓柱形表面的加熱，一般設(shè)計(jì)為圓柱形加熱器；對(duì)于天線罩或變徑非等直艙段等圓錐形或近似圓錐形表面的加熱，一般設(shè)計(jì)為圓錐形加熱器，如圖1所示。

圖1 加熱陣列Fig.1 Heating array

試驗(yàn)件表面熱流分布是評(píng)估加熱器設(shè)計(jì)合理性的直接依據(jù)。楊曉寧等[3]建立了使用紅外燈陣作為外熱流模擬裝置時(shí)到達(dá)被加熱面熱流密度的計(jì)算模型，對(duì)影響熱流密度均勻性的因素進(jìn)行了分析。劉守文等[4]采用蒙特卡羅法對(duì)紅外燈能束輻射過(guò)程的物理模型進(jìn)行了分析，建立了能束輻射隨機(jī)位置、隨機(jī)方向的數(shù)學(xué)模型和燈絲溫度計(jì)算模型，給出了輻射波長(zhǎng)、燈管反射率、吸收率、透射率的確定方法，進(jìn)而提出了紅外燈熱流分布計(jì)算流程。同時(shí)，為了提高紅外燈陣熱流分布均勻度，應(yīng)用單燈熱流分布計(jì)算模型生成單燈熱流分布數(shù)據(jù)庫(kù)，解決了反光板反射熱流問(wèn)題，建立了紅外燈陣熱流分布仿真計(jì)算方法[5]。楊國(guó)巍等[6]利用蒙特卡羅法計(jì)算了紅外單燈熱流分布，并據(jù)此建立了數(shù)據(jù)庫(kù)，綜合考慮紅外燈直射熱流、擋板反射率以及間隙漏光量等影響因素，得到紅外燈陣熱流分布結(jié)果。王智勇等[7]基于蒙特卡羅法對(duì)單一石英燈加熱器內(nèi)部熱流分布進(jìn)行了數(shù)值模擬仿真，為更合理優(yōu)化加熱器內(nèi)部熱場(chǎng)分布提供了理論參考。夏吝時(shí)等[8]也采用蒙特卡羅法對(duì)平板形石英燈加熱器中水冷反光板面積、水冷反光板與燈陣間距離、熱源疏密程度、熱源陣列與材料受熱面間距等因素對(duì)輻射熱場(chǎng)中典型隔熱材料受熱面溫度分布均勻性和熱流密度進(jìn)行了模擬計(jì)算。朱言旦等[9]為了掌握石英燈單燈及燈陣熱流分布規(guī)律，提高石英燈陣熱流分布預(yù)測(cè)能力，對(duì)石英燈陣熱流分布進(jìn)行了計(jì)算分析與試驗(yàn)研究，發(fā)展了基于蒙特卡羅法的石英燈陣熱流分布預(yù)測(cè)方法及計(jì)算程序。

以上研究對(duì)象多為平板形石英燈陣列，對(duì)圓柱、圓錐等熱強(qiáng)度試驗(yàn)常見(jiàn)曲面形狀的加熱陣列熱流計(jì)算方法研究報(bào)道較少。目前在加熱器設(shè)計(jì)中受試驗(yàn)周期影響，往往依賴于經(jīng)驗(yàn)選取加熱陣列設(shè)計(jì)參數(shù)，缺少對(duì)表面熱流分布狀態(tài)的計(jì)算分析，而上述文獻(xiàn)中廣為采用的蒙特卡羅法在熱流分布計(jì)算方面耗時(shí)較長(zhǎng)，不能滿足試驗(yàn)設(shè)計(jì)主管對(duì)于熱流分布快速計(jì)算的需求。因此，需要建立一種能夠滿足平板形、圓柱形和圓錐形等常見(jiàn)形狀陣列的輻射熱流快速預(yù)測(cè)要求的計(jì)算方法，能對(duì)熱強(qiáng)度試驗(yàn)中的加熱器設(shè)計(jì)、試驗(yàn)件表面的熱環(huán)境模擬快速給出直觀的評(píng)估依據(jù)。

本文主要針對(duì)平板形、圓柱形和圓錐形的石英燈加熱陣列，基于輻射傳熱學(xué)中的斯忒藩-玻耳茲曼定律和蘭貝特定律，簡(jiǎn)化石英燈燈絲模型，忽略周圍環(huán)境的折射、反射效應(yīng)，將輻射加熱元件離散成點(diǎn)光源，在試驗(yàn)件表面布置離散的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)光源與節(jié)點(diǎn)距離、加熱元件和節(jié)點(diǎn)法線方向以及照射范圍進(jìn)行判斷，分別計(jì)算各節(jié)點(diǎn)接收到各加熱元件的輻射熱流，之后將每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的輻射熱流進(jìn)行累加，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)熱試驗(yàn)常用石英燈陣列的熱流分布快速計(jì)算。與蒙特卡羅法相比，在計(jì)算精度方面有所降低，在計(jì)算速度方面大幅提高。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 斯忒藩-玻耳茲曼定律

黑體的輻射力與熱力學(xué)溫度的關(guān)系由斯忒藩-玻耳茲曼定律所規(guī)定[10]

式中，σ為黑體輻射常數(shù)，其值為5.67×10-8W/(m2·K4)。

1.2 蘭貝特定律

如圖2 所示，用三維空間的立體角來(lái)表示某一方向的空間所占的大小[10]，定義為

圖2 可見(jiàn)面積示意圖Fig.2 Sketch map of visible area

設(shè)面積為dA的黑體微元面積向圍繞空間緯度角θ方向的微元立體角dΩ內(nèi)輻射出去的能量為dΦ(θ)，則試驗(yàn)測(cè)定表明

式中，I是從黑體單位可見(jiàn)面積發(fā)射出去的落到空間任意方向的單位立體角中的能量，稱為定向輻射強(qiáng)度。其與黑體的輻射力之間的關(guān)系為

2 計(jì)算方法

考慮燈絲面向試驗(yàn)件表面的半圓柱段，將燈絲沿長(zhǎng)度方向N等分，將每一半圓柱段視為平面微元處理，其向半球空間內(nèi)輻射的總熱流為

式中，L為燈管長(zhǎng)度；r為燈絲半徑；T為燈絲溫度。

需要說(shuō)明的是，第1節(jié)中所述公式雖針對(duì)黑體，在將其應(yīng)用于燈絲時(shí)發(fā)射率的差異僅體現(xiàn)為燈絲溫度的差異，因此為簡(jiǎn)化分析，本文中將燈絲發(fā)射率視為1。

2.1 平板形加熱陣列

平板形加熱陣列如圖3所示，二維平面的法矢量a可寫(xiě)為[0，0，1]，對(duì)于平面上A點(diǎn)處面積為dA1的微元接收到某一微元dA（中心點(diǎn)為B）的輻射熱流為

圖3 平板形陣列點(diǎn)光源與節(jié)點(diǎn)位置關(guān)系示意圖Fig.3 Sketch map of relation between light source point of plane array and receiving point

所以A點(diǎn)處受B點(diǎn)照射獲得的熱流密度為

將所有燈絲的微元對(duì)A點(diǎn)的熱流密度累加，便得到了在此平板燈陣作用下A點(diǎn)的熱流密度，按照此過(guò)程計(jì)算平面上所有布點(diǎn)獲得的熱流密度，便可以給出整個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)域內(nèi)的熱流分布云圖。

2.2 圓柱形外加熱陣列

圓柱形外加熱陣列如圖4所示，對(duì)于圓柱面上接收點(diǎn)A點(diǎn)處的法矢量a可寫(xiě)為[Rcosα1，Rsinα1，0]，對(duì)于圓柱形陣列點(diǎn)光源B處的法矢量b可寫(xiě)為[-(R+d)cosα2，-(R+d)sinα2，0]，其中d為燈陣到圓柱面的距離，R為圓柱面半徑。對(duì)于圓柱面上A點(diǎn)處面積為dA1的微元接收到面積為dA的微元B的輻射熱流為

圖4 圓柱陣列點(diǎn)光源與節(jié)點(diǎn)位置關(guān)系示意圖Fig.4 Sketch map of relation between light source point of cylindrical array and receiving point

式中，θ1為點(diǎn)光源法線與AB連線的夾角；θ2為柱面上點(diǎn)的法線與AB連線的夾角。θ1與θ2二者的余弦值可通過(guò)矢量點(diǎn)積與矢量的模計(jì)算得到，如將A、B之間的矢量記為c，則

所以A點(diǎn)處受B點(diǎn)照射獲得的熱流密度為

需要注意的是，在圓柱燈陣中，每一根燈管的可照射范圍是有限的，如在圖4中，通過(guò)B點(diǎn)的切線BC、BD與圓的切點(diǎn)C、D之間的圓弧CD上的接收點(diǎn)可受到點(diǎn)光源B的照射。因此，在計(jì)算圓柱表面熱流分布時(shí)，需要對(duì)表面節(jié)點(diǎn)A是否受到某個(gè)點(diǎn)光源B的照射進(jìn)行判斷，判斷依據(jù)為燈管所在直線和接收點(diǎn)所在母線與圓柱圓心夾角小于相切時(shí)夾角（∠BOD），即

2.3 圓錐形外加熱陣列

圓錐外加熱陣列如圖5所示，對(duì)于圓錐面上接收點(diǎn)A點(diǎn)處的法矢量a可寫(xiě)為[Rcosα1，Rsinα1，Rtanβ]，對(duì)于圓錐形陣列點(diǎn)光源B處的法矢量b可寫(xiě)為[-(R+d/cosβ)cosα2，-(R+d/cosβ)sinα2，-(R+d/cosβ)tanβ]，其中d為燈陣到圓錐面的距離，R為圓錐底面半徑，β為半錐角，α1、α2分別為A點(diǎn)所在母線、B點(diǎn)所在陣列母線在xOy平面的投影與x軸的夾角。對(duì)于圓錐面上A點(diǎn)

圖5 圓錐陣列點(diǎn)光源與節(jié)點(diǎn)位置關(guān)系示意圖Fig.5 Sketch map of relation between light source point of conical array and receiving point

處面積為dA1的微元接收到面積為dA的微元B的輻射熱流為

式中，θ1為點(diǎn)光源法線與AB連線的夾角；θ2為錐面上點(diǎn)的法線與AB連線的夾角。θ1與θ2二者的余弦值可通過(guò)矢量點(diǎn)積與矢量的模計(jì)算得到，如將A、B之間的矢量記為c，則

所以B點(diǎn)處受A點(diǎn)照射獲得的熱流密度為

在計(jì)算圓錐表面熱流分布時(shí)，需要對(duì)表面節(jié)點(diǎn)是否受到某個(gè)點(diǎn)光源的照射進(jìn)行判斷。選定圓錐面上任一母線C'D'（C'為圓錐頂點(diǎn)，D'為圓錐下底面上一點(diǎn)），通過(guò)該母線做出圓錐面的切面，石英燈所在直線CD與C'D'平行，則該切面與除CD以外其他石英燈所在直線均產(chǎn)生一交點(diǎn)（如圖6 中的E、F），可以看到各石英燈中位于該交點(diǎn)以上的部分可對(duì)母線C'D'上的點(diǎn)產(chǎn)生照射，而位于該交點(diǎn)以下的部分無(wú)法對(duì)母線C'D'上的點(diǎn)產(chǎn)生照射，而沿直線CD的石英燈各部分均可對(duì)母線C'D'上的點(diǎn)產(chǎn)生照射。如圖7所示，圓錐面上母線C'D'處的法矢量d可寫(xiě)為（Rcosθ，Rsinθ，Rtanβ），θ為C'D'在xOy平面投影OD'與x軸的夾角。由于E點(diǎn)位于過(guò)母線C'D'的切面上，因此矢量d與由C'指向E的矢量e垂直，圓錐頂點(diǎn)C'坐標(biāo)為（0，0，h），其中h為圓錐面高度。石英燈上點(diǎn)E坐標(biāo)可寫(xiě)為（rcosθ3，rsinθ3，z1），其中z1為交點(diǎn)E的z向坐標(biāo)，r為輻射加熱元件所在圓錐體高度為z1處的切面圓半徑，θ3為CG在xOy平面投影OE與x軸的夾角。矢量e可寫(xiě)為（rcosθ3，rsinθ3，z1-h），根據(jù)d?e= 0可得

圖6 圓錐面輻射加熱示意圖Fig.6 Sketch map of radiation heating to conical surface

圖7 圓錐面輻射加熱幾何模型Fig.7 Geometrical model of radiation heating to conical surface

對(duì)圓錐面有tanβ?h=R，代入式（17）整理可得

根據(jù)相似三角形特性，石英燈陣列所在圓錐面高度為z1處的截面圓半徑r與z1的關(guān)系可表示為

式中，r1為石英燈陣列所在圓錐面的底面圓半徑（如圖7 中的OG），h1為石英燈陣列所在圓錐面的高度（如圖7 中的OC）。根據(jù)解析幾何知識(shí)，r1和h1分別可表示為

即對(duì)于投影與x軸夾角分別為θ的母線C'D'，各石英燈中位于z向坐標(biāo)為z1的E點(diǎn)以上的部分可對(duì)母線C'D'上的點(diǎn)產(chǎn)生照射，而位于E點(diǎn)以下的部分無(wú)法對(duì)母線C'D'上的點(diǎn)產(chǎn)生照射，而與C'D'平行的直線CD的石英燈各部分均可對(duì)母線C'D'上的點(diǎn)產(chǎn)生照射。

2.4 內(nèi)加熱與外加熱情況下的算法區(qū)別

圓柱形和圓錐形加熱陣列如圖8、圖9 所示，與外加熱相比，相當(dāng)于是將燈管與試驗(yàn)件交換了方向，在照射范圍判斷上沒(méi)有本質(zhì)不同，都是判斷光源與接收點(diǎn)能否在不受遮擋的情況下連出一條直線，所以只需在判斷依據(jù)中將光源相關(guān)位置信息與接收點(diǎn)相關(guān)位置信息進(jìn)行交換，就可以作為內(nèi)加熱情況的照射范圍判斷依據(jù)。需要注意的是，由于照射與接收的相對(duì)位置發(fā)生了變化，燈管點(diǎn)光源和試驗(yàn)件表面接收點(diǎn)的法矢量表達(dá)式也相應(yīng)改變，見(jiàn)表1。

表1 內(nèi)加熱與外加熱情況下法矢量表達(dá)式Table 1 Expression of normal vector of inner heating and outer heating

圖8 圓柱內(nèi)加熱陣列Fig.8 Cylindrical inner array

圖9 圓錐內(nèi)加熱陣列Fig.9 Conical inner array

2.5 具有解析表達(dá)式的曲面熱流計(jì)算

對(duì)于形狀復(fù)雜但具有解析表達(dá)式的空間三維曲面F(x,y,z)=0，其上一點(diǎn)(x,y,z)處的曲面法矢量為(Fx,Fy,Fz)，其中Fx、Fy、Fz分別為F(x,y,z)對(duì)x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)。而石英燈陣列，受加熱元件外形限制，所在平面或曲面的法矢量表達(dá)式不難確定，因此上述熱流計(jì)算方法對(duì)于任意具有解析表達(dá)式的曲面也適用，均能得到類似式（11）的表達(dá)式，但需要根據(jù)具體曲面形狀和陣列形狀建立正確的照射范圍判據(jù)。

3 熱流計(jì)算結(jié)果

3.1 平板形加熱陣列計(jì)算結(jié)果

取燈管長(zhǎng)度為310mm，燈絲直徑為3mm，燈絲溫度為2500K，計(jì)算區(qū)域?yàn)?50mm×300mm，燈管高度為50mm，燈管間距為30mm，陣列上下左右居中放置。圖10 給出了1支和10支燈管組成的陣列在試驗(yàn)件表面的熱流分布情況，圖中虛線為燈管在計(jì)算區(qū)域平面上的投影?？梢钥吹?，單支燈管照射下試驗(yàn)件表面熱流沿?zé)艄苤卸蜗蛩闹艹尸F(xiàn)由高到低的梯度分布；隨著燈管排布密度的增加，加熱陣列覆蓋的試驗(yàn)件中部區(qū)域的熱流密度接近同一水平，四周仍呈現(xiàn)出較為明顯的熱流梯度。

圖10 平板形加熱陣列熱流分布結(jié)果Fig.10 Heat flux distribution of plane heating array

3.2 圓柱形外加熱陣列計(jì)算結(jié)果

取燈管長(zhǎng)度為310mm，燈絲直徑為3mm，燈絲溫度為2500K，圓柱試驗(yàn)件直徑為400mm、高度為350mm，燈管距試驗(yàn)件表面高度為50mm，陣列上下居中放置。圖11 給出了1支和20支燈管組成的陣列在試驗(yàn)件表面的熱流分布情況?？梢钥吹剑瑔沃艄艿恼丈浞秶^為有限，試驗(yàn)件表面熱流呈現(xiàn)上下左右對(duì)稱分布，并且具有顯著的熱流梯度；隨著燈管排布密度的增加，加熱陣列覆蓋的試驗(yàn)件中部區(qū)域的熱流密度趨于均勻，燈管正下方區(qū)域的熱流偏高。

圖11 圓柱形外加熱陣列熱流分布結(jié)果Fig.11 Heat flux distribution of cylindrical outer heating array

3.3 圓錐形外加熱陣列計(jì)算結(jié)果

取燈管長(zhǎng)度為310mm，燈絲直徑為3mm，燈絲溫度為2500K，試驗(yàn)件底面直徑為150mm、高為500mm，燈管距圓錐試驗(yàn)件表面高度為30mm，陣列距試驗(yàn)件底面高度為50mm。圖12 給出了1 支和9 支燈管組成的陣列在試驗(yàn)件表面的熱流分布情況?？梢钥吹?，單支燈管照射下試驗(yàn)件表面熱流呈現(xiàn)沿母線兩側(cè)左右對(duì)稱分布，但受隨高度漸變的截面圓曲率影響，沿母線上下并不對(duì)稱，越接近圓錐底部，照射范圍越大，但平均熱流越小，這種趨勢(shì)隨著燈管排布密度的增加，可以觀察得更為明顯。

圖12 圓錐形外加熱陣列熱流分布結(jié)果Fig.12 Heat flux distribution of conical outer heating array

4 結(jié)論

針對(duì)熱強(qiáng)度試驗(yàn)中常見(jiàn)的平板形、圓柱形、圓錐形石英燈加熱陣列，本文建立了三種內(nèi)加熱陣列的解析傳熱模型，提出了基于解析法的熱流快速計(jì)算方法，分析了內(nèi)加熱與外加熱情況下算法的區(qū)別，給出了典型燈管排布下熱流分布結(jié)果，得出了以下結(jié)論:

（1）通過(guò)將平板形、圓柱形、圓錐形結(jié)構(gòu)表面離散化以及石英燈管離散化，按照蘭貝特定律逐點(diǎn)計(jì)算各接收點(diǎn)接收到燈管上各點(diǎn)光源的輻射熱流，再計(jì)算各接收點(diǎn)接收到所有點(diǎn)光源的輻射熱流之和，可以快速得到合理的結(jié)構(gòu)表面熱流分布結(jié)果。

（2）單支石英燈在圓柱面上照射范圍有限，在熱流分布計(jì)算過(guò)程中需要采用照射范圍判斷依據(jù)來(lái)判斷圓柱面上母線與燈管所在直線的相對(duì)位置關(guān)系。

（3）不同石英燈對(duì)圓錐面上同一條母線的照射程度不同，在熱流分布計(jì)算過(guò)程中需要采用照射范圍判斷依據(jù)來(lái)判斷石英燈上光源點(diǎn)與圓錐面上母線之間的照射關(guān)系。